1高中数学数列练习题及解析

数列练习题一．选择题（共16小题）1．数列{an}的首项为3，{bn}为等差数列且bn=an+1﹣an（n∈N*），若b3=﹣2，b10=12，则a8=（）A．0B．3C．8D．112．在数列{an}中，a1=2，an+1=an+ln（1+），则an=（）A．2+lnnB．2+（n﹣1）lnnC．2+nlnnD．1+n+lnn3．已知数列{an}的前n项和Sn=n2﹣9n，第k项满足5＜ak＜8，则k等于（）A．9B．8C．7D．64．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，Sn=2an+1，则Sn=（）A．2n﹣1B．C．D．5．已知数列{an}满足a1=1，且，且n∈N*），则数列{an}的通项公式为（）A．an=B．an=C．an=n+2D．an=（n+2）3n6．已知数列{an}中，a1=2，an+1﹣2an=0，bn=log2an，那么数列{bn}的前10项和等于（）A．130B．120C．55D．507．在数列na中，若111,23(1)nnaaan，则该数列的通项na（）A．32nB．321nC．32nD．321n8．在数列{an}中，若a1=1，a2=，=+（n∈N*），则该数列的通项公式为（）A．an=B．an=C．an=D．an=9．已知数列{an}满足an+1=an﹣an﹣1（n≥2），a1=1，a2=3，记Sn=a1+a2+…+an，则下列结论正确的是（）A．a100=﹣1，S100=5B．a100=﹣3，S100=5C．a100=﹣3，S100=2D．a100=﹣1，S100=210．已知数列{an}中，a1=3，an+1=2an+1，则a3=（）A．3B．7C．15D．1811．已知数列{an}，满足an+1=，若a1=，则a2014=（）A．B．2C．﹣1D．112．已知数列na中，651a,11)21(31nnnaa，，则na=（）A．nn)31(2)21(3B．11)31(2)21(3nnC．nn)31(3)21(2D．11)31(3)21(2nn13．已知数列na中，11a；数列nb中，01b。当2n时，)2(3111nnnbaa,)2(3111nnnbab，求na,nb.（）14．已知：数列{an}满足a1=16，an+1﹣an=2n，则的最小值为（）A．8B．7C．6D．515．已知数列{an}中，a1=2，nan+1=（n+1）an+2，n∈N+，则a11=（）A．36B．38C．40D．4216．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，当n≥2时，an+2Sn﹣1=n，则S2015的值为（）A．2015B．2013C．1008D．1007二．填空题（共8小题）17．已知无穷数列{an}前n项和，则数列{an}的各项和为18．若数列{an}中，a1=3，且an+1=an2（n∈N*），则数列的通项an=．19．数列{an}满足a1=3，﹣=5（n∈N+），则an=．20．已知数列{an}的前n项和Sn=n2﹣2n+2，则数列的通项an=．21．已知数列{an}中，，则a16=．22．已知数列{an}的通项公式an=，若它的前n项和为10，则项数n为．23．数列{an}满足an+1+（﹣1）nan=2n﹣1，则{an}的前60项和为．24．已知数列{an}，{bn}满足a1=，an+bn=1，bn+1=（n∈N*），则b2012=．三．解答题（共6小题）25．设数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*．已知a1=1，a2=，a3=，且当a≥2时，4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn﹣1．（1）求a4的值；（2）证明：{an+1﹣an}为等比数列；（3）求数列{an}的通项公式．26．数列{an}满足a1=1，a2=2，an+2=2an+1﹣an+2．（Ⅰ）设bn=an+1﹣an，证明{bn}是等差数列；（Ⅱ）求{an}的通项公式．27．在数列{an}中，a1=1，an+1=（1+）an+．（1）设bn=，求数列{bn}的通项公式；（2）求数列{an}的前n项和Sn．28．（2015•琼海校级模拟）已知正项数列满足4Sn=（an+1）2．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=，求数列{bn}的前n项和Tn．29．已知{an}是等差数列，公差为d，首项a1=3，前n项和为Sn．令，{cn}的前20项和T20=330．数列{bn}满足bn=2（a﹣2）dn﹣2+2n﹣1，a∈R．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若bn+1≤bn，n∈N*，求a的取值范围．30．已知数列{an}中，a1=3，前n和Sn=（n+1）（an+1）﹣1．①求证：数列{an}是等差数列②求数列{an}的通项公式③设数列{}的前n项和为Tn，是否存在实数M，使得Tn≤M对一切正整数n都成立？若存在，求M的最小值，若不存在，试说明理由．2015年08月23日1384186492的高中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共16小题）1．（2014•湖北模拟）数列{an}的首项为3，{bn}为等差数列且bn=an+1﹣an（n∈N*），若b3=﹣2，b10=12，则a8=（）A．0B．3C．8D．11(累加)考点：数列递推式．菁优网版权所有专题：计算题．分析：先利用等差数列的通项公式分别表示出b3和b10，联立方程求得b1和d，进而利用叠加法求得b1+b2+…+bn=an+1﹣a1，最后利用等差数列的求和公式求得答案．解答：解：依题意可知求得b1=﹣6，d=2∵bn=an+1﹣an，∴b1+b2+…+bn=an+1﹣a1，∴a8=b1+b2+…+b7+3=+3=3故选B．点评：本题主要考查了数列的递推式．考查了考生对数列基础知识的熟练掌握．2．（2008•江西）在数列{an}中，a1=2，an+1=an+ln（1+），则an=（）A．2+lnnB．2+（n﹣1）lnnC．2+nlnnD．1+n+lnn(累加)考点：数列的概念及简单表示法．