1三角形解的个数判断方法研究

附件2：延安市基础教育教学2015年度微型课题申请·评审书所在单位安塞县高级中学申报人任鸿飞课题名称三角形解的个数判断方法研究所在组别高中数学组延安市基础教育科研课题管理办公室制2015年5月修订延安市基础教育教学研究2015年度微型课题申请·评审书申报人任鸿飞学科数学学历本科职称中教一级课题名称三角形解的个数判断方法研究工作单位安塞县高级中学电话[phone]邮箱[e-mail]申报人简历2006年7月，毕业于陕西师范大学数学与应用数学专业。2006年9月，在化子坪中学任教。2010年9月至今，在安塞县高级中学任教。选题缘由一、选题背景：解三角形是北师大版高中数学必修5一书中的一项重要内容。教材中对于解三角形中解的情况的判断几乎没有涉及，但在各种资料考试中却层出不穷，学生在解决此类问题时存在很多问题。比如，在解三角形过程中，不会判断解三角形解的个数，更不用说怎样去解三角形。根据学生在学习过程中遇到这样的问题，结合我自己在教学过程中发现学生也存在这样的问题。因此，我想通过自己的研究成果来帮助学生解决学习中的这一困惑。二、理论依据：在解三角形的过程中，遇到给的已知条件不同，解的个数就不同的情况。例如：余弦定理所解决的问题中，已知两边及其夹角，解三角形的问题。如果用初中学过的三角形全等的判定方法SAS,那就知道这个三角形是唯一确定的。当然，我们在学习过程中用作图法，可以直观的看出解的个数。也可以通过余弦定理计算，根据计算的结果，验证解是唯一的。正弦定理所解决的问题中，已知两边和其中一边的对角，解三角形的问题。如果用初中学过的三角形全等的判定方法SSA,那就知道这个三角形是不唯一确定的。即这个三角形的形状是不确定的，所以在解三角形的过程中，需要分情况进行讨论。而在分情况的过程中，根据边与角的具体大小关系，来确定三角形解的情况。在学习过程中，为了直观的观察三角形解的情况，可以通过作图，来观察解的个数。也可以通过计算，根据计算的结果，验证解有多种情况。三、实用价值：基于以上依据，我认为让学生用初中学习过的三角形全等的判定方法，来判断三角形的解是否是唯一确定的。通过判断三角形的确定性，来判断三角形解的情况，然后用作图或计算的方法来确定判断的准确性。从而，为学生解决了在解三角形过程中解的个数的判断问题。研究设想一、研究内容：1、通过查阅初中课本、了解学情、个别交谈等方式了解学生的知识储备情况。比如，对于学生初中学习过的三角形全等的判定方法，（SAS,ASA,AAS,SSS)不能判定三角形全等的方法（SSA,AAA)其中AAA是三角形相似的判断方法。2、通过作图判断三角形解的情况。对于三角形解的情况，每一种情况，要求学生用图形的方式，呈现出来，让学生从直观上认识三角形解的情况，从而，加深学生对三角形解的情况的认识。3、通过计算，判断三角形解的情况，充分利用学习过得正余弦定理，来计算三角形解的情况，这就是高中数学利用正余弦定理解决有关解三角形有关的问题。这是学生学习的重点也是难点。二、研究方法：1、调查学情法。是指在研究过程中研究者凭借一定的方法对学生学习过的知识进行考察，通过对收集到的各种事实和资料进行分析处理，进而了解学生对知识掌握的程度。2、查阅资料法。通过查阅文献资料了解所要研究对象的方法。如初中学过的三角形的全等的判定方法，高中解三角形中解的个数方法研究。3、个别分析法。善于抓住个案，抓住典型，进行案例分析，发现学生在学习过程中存在的问题。给与正确的指导，从而得出正确的结论。4、归纳总结法。通过对于解三角形解的情况的方法进行归纳总结，形成自己的行之有效的方法，并会应用到解决具体的问题中。三、过程设计：1、2015年7月，规划设计阶段。选择研究方向，设计课题研究方案，确定研究目标、内容、措施、方法等，申报相关部门批准。2、2015年7-8月，课题准备阶段。查阅资料，了解学情，为课题研究做好准备。3、2015年9-12月，课题研究阶段。①9月份，通过深入调查、搜集学生在判断解三角形中解的情况时存在的问题，积极寻找学生存在这种问题的根本原因，为下一步研究做准备。②10月份，了解学生对于三角形全等的判定方法的掌握情况，对于存在的问题，及时的给予复习，为下一步研究做准备。③11月份，对于判断三角形解的情况，让学生动手画出各种类型的解三角形中遇到的解的情况。④12月份，让学生分组进行合作，利用正余弦定理，进行计算，验证三角形解的情况。对于各个阶段中发现的问题、把各类问题进行分析、然后把问题给予解决。最后，把这些问题进行归纳总结，汇总出研究成果。4、2016年1月，课题结题阶段。①成果初步运用，撰写结题报告。②撰写结题论文。四、预期成果：1、对于遇到解三角形中判断解的情况时，先用三角形全等的判定方法，对于三角形的形状进行具体的确定，了解解的情况，然后利用正余弦定理进行具体的计算。通常求解三角形会遇到四种类型,其一,已知一边和两角,此种情况只需结合正弦定理和三角形的内角和为180º即可求解;（只有ASA,AAS两种情况，而这两种的三角形都是唯一确定的。所以解的个数也是唯一的）其二,已知二边和夹角,由于满足余弦定理四个量知其三的特性,可以通过余弦定理来求解;（只有SAS这一种情况，且三角形唯一确定。所以解的个数也是唯一的）其三,已知三边,同样满足余弦定理四个量知其三的特性,选用余弦定理即可求解;（只有SSS这一种情况，且三角形唯一确定。所以解的个数也是唯一的）其四，已知三角形两边及其一边对角，用正弦定理，还要分类讨论。（只有SSA这一种情况，但三角形不唯一确定。所以解的个数也是不确定的）2、已知三角形两边及其一边对角，用图象判断解的个数时，具体解的情况要通过观察图形，进行判断。例如：已知△ABC中,∠B为已知角，CA和BC边长为已知，试判断△ABC解的个数．先画出∠B，确定顶点B，再在∠B的一边上确定顶点C，使BC边长为已知长度，最后以顶点C为圆心，以CA边长为半径画圆，看该圆与∠B的另一边是否有交点，如果没有交点，则说明该三角形的解的个数为0；若有一个交点，则说明该三角形的解的个数为1；若有两个交点，则说明该三角形的解的个数为2．3、已知三角形两边及其一边对角，用正弦定理，还要分类讨论。例如：已知三角形的两边a,b及a边所对的角A。则有：a/sinA=b/sinB，即sinB=（bsinA）/a若A90º或A=90º时，那么必须ab才能有解。计算B时，只能取锐角，因此只有一解。若A90º时，且ab或a=b，根据大边对大角，B只能取锐角，因此只有一解。若A90º时，ab，分三种情况讨论：（可结合图形理解）若absinA,计算得sinB1，B不存在，所以无解。若a=bsinA,计算得sinB=1，B只能是直角，因此只有一个解。若absinA,计算得sinB1，B可以取一个锐角和一个钝角，因此有两个解。4、解三角形时，第四种情况可能会出现两解，对于两解的情况，一般都是用正弦定理产生的，所以在使用正弦定理解决三角形问题时，一定要注意这种情况。一般检验的手段是：得到的两角是否都符合题目要求或者三角形内角和定理。所在单位意见（单位盖章）年月日区县教研室意见（单位盖章）年月日市教研中心意见（单位盖章）年月日