2012中考数学压轴题的解决策略

中考数学压轴题的解决策略抛物线是初中数学中很重要的一个知识点，也是学好高中数学的基础。不但如此，它更是一根轴，能够把初中数学很多重要的知识点带动起来。因此，近些年，在全国各地的中考试题中，抛物线经常作为重点题和压轴题，来全面考察学生的数学知识和学习潜力。因此，针对这种情况，我们都必须引起高度的重视，认识抛物线，攻克压轴题。一、熟悉抛物线的性质1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x=-ab2，顶点坐标(-ab2，abac442)2.a、b、c的几何含义。a的符号确定抛物线的开口方向，|a|的大小确定抛物线的开口程度；a与b的符号共同确定对称轴的位置；c的符号确定抛物线与y轴交点的位置。3.抛物线与X轴的交点（一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况）。Δ=b2-4ac0时，抛物线与x轴有2个交点。Δ=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。Δ=b2-4ac0时，抛物线与x轴没有交点。4.抛物线的增减性。当a0时，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在x=-ab2处取得最小值f(-ab2)=abac442，在对称轴的右侧y随x的增大而增大。当a＜0时，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在x=-ab2处取得最大值f(-ab2)=abac442，在对称轴的右侧y随x的增大而减小。二、了解抛物线解析式的求法1、已知三点坐标，选择一般式y=ax2+bx+c已知抛物线过A（1，-4）、B（2，-3）、C（4,5），求其解析式分析：y=x2－2x－32、已知顶点坐标，选择顶点式已知抛物线y=ax2-2ax+b的最低点纵坐标是-9，且过点（-2,0）分析：y=a(x－1)2－9过(－2,0)∴a=1，即y=x2－2x－83、已知交点坐标，选择交点式已知抛物线过A（1，0）、B（3，0）、C（0,6），求其解析式分析：y=a(x－1)(x－3)过（0，6）∴a=2，即y=2x2－8x+6点评：这种题型主要考察学生对抛物线基础知识的掌握程度，并能够用待定系数法灵活地求出抛物线的解析式。三、运用知识解决抛物线的综合问题1、抛物线与面积如图，抛物线y=x2-2x-3与x轴交与A、B两点(A在B的左边)，与y轴交与点C。P（4,5）在抛物线上。（1）、求S△ABC；分析：A（－1，0），B（3，0），C（0，－3）S△ABC=12×4×3=6（2）、第四象限的抛物线上是否存在点M,使S△MBC=3?如图①，MD∥BC交x轴于点D，∴S△MBC=S△DBC=3∴D（5，0）∴CD：y=x－5∴2523yxyxx得12(1,4)(2,3)MM（3）、第四象限的抛物线上是否存在点N,使S△NBC＞638?分析：如图②NE∥BC交x轴于E，若S△NBC=S△EBC=638则E（214，0）∴NE：y=x－214∴221423yxyxxx2－3x+94=0△=0此时直线NE与抛物线仅一个公共点，∴当S△NBC＞638时，点N不存在.（4）、抛物线上是否存在点Q,使S△PQA=S△PQB?分析：如图③（i）A、B位于PQ同侧时，Q（－2，5）（ii）A、B位于PQ异侧时，AG=BF，H（1，0）∴PQ：y=53x－53∴Q（－13，－209）C2C1QGHNMFBEDOAm（5）、抛物线上是否存在点Q,使S△PQA=2S△PQB?如图④（i）A、B位于PQ同侧时，AM=2BN∴12GBBNGAAM，∴G（7，0），∴PQ：y=53x+353，∴Q（－311，9160）（ii）A、B们于PQ异侧时，AS=2BT，∴12BHAH，∴H（53，0）∴PS：y=157x－257，∴Q2（17，－16049）点评：这种类型的题主要考察面积的转化方法、全等相似的运用、数形结合思想、解析法的思想、分类讨论思想。2、抛物线与图形变换①如图，已知抛物线C1：y=x2+bx+c交x轴与A（1,0），交y轴与B（0,2），顶点为D。将抛物线C1绕平面内某一点旋转180°得到抛物线C2，其顶点为E。若点D在C2上，点E在C1上。（1）、求抛物线C1的解析式；y=x2-3x+2（2）、若过A、B、E三点的圆的圆心在线段BE上，求抛物线C2的解析式。（3）、在②的条件下，直线x=m（m＞0）分别交抛物线C1、C2与M、N，抛物线C2交y轴与H点，且BM=HN，求m值。分析：①待定字数法求得C1:y=x2－3x+2D（35,22）并求出旋转中心；y=—（x-5/2）2+3/4（2，1/4）②过E点作EF⊥x轴于F，连AB、AE、BE，设E（m，n）由题意知BA⊥EA∴△BOA∽△AFE∴112nm，即12mn∴E（m，12m）在C1:y=x2－3x+2图象上∴m1=52，m2=1舍故C2:y=a(52x)2+34，过D（35,22）∴a=－1即C2:y=－(52x)2+34③分类讨论：（i）当四边形BMNH为平行四边形△BMG≌△HNQ∴MG=NQ，即m2－3m=－m2+5m∴m1=4，m2=0舍（ii）当四边形BMNH为等腰梯形时△BMW≌△HNJ∴BW=HJ即－m2+3m=－m2+5mm=0舍②、（2011江西南昌）将抛物线C1：y=－3x2+3沿x轴翻折，得抛物线C2,如图所示.（1）请直接写出抛物线C2的表达式.（2）现将抛物线C1向左平移m个单位长度，平移后得的新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A，B；将抛物线C2向右也平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为N，与x轴交点从左到右依次为D，E.①当B，D是线段AE的三等分点时，求m的值；②在平移过程中，是否存在以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由.分析：(1)C2y=3x2－3.