2012届静安区高三一模数学理

第1页上海市静安区2012届高三上学期期末教学质量检测数学（理）试题（本试卷满分150分考试时间120分钟）2012.1考生注意：1．本试卷包括试题纸和答题纸两部分．2．在试题纸上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题．3．可使用符合规定的计算器答题．一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．设i为虚数单位，若复数ibi1)1(2（Rb）的实部与虚部相等，则实数b的值为.2.函数1cossin1)(xxxf的定义域为.3.若二项式92)1(axx的展开式中，9x的系数为221，则常数a的值为.4.若关于x的一元二次方程0)2lg(222aaxx两根异号，则实数a的取值范围是.5.若0a，则关于x的不等式组02,0222aaxxaax的解集为.6.有8本互不相同的书，其中数学书3本，外文书3本，文学书2本.若将这些书排成一列放在书架上，则数学书恰好排在一起，外文书也恰好排在一起的排法共有种.（结果用数值表示）7.函数xxxxeeeexf11)(在闭区间]21,21[上的最小值为.8.已知向量a、b的夹角为150，1a，3b，则ba313=.9.已知圆锥侧面积为2cm2，高为3cm，则该圆锥底面周长为cm.10.已知等差数列na的前10项之和为30，前20项之和为100，则283aa=.11.已知为锐角，为钝角，32sin，91cos，则)(2cos的值为.12.从5名男生和5名女生中选取4人参加比赛，要求男女生都有，那么两女生小张和小李同时被选中的概率为.第2页13.记时当时当babbaaba,,,min，已知函数34,12min)(222xxttxxxf是偶函数（t为实常数），则函数)(xfy的零点为.（写出所有零点）14.已知函数axxxxf11)(的图像关于垂直于x轴的直线对称，则a的取值集合是.二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分．15．下列命题正确的是…………………………………………………………………()（A）limnnaA,limnnbB则limnnnaAbB(0,nbnN)（B）若数列{}na、{}nb的极限都不存在，则{}nnab的极限也不存在（C）若数列{}na、{}nnab的极限都存在,则{}nb的极限也存在（D）设12nnSaaa，若数列{}na的极限存在,则数列{}nS的极限也存在16.若A、B为锐角△ABC的两内角，则点)sincos,cos(sinABABP是…()(A)第一象限的点(B)第二象限的点(C)第三象限的点(D)第四象限的点17．若a、b、c都是复数，则“222cba”是“0222cba”的………()(A)充要条件(B)既非充分条件又非必要条件(C)充分而非必要条件(D)必要而非充分条件18．若xyyx4)(cos22，则x，y满足的条件是…………………………………()(A)yx且0x(B)yx且0x或yx且0x(C)yx且0x，0y(D)yx且0x三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.（1）已知a、b为正实数，ba，0x，0y.试比较ybxa22与yxba2)(的大小，并指出两式相等的条件；第3页（2）求函数xxxf2192)(，)21,0(x的最小值.20．(本题满分15分)本题共有2个小题，第1小题满分9分，第2小题满分6分.如图，在四棱锥ABCDP的底面梯形ABCD中，BCAD//，BCAB，1AB，3AD，045ADC.又已知PA平面ABCD，1PA.求：（1）异面直线PD与AC所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）（2）四棱锥ABCDP的体积；21．(本题满分15分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分9分.某市地铁连同站台等附属设施全部建成后，平均每1公里需投资人民币1亿元.全部投资都从银行贷款.从投入营运那一年开始，地铁公司每年需归还银行相同数额的贷款本金0.05亿元.这笔贷款本金先用地铁营运收入支付，不足部分由市政府从公用经费中补足.地铁投入营运后，平均每公里年营运收入（扣除日常管理费等支出后）第一年为0.0124亿元，以后每年增长20%，到第20年后不再增长.求：（1）地铁营运几年，当年营运收入开始超过当年归还银行贷款本金？（2）截至当年营运收入超过当年归还银行贷款本金的那一年，市政府已累计为1公里地铁支付多少元费用？（精确到元，1亿=8101）PDCBA第4页22．(本题满分16分)本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分8分.已知0a且1a，数列na是首项与公比均为a的等比数列，数列nb满足nnnaablg（*Nn）.（1）求数列nb的前n项和nS；（2）如果对于*Nn，总有1nnbb，求a的取值范围.23．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知函数aaxxxf3)(2，Ra.