2012中科院高数乙真题

中国科学院研究生院2012年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题科目名称：高等数学（乙）考生须知：1．本试卷满分为150分，全部考试时间总计180分钟。2．所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。一、选择题(本题满分40分，每小题5分。请从每个题目所列的四个选项中选择一个适合放在空格中的项，并将你的选择标清题号写在考场发的答题纸上，直接填写在试题上无效。每题的四个备选项中只有一个是正确的，不选、错选或多选均不得分。)f(x)2(1)设函数f(x)在x0处可导且导函数连续，limx03xsinx1，则f(0)()。（A）1（B）1（C）2（D）2(2)已知f()2，0[f(x)f(x)]sinxdx5，则f(0)()。（A）2（B）3（C）4（D）5(3)x2x(x1)2dx=()。(A)lnx1C1xx1(B)lnx2|x1|1Cx1(C)lnx2C1xx1(D)lnx2(1x)21Cx1(4)设函数F(x,y)关于x和y有一阶偏导数，且Fx(0,0)1，Fy(0,0)2，令zF(uv,veu),uarctant,vsint，则dzdtt0()。(A)1(B)0(C)2(D)1(5)已知函数yf(x)对一切x满足xf(x)3x[f(x)]21ex，若f(x0)0(x00)则()。（A）f(x0)是f(x)的极大值（C）f(x0)是f(x)的极小值（B）(x0,f(x0))是曲线yf(x)的拐点（D）f(x0)不是f(x)的极值科目名称：高等数学（乙）第1页共3页1x(y1)1n2(1)sinn1（C）nn12(1)n五、(本题满分10分)设f(x)anx，其中an满足xdydz。(6)设闭曲线L:x2(y1)22取逆时针方向，则曲线积分Lxdyydx22()。（A）（B）2（C）2（D）22(7)使得积分01sinxxdx(0)收敛的的最大取值范围是（）。（A）02(8)下列级数收敛的是（（B）01）。（C）2（D）1（A）nlnn（B）111111112345678n2n1（D）n1n12n二、(本题满分10分)求微分方程y2y2y4t2的通解。三、(本题满分10分)设D{(x,y)y0，x2y21，x2y22x}，计算二重积分Dxydxdy。四、(本题满分10分)设在三维空间中某平面满足：（1）与xy坐标平面垂直，（2）过z轴，（3）与(x2)2(y2)2z21相切，求该平面的方程。n1n1an11n。求02f(x)dx。六、(本题满分10分)计算曲线积分Ixln(x2y21)dxyln(x2y21)dy，其中曲L线L是定义域内第一象限（含坐标轴）中从点(2,0)到(0,2)的分段光滑曲线。七、(本题满分10分)设曲面为{(x,y,z)|zx2y2(0z1)}的外侧，求曲面积分2八、(本题满分10分)求曲面xyz1上在第一卦限内，距离坐标原点最近的点处的切平面方程。九、(本题满分10分)求微分方程yy(y)2y2lny的通解。十、(本题满分10分)设函数f(x)在区间[A,B]上连续但不一定可导，AabB。证b明：limh0af(xh)f(x)hdxf(b)f(a)。科目名称：高等数学（乙）第2页共3页2abbac(a,b)使得f(a)2f。十一、(本题满分10分)设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上有二阶导数。证明：存在2f(b)f(c)22十二、(本题满分10分)设f(x)在[a,b]上连续，且abbf(x)dx0，axf(x)dx0。证明：在(a,b)上至少有两点x1,x2，使得f(x1)f(x2)0。科目名称：高等数学（乙）第3页共3页3