2-1函数的概念.

《走向高考》高考总复习·数学(配人教版)第二章函数首页上页下页末页B●命题趋势1．函数考查的重点是函数的概念、性质及其应用；考查的热点是函数模型的应用、函数的图象与性质、函数与其它章节知识(如数列、方程、不等式、解析几何等知识)的交汇．在考查函数知识的同时，又考查运用函数的思想、数形结合思想和分类讨论思想解决问题的能力．(1)函数的概念与函数的定义域、值域、函数解析式一般不会单独命题．近几年来多在应用问题中对函数解析式与定义域进行考查，要求考生概括题意建立数学模型，写出函数解析式，这种把实际问题转化为数学问题的能力是考查的重点方向．《走向高考》高考总复习·数学(配人教版)第二章函数首页上页下页末页B(2)函数性质主要是单调性、奇偶性的考查，有时也涉及周期性．要求考生会利用单调性比较大小，求函数最值与解不等式，并要求会用定义证明函数的单调性．新课标对函数的奇偶性要求降低了很多，故应重点掌握其基本概念和奇偶函数的对称性．(3)函数的图象主要是在选择与填空题中考查用数形结合法解题和识图能力，大题常在应用题中给出图象据图象求解析式．《走向高考》高考总复习·数学(配人教版)第二章函数首页上页下页末页B2指数函数、对数函数是新课标考查的重要方面．指数函数主要题型有：指数函数的图象与性质、幂值的大小比较、由指数函数复合而成的综合问题．对数是常考常变的内容，主要题型是对数函数的图象性质、对数运算法则、对数函数定义域．幂函数新课标要求较低，只要掌握幂函数的概念、图象与简单性质，仅限于几个特殊的幂函数．反函数新课标比原大纲要求有较大幅度降低，只要知道指数函数与对数函数互为反函数及定义域、图象的关系即可，不宜过分延伸．因此命题会主要集中在指数、对数的运算性质，指、对函数的图象与性质及数值大小比较等问题上，结合数形结合、分类讨论、函数与方程的思想予以考查，与方程、不等式、分段函数、数列、导数、三角函数等相联系，仍将是命题的重点．《走向高考》高考总复习·数学(配人教版)第二章函数首页上页下页末页B3．函数与方程、函数的应用主要考查(1)零点与方程实数解的关系．(2)函数的概念、性质、图象和方法的综合问题．(3)导数与零点的结合；方程、不等式、数列与函数的综合问题．(4)函数与解析几何知识的综合问题．(5)常见基本数学模型，如分段函数，增长率、幂、指、对等．《走向高考》高考总复习·数学(配人教版)第二章函数首页上页下页末页B重点难点重点：①映射与函数的概念．②函数的定义域、值域及求法．③分段函数．难点：①映射定义．②复合函数及分段函数．《走向高考》高考总复习·数学(配人教版)第二章函数首页上页下页末页B1．映射(1)映射的概念：设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的一个元素，在集合B中都有的元素与它对应，这样的对应关系叫做从集合A到集合B的映射，记作f：A→B.(2)象和原象：给定一个集合A到B的映射，且a∈A，b∈B，如果元素a和元素b对应，那么我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象．任何惟一《走向高考》高考总复习·数学(配人教版)第二章函数首页上页下页末页B2．函数的定义域及其求法(1)函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围．(2)根据函数解析式求函数定义域的依据有：①分式的分母不得为0；②偶次方根的被开方数不得小于0；③对数函数的真数必须大于0；④指数函数和对数函数的底数必须大于0且不等于1；⑤三角函数中的正切函数y＝tanxx∈R，且x≠kπ＋π2，k∈Z，《走向高考》高考总复习·数学(配人教版)第二章函数首页上页下页末页B(3)已知f(x)的定义域是[a，b]，求f[g(x)]的定义域，是指满足a≤g(x)≤b的x的取值范围；已知f[g(x)]的定义域是[a，b]指的是x∈[a，b]．求f(x)的定义域，是指在x∈[a，b]的条件下，求g(x)的值域．(4)如果函数是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合．(5)求定义域的一般步骤：①写出函数式有意义的不等式(组)；②解不等式(组)；③写出函数的定义域．