(2)①令－3x2+3=0，得x1=－1,x2=1,则抛物线C1与x轴的两个交点坐标为（－1，0），（1，0）.∴A（－1－m，0），B（1+m,0）.当AD=31AE时,如图①，(－1+m)－(－1-m）=31[(1+m)－(－1－m)],∴m=21当AB=31AE时，如图②，(1－m)－(－1－m）=31[(1+m)-(-1-m)],∴m=2.∴当m=21或2时，B，D是线段AE的三等分点.②存在.理由：依题意可得M，N关于原点O对称，∴OM=ON.∵A（－1－m，0），E（1+m，0），∴OA=OE，∴四边形ANEM为平行四边形.图1DMCBAOxyEFQOxy当OM=OA，即m2+(3)2=[－(－1－m)]2,m=1.∴当m=1时，以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形.③、如图：抛物线C1:y=21(1)25x顶点为M，与x轴负半轴交于点A，将抛物线C1沿X轴翻折，再向右平移2个单位得到抛物线C2顶点为N，与x轴正半轴交于点B，P为C1上一点，Q为C2上一点，是否存在点P、Q，使四边形PMQN为菱形？若存在，求P、Q坐标，若不存在，说明理由。分析：C2:y=－21(3)25x连结MN交x轴于E，易证ME=NEE（2，0）过E作直线PQ交C1于P，交C2于Q，交y轴于F，△MGE≌△EOF∴F（0，1）∴PQ:y=112x又C1:y=21(1)25x∴P1（－4，3）P2（73,24）C2:y=21(3)25x∴Q1（8，－3）Q2（13,24）计算验证MP2=MQ2点评：将平移、轴对称与中心对称运用于二次函数的图象，是新课标中考对抛物线性质考察的一种新题型，主要考察学生对图形变换的认识、数形结合的思想、分类讨论的思想。3、抛物线与方程、不等式1、（2011武汉中考）．（本题满分12分）如图1，抛物线y=ax2+bx+3经过点A(-3,0),B(-1,0)两点，（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为M，直线y=-2x+9与y轴交于点C，与直线OM交于点D，现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上，若平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围；（3）如图2，将抛物线平移，当顶点至原点时，过Q（0,3）作不平行于x轴的直线交抛物线于E、F两点，问在y轴的负半轴上是否存在一点P,使△PEF的内心在y轴上，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。分析：（1）抛物线解析式为y=x2+4x+3EFQOxy（2）抛物线的顶点M(-2，-1),直线OD的解析式为y=21x.∴平移后的抛物线解析式为y=(x-h)2+21h①当抛物线经过点C时，∵C(0,9)得h=41451∴当41451≤x41451时，平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点②当抛物线与直线CD只有一个公共点时，由方程组9221)({2xyhhxy得x2+(-2h+2)x+h2+21h-9=0∴⊿=（-2h+2)2-4（h2+21h-9）=0解得h=4此时抛物线y=(x-4)2+2与射线CD只有唯一一个公共点为（3,3），符合题意综上所述，平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点时，顶点横坐标h的取值范围为h=4或41451≤x41451(3)设直线EF的解析式为y=kx+3(k≠0),点E、F的坐标分别为（m,m2）,(n,n2)由3{2kxyxy得x2-kx-3=0∴m+n=km·n=-3作点E关于y轴的对称点R(-m,m2）,作直线FR交y轴于点P，由对称性知∠EPQ=∠FPQ,此时△PEF的内心在y轴上∴点P即为所求的点。由F,R的坐标可得直线FR的解析式为y=(n-m)x+mn记y=(n-m)x-3，当x=0时，y=-3∴p(0,-3)∴y轴的负半轴上存在点P(0，-3)使△PEF的内心在y轴上。2、变式：点Q为y轴正半轴上一点，过Q作不平行于x轴的直线交抛物线于E、F两点，问是否存在一点Q，使△OEF的外心在EF上，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由。分析：设EF:y=kx+b，E（x1，y1），F（x2，y2）依题意有EO⊥OF，∴tan∠1=tan∠2，即1212xyyx，∴x1x2=－y1y2又x2－kx－b=0，x1+x1=k,x1x2=－b,y1y2=(x1x2)2，∴b1=0（舍）b2=1，即Q(0,1)点评：这种题型主要考察函数与方程（不等式）的思想、数形结合思想、重要概念（内心、外心）的运用、相似（三角函数）的运用、设而不求的思想以及韦达定理的运用。练习：1、（杭州市2012年中考数学模拟）如图，抛物线cbxxy2与x轴交与A(1,0),B(-3，0)两点，（1）求该抛物线的解析式；[来源:~@中^&教*网]（2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？，若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值.若没有，请说明理由.[来源:*中#教&@网~][来源:zzs*#~te^%p.com]2.(2012年，辽宁省营口市)(14分)如图，已知抛物线经过原点O和x轴上另一点A,它的对称轴x=2与x轴交于点C，直线y=-2x-1经过抛物线上一点B(-2,m)，且与y轴、直线x=2分别交于点D、E.（1）求m的值及该抛物线对应的函数关系式；（2）求证：①CB=CE；②D是BE的中点；（3）若P(x，y)是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点P,使得PB=PE,若存在，试求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.[中^国教#育出~版*&网]ABCABCODExyx=2