（1）求a的取值范围，使)(xfy在闭区间]3,1[上是单调函数；（2）当20x时，函数)(xfy的最小值是关于a的函数)(am.求)(am的最大值及其相应的a值；（3）对于Ra，研究函数)(xfy的图像与函数322xxy的图像公共点的个数、坐标，并写出你的研究结论.第5页参考答案1．2b；2．ZkkxkxRxx,2,22,；3．2；4．)1,21()0,21(；5．),(aa；6．8647．21e；8．1；9．210．14；11．729239；12．8113．1,3x；14．3,0,315——18CDCB19．（1）作差比较：ybxa22yxba2)(=0)()(2yxxybxay.………………4分所以，ybxa22yxba2)(.…………………………………………6分当bxay时，两式相等.…………………………………………8分（2）解法1：25212)32(2192421922xxxxxx.……………3分当xx23)21(2，即51x时，)21,0(51，函数取得最大值25.……6分解法2：xxxxx22522192，令tx52，则)29,2(t,设)(xfy，则5225)2(22ttty，化简并变形得1318225tty；因为121822182tt，……………3分当且仅当)29,2(3t时等号成立，且)3,2(t时tt182递增，)29,3(t时tt182递减，2t或29时，13182tt，所以1131820tt，251318225tty，当3t即51,352xx时取得最大值25。……6分第6页20．（1）连接AC，过点C作ABCF//交AD于点F，因为045ADC，所以1FD，从而2AFBC，…………2分解法1：延长BC至E，使得3ADCE，则DEAC//且5ACDE，26AE，3327PE，10PD.5分在△PDE中，523cosPDE.……8分所以，异面直线PD与AC所成角的大小为523arccos.………9分解法2：建立如图所示的空间直角坐标系.则)0,2,1(),1,0,0(),0,3,0(),0,0,0(CPDA.所以)0,2,1(AC，)1,3,0(PD，………………5分设异面直线PD与AC所成角的大小为，则523256cosPDACPDAC.………………8分所以异面直线PD与AC所成角的大小为523arccos.………………9分（2）底面梯形面积为25.四棱锥的体积为31底面积高，……………3分所以，四棱锥ABCDP的体积为6512531.………………………6分21．（1）地铁营运第n年的收入1)2.01(0124.0nna，*Nn…………2分PDCBAEFPDCBAEFxzy第7页根据题意有：05.0)2.01(0124.01n，………………………………4分解得n9年.（或者05.0)2.01(0124.01n，解得n10年）答：地铁营运9年，当年营运收入开始超过当年归还银行贷款本金.…………6分（2）市政府各年为1公里地铁支付费用第1年：0124.005.0；第2年：2.10124.005.0；......第n年：12.10124.005.0n.………………………………2分n年累计为：]2.10124.02.10124.02.10124.00124.0[05.012nn，……4分将8n代入得，1954113485.02.11)2.11(0124.0805.08亿.………8分答：截至当年营运收入超过当年归还银行贷款本金的那一年，市政府累计为一公里地铁共支付19541135元费用.………………………………………………9分22．（1）由已知有nnaa，anaaabnnnnlglg.2分所以anaanaaaSnnnlg])1(32[132，anaanaaaSnnnlg])1(2[132，5分所以anaaaaaaSannnnlg)()1(1132，因为1a，所以aanaaaaaSnnnlg1lg)1()1(12.……………………8分（2）1nnbb即aananannlg)1(lg1.由0a且1a得aananlg)1(lg.2分所以0)1(0lgnana或0)1(0lgnana……………………………3分第8页即110nnaa或11nnaa对任意*Nn成立，………………………5分而11limnnn，且2111nn，所以210a或1a.……………8分23．（1）函数aaxxxf3)(2图像的对称轴为2ax.因为)(xf在闭区间]3,1[上是单调函数，所以12a或32a.故6a或2a.………………………………………………4分（2）当0a时，afam3)0()(；当04a时，341)2()(2aaafam；当4a时，7)2()(afam.………………………………2分所以，0,304,3414,7)(2aaaaaaaam分段讨论并比较大小得，当2a时，)(am有最大值4.………………6分（3）公共点的横坐标x满足32322xxaaxx.即x是方程)1(xa=33222xxx的实数解.设332)(22xxxxh，则直线)1(xay与)(xhy有公共点时的横坐标与上述问题等价.当1x或3x时，62332)(22xxxxxh；解方程)1(62xax即6)2(axa，得26aax，2a；……1分当31x时，xxxxxxh22332)(222.第9页解方程)1(222xaxx即0)2(22axax，得2ax或1x；……2分研究结论及评分示例：（满分6分）结论1：无论a取何实数值，点)4,