《走向高考》高考总复习·数学(配人教版)第二章函数首页上页下页末页B3基本初等函数的值域①y＝kx＋b(k≠0)的值域为R.④y＝ax(a0，且a≠1)的值域是(0，＋∞)．⑤y＝logax(a0，且a≠1)的值域是R.⑥y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的值域分别为[－1,1]，[－1，1]，R.②y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域是当a0时，值域为4ac－b24a，＋∞；当a0时，值域为－∞，4ac－b24a.③y＝kx(k≠0)的值域是{y|y∈R且y≠0}．《走向高考》高考总复习·数学(配人教版)第二章函数首页上页下页末页B(4)求函数值域的常见方法①直接法——从自变量x的范围出发，通过观察和代数运算推出y＝f(x)的取值范围；②配方法——配方法是求“二次型函数”值域的基本方法，形如F(x)＝af2(x)＋bf(x)＋c的函数的值域问题，均可使用配方法．③反函数法——利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域．形如y＝cx＋dax＋b(a≠0)的函数的值域，均可使用反函数法．此外，这种类型的函数值域也可使用“分离常数法”求解．《走向高考》高考总复习·数学(配人教版)第二章函数首页上页下页末页B④判别式法——把函数转化成关于x的二次方程F(x，y)＝0，通过方程有实根，判别式Δ≥0，从而求得原函数的值域．形如y＝a1x2＋b1x＋c1a2x2＋b2x＋c2(a1，a2不同时为零)的函数的值域常用此法求解．前提条件：1°函数的定义域应为R；2°分子、分母没有公因式．⑤换元法——运用代数或三角代换，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域．例如：形如y＝ax＋b±cx＋d(a、b、c、d均为常数，且a≠0)的函数常用此法求解．《走向高考》高考总复习·数学(配人教版)第二章函数首页上页下页末页B⑦单调性法——根据函数在定义域(或定义域的某个子集)上的单调性求出函数的值域．⑧求导法——当一个函数在定义域上可导时，可据其导数求最值；⑨数形结合法——当一个函数图象可作时，通过图象可求其值域和最值；或利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法求出函数的值域．⑥不等式法——利用基本不等式：a＋b≥2ab(a、b∈R＋)求函数的值域．用不等式法求值域时，要注意均值不等式的使用条件“一正、二定、三相等”．《走向高考》高考总复习·数学(配人教版)第二章函数首页上页下页末页B5．求函数的解析式一般有四种情况①根据某实际问题需建立一种函数关系式，这种情况需引入合适的变量，根据数学的有关知识找出函数关系式；②有时题中给出函数形式，求函数的解析式，可用待定系数法，如函数是二次函数，可设为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，其中a、b、c是待定系数，根据题设条件，列出方程组，解出a、b、c即可；③换元法求解析式，已知f[h(x)]＝g(x)求f(x)的问题，往往可设h(x)＝t，从中解出x，代入g(x)进行换元来解；《走向高考》高考总复习·数学(配人教版)第二章函数首页上页下页末页B④消元法，已知f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)是未知量外，还出现其它未知量，如f(－x)、f1x等，必须根据已知等式再构造其它等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．《走向高考》高考总复习·数学(配人教版)第二章函数首页上页下页末页B误区警示1．映射的定义是有方向性的，即从集合A到B与集合B到A的映射是两个不同的映射．2．判断两个函数是否为同一个函数，紧扣函数的两个要素是解题关键．只有定义域、对应法则相同的函数才是同一函数．3．