2-2n阶行列式-线性代数

§2.2n阶行列式一、全排列及其逆序数同的排法？，共有几种不个不同的元素排成一列把n问题定义把个不同的元素排成一列，叫做这个元素的全排列（或排列）.nn个不同的元素的所有排列的种数，通常用表示.nnP由引例1233P.6nPn)1(n)2(n123!.n同理我们规定各元素之间有一个标准次序,n个不同的自然数，规定由小到大为标准次序.排列的逆序数在一个排列中，若数则称这两个数组成一个逆序.nstiiiii21stii例如排列32514中，定义32514逆序逆序逆序定义一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.例如排列32514中，32514逆序数为31010故此排列的逆序数为3+1+0+1+0=5.逆序数为奇数的排列称为奇排列;逆序数为偶数的排列称为偶排列.排列的奇偶性计算排列逆序数的方法方法1分别计算出排在前面比它大的数码之和即分别算出这个元素的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求排列的逆序数.n,n,,,121n,n,,,121n分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数.方法2例1求排列32514的逆序数.解在排列32514中,3排在首位,逆序数为0;2的前面比2大的数只有一个3,故逆序数为1;3251401031于是排列32514的逆序数为13010t.55的前面没有比5大的数,其逆序数为0;1的前面比1大的数有3个,故逆序数为3;4的前面比4大的数有1个,故逆序数为1;例2计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性.2179863541解453689712544310010t18此排列为偶排列.540100134321212nnn解12,21nn当时为偶排列；14,4kkn当时为奇排列.34,24kkn1nt2n32121nnn1n2n二、n阶行列式的定义333231232221131211aaaaaaaaaD322113312312332211aaaaaaaaa332112322311312213aaaaaaaaa为了给出n阶行列式的定义，我们先来研究三阶行列式的结构。三阶行列式的定义为说明（1）三阶行列式共有项，即项．6!3（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积．（3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列的三个元素的下标排列．例如322113aaa列标排列的逆序数为,211312t322311aaa列标排列的逆序数为,101132t偶排列奇排列正号,负号.)1(321321333231232221131211ppptaaaaaaaaaaaannnnnnnppptaaaaaaaaaDaaannnn212222111211212.)1(21记作的代数和个元素的乘积取自不同行不同列的阶行列式等于所有个数组成的由定义).det(ija简记作的元素．称为行列式数)det(ijijaa为这个排列的逆序数．的一个排列，，，，为自然数其中tnpppn2121nnnnppppppppptnnnnnnaaaaaaaaaaaaD212121212122221112111说明1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的;2、阶行列式是项的代数和;n!n3、阶行列式的每项都是位于不同行、不同列个元素的乘积;nn4、一阶行列式不要与绝对值记号相混淆;aa5、的符号为nnpppaaa2121.1t例1计算对角行列式0004003002001000分析展开式中项的一般形式是43214321ppppaaaa41p若,011pa从而这个项为零，所以只能等于,1p4同理可得1,2,3432ppp解0004003002001000432114321t.24即行列式中不为零的项为.aaaa41322314例2计算上三角行列式nnnnaaaaaa00022211211分析展开式中项的一般形式是.2121nnpppaaa,npn,11npn,1,2,3123ppnpn所以不为零的项只有.2211nnaaa解nnnnaaaaaa00022211211nnntaaa2211121.2211nnaaa例3?8000650012404321D443322118000650012404321aaaaD.1608541同理可得下三角行列式nnnnnaaaaaaa32122211100000.2211nnaaan21.12121nnn;21nn21例4证明对角行列式n2111,212111nnnnntaaa.12121nnn证明第一式是显然的,下面证第二式.若记,1,iniia则依行列式定义11,21nnnaaa证毕1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的.2、阶行列式共有项，每项都是位于不同行、不同列的个元素的乘积,正负号由下标排列的逆序数决定.nn!n三、小结