菁优网版权所有专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：把递推式整理，先整理对数的真数，通分变成，用迭代法整理出结果，约分后选出正确选项．解答：解：∵，，…∴=故选：A．点评：数列的通项an或前n项和Sn中的n通常是对任意n∈N成立，因此可将其中的n换成n+1或n﹣1等，这种办法通常称迭代或递推．解答本题需了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式写出数列的前几项．3．（2007•广东）已知数列{an}的前n项和Sn=n2﹣9n，第k项满足5＜ak＜8，则k等于（）A．9B．8C．7D．6考点：数列递推式．菁优网版权所有专题：计算题．分析：先利用公式an=求出an，再由第k项满足5＜ak＜8，求出k．解答：解：an==∵n=1时适合an=2n﹣10，∴an=2n﹣10．∵5＜ak＜8，∴5＜2k﹣10＜8，∴＜k＜9，又∵k∈N+，∴k=8，故选B．点评：本题考查数列的通项公式的求法，解题时要注意公式an=的合理运用．4．（2015•房山区一模）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，Sn=2an+1，则Sn=（）A．2n﹣1B．C．D．考点：数列递推式；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和．菁优网版权所有专题：计算题．分析：直接利用已知条件求出a2，通过Sn=2an+1，推出数列是等比数列，然后求出Sn．解答：解：因为数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，Sn=2an+1，a2=所以Sn﹣1=2an，n≥2，可得an=2an+1﹣2an，即：，所以数列{an}从第2项起，是等比数列，所以Sn=1+=，n∈N+．故选：B．点评：本题考查数列的递推关系式的应用，前n项和的求法，考查计算能力．5．（2015•衡水四模）已知数列{an}满足a1=1，且，且n∈N*），则数列{an}的通项公式为（）A．an=B．an=C．an=n+2D．an=（n+2）3n考点：数列递推式．菁优网版权所有分析：由题意及足a1=1，且，且n∈N*），则构造新的等差数列进而求解．解答：解：因为，且n∈N*）⇔，即，则数列{bn}为首项，公差为1的等差数列，所以bn=b1+（n﹣1）×1=3+n﹣1=n+2，所以，故答案为：B点评：此题考查了构造新的等差数列，等差数列的通项公式．6．（2015•江西一模）已知数列{an}中，a1=2，an+1﹣2an=0，bn=log2an，那么数列{bn}的前10项和等于（）A．130B．120C．55D．50考点：数列递推式；数列的求和．菁优网版权所有专题：等差数列与等比数列．分析：由题意可得，可得数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，利用等比数列的通项公式即可得到an，利用对数的运算法则即可得到bn，再利用等差数列的前n项公式即可得出．解答：解：在数列{an}中，a1=2，an+1﹣2an=0，即，∴数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴=2n．∴=n．∴数列{bn}的前10项和=1+2+…+10==55．故选C．点评：熟练掌握等比数列的定义、等比数列的通项公式、对数的运算法则、等差数列的前n项公式即可得出．7．在数列na中，若111,23(1)nnaaan，则该数列的通项na（）A．32nB．321nC．32nD．321n8．（2015•遵义校级二模）在数列{an}中，若a1=1，a2=，=+（n∈N*），则该数列的通项公式为（）A．an=B．an=C．an=D．an=考点：数列递推式．菁优网版权所有专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由=+，确定数列{}是等差数列，即可求出数列的通项公式．解答：解：∵=+，∴数列{}是等差数列，∵a1=1，a2=，∴=n，∴an=，故选：A．点评：本题考查数列递推式，考查数列的通项公式，确定数列{}是等差数列是关键．9．（2015•锦州一模）已知数列{an}满足an+1=an﹣an﹣1（n≥2），a1=1，a2=3，记Sn=a1+a2+…+an，则下列结论正确的是（）A．a100=﹣1，S100=5B．a100=﹣3，S100=5C．a100=﹣3，S100=2D．a100=﹣1，S100=2考点：数列递推式；数列的求和．菁优网版权所有专题：等差数列与等比数列．分析：由an+1=an﹣an﹣1（n≥2）可推得该数列的周期为6，易求该数列的前6项，由此可求得答案．解答：解：由an+1=an﹣an﹣1（n≥2），得an+6=an+5﹣an+4=an+4﹣an+3﹣an+4=﹣an+3=﹣（an+2﹣an+1）=﹣（an+1﹣an﹣an+1）=an，所以6为数列{an}的周期，又a3=a2﹣a1=3﹣1=2，a4=a3﹣a2=2﹣3=﹣1，a5=a4﹣a3=﹣1﹣2=﹣3，a6=a5﹣a4=﹣3﹣（﹣1）=﹣2，所以a100=a96+4=a4=﹣1，S100=16（a1+a2+a3+a4+a5+a6）+a1+a2+a3+a4=16×0+1+3+2﹣1=5，故选A．点评：本题考查数列递推式、数列求和，考查学生分析解决问题的能力．10．（2015春•沧州期末）已知数列{an}中，a1=3，an+1=2an+1，则a3=（）A．3B．7C．15D．18考点：数列的概念及简单表示法．菁优网版权所有专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：根据数列的递推关系即可得到结论．解答：解：∵a1=3，an+1=2an+1，∴a2=2a1+1=2×3+1=7，a3=2a2+1=2×7+1=15，故选：C．点评：本题主要考查数列的计算，利用数列的递推公式是解决本题的关键，比较基础．11．（2015春•巴中校级期末）已知数列{an}，满足an+1=，若a1=，则a2014=（）A．B．2C．﹣1D．1考点：数列递推式．菁优网版权所有专题：等差数列与等比数列．分析：由已知条件，分别令n=1，2，3，4，利用递推思想依次求出数列的前5项，由此得到数列{an}是周期为3的周期数