复合函数求定义域时，常因不能深刻理解函数定义域的意义而致误，常见的是把已知f(x)的定义域求f(g(x))的定义域与已知f[g(x)]的定义域求f(x)的定义域混淆．4．解题过程中忽视定义域的限制作用致误5．忽视实际问题的实际意义的限制作用．《走向高考》高考总复习·数学(配人教版)第二章函数首页上页下页末页B6．换元法求解析式或函数值域，换元后易漏掉考虑新元的取值范围．7．求函数值域时，不但要重视对应法则的作用，而且要特别注意定义域的制约作用．如已知f(x)＝log3xx∈[1,9]，求函数y＝f(x2)＋f2(x)的值域时，函数y＝f(x2)＋f2(x)的定义域不再是x∈[1,9]而是x∈[1,3]8．判别式法求值域对端点要进行检验．9．利用均值不等式时求值域时，要注意必须满足已知条件和不等式一端是常数，等号能成立，还要注意符号．《走向高考》高考总复习·数学(配人教版)第二章函数首页上页下页末页B《走向高考》高考总复习·数学(配人教版)第二章函数首页上页下页末页B一、定义法用数学概念的基本定义解决相关问题的方法，称之为定义法．利用定义解题的关键是把握住定义的本质特征．二、求函数解析式常用的方法1．配凑法当已知函数表达式比较简单时，可直接应用此法．即根据具体解析式凑出复合变量的形式，从而求出解析式．2．换元法已知f(g(x))是关于x的函数，即f[g(x)]＝F(x)，求f(x)的解析式，通常令g(x)＝t，由此能解出x＝φ(t)．将x＝φ(t)代入f[g(x)]＝F(x)中，求得f(t)的解析式，再用x替换t，便得f(x)的解析式．注意，换元后要确定新元t的取值范围．《走向高考》高考总复习·数学(配人教版)第二章函数首页上页下页末页B[例1]已知f(1－cosx)＝sin2x，求f(x)．解析：令t＝1－cosx，则cosx＝1－t∴sin2x＝1－cos2x＝1－(1－t)2＝－t2＋2t∴f(x)＝－x2＋2x但t＝1－cosx∈[0,2]∴f(x)＝－x2＋2xx∈[0,2]．《走向高考》高考总复习·数学(配人教版)第二章函数首页上页下页末页B3．待定系数法若已知函数的结构形式，则可用此法．[例2]设二次函数f(x)满足f(x＋2)＝f(2－x)，且f(x)＝0的两实根平方和为10，图象过点(0,3)，求f(x)的解析式．解析：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)由f(x＋2)＝f(2－x)知，该函数的图象关于直线x＝2对称∴－b2a＝2，即b＝－4a①又图象过点(0,3)，∴c＝3②《走向高考》高考总复习·数学(配人教版)第二章函数首页上页下页末页B由①、②、③得a＝1，b＝－4，c＝3(a＝0应舍去)∴f(x)＝x2－4x＋3由方程f(x)＝0的两实根平方和为10，得(－ba)2－2ca＝10，即b2－2ac＝10a2③《走向高考》高考总复习·数学(配人教版)第二章函数首页上页下页末页B4．消元法已知f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)是未知量外，还出现其它未知量，如f(－x)、f1x等，必须根据已知等式再构造其它等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．[例3]已知函数f(x)满足条件：f(x)＋2f(1x)＝x，则f(x)＝________.《走向高考》高考总复习·数学(配人教版)第二章函数首页上页下页末页B分析：由于难以判断f(x)是何种类型的函数，故不可能先设出f(x)的表达式，但如果把条件中的x换成1x，即得f(1x)＋2f(x)＝1x，把f(x)、f(1x)作为一个整体量，实际上得到了这两个量的方程组．《走向高考》高考总复习·数学(配人教版)第二章函数首页上页下页末页B解析：用1x代换条件方程中的x得f(1x)＋2f(x)＝1x，把它与原条件式联立．即得fx＋2f1x＝x，①f1x＋2fx＝1x.②②×2－①得f(x)＝2－x23x.《走向高考》高考总复习·数学(配人教版)第二章函数首页上页下页末页B点评：充分抓住已知条件式的结构特征，运用x取值的任意性获得②式是解决此题的关键．若已知2f(x)－f(－x)＝2x－1，你会求f(x)吗？《走向高考》高考总复习·数学(配人