2012届高三数学一轮复习基础导航211参数方程

21.1参数方程【考纲要求】1、了解参数方程，了解参数的意义.2、能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.3、了解平摆线、渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程.4、了解其他摆线的生成过程，了解摆线在实际中的应用，了解摆线在表示行星运动轨道中的作用.【基础知识】1、参数方程化为普通方程的过程就是消参过程，常见方法有三种：（1）代入法：利用解方程的技巧求出参数t，然后代入消去参数（包括整体消元）（2）三角法：利用三角恒等式消去参数。请注意：化参数方程为普通方程为0),(yxF：在消参过程中注意变量x、y取值范围的一致性，必须根据参数的取值范围，确定)(tf和)(tg值域得x、y的取值范围。2、常见曲线的参数方程：（1）圆22200()()xxyyr的参数方程为sincos00ryyrxx（为参数）；（2）椭圆12222byax的参数方程为sincosbyax（为参数）；（3）双曲线12222byax的参数方程tansecbyax（为参数）；（4）抛物线22ypx参数方程222xptypt(t为参数）；（5）过定点),(00yxP、倾斜角为的直线的参数方程sincos00tyytxx（t为参数）。【典型例题】例1已知圆M：x＝1＋cosθy＝sinθ(θ为参数)的圆心F是抛物线E：x＝2pt2y＝2pt的焦点，过焦点F的直线交抛物线于A、B两点，求AF·FB的取值范围.【解析方法代码108001169】解析：曲线M：x＝1＋cosθy＝sinθ的普通方程是(x－1)2＋y2＝1，所以F(1,0)．抛物线E：x＝2pt2y＝2pt的普通方程是y2＝2px，所以p2＝1，p＝2，抛物线的方程为y2＝4x.设过焦点F的直线的参数方程为x＝1＋tcosθy＝tsinθ(t为参数)，代入y2＝4x，得t2sin2θ－4tcosθ－4＝0.所以AF·FB＝|t1t2|＝4sin2θ.因为0sin2θ≤1，所以AF·FB的取值范围是[4，＋∞)．例2已知直线l经过点P(1,1)，倾斜角α＝π6.(1)写出直线l的参数方程；(2)设l与圆x＝2cosθy＝2sinθ(θ是参数)相交于两点A，B，求点P到A，B两点的距离之积．解析：(1)直线的参数方程是x＝1＋32ty＝1＋12t(t是参数)．(2)∵点A，B都在直线l上，∴可设点A，B对应的参数分别为t1和t2，则点A，B的坐标分别为A1＋32t1，1＋12t1，B1＋32t2，1＋12t2，将直线l的参数方程代入圆的方程x2＋y2＝4，整理得t2＋(3＋1)t－2＝0.①∵t1和t2是方程①的解，从而t1t2＝－2，∴|PA|·|PB|＝|t1t2|＝|－2|＝2.21.1参数方程强化训练[来源:学科网ZXXK]【基础精练】1.将参数方程x＝2＋sin2θy＝sin2θ(θ为参数)化为普通方程为____________．2．参数方程x＝t＋1ty＝2(t为参数)表示的曲线是________．3．若直线l1：x＝1－2t，y＝2＋kt(t为参数)与直线l2：x＝s，y＝1－2s(s为参数)垂直，则k＝________.4．若直线2x＋ky－1＝0(k∈R)与曲线x＝cosθ，y＝－1＋sinθ(θ为参数)相切，则k值为________．[来源:Zxxk.Com]5．已知曲线x＝2pt2y＝2pt(t为参数，p为常数，p0)上的两点M、N对应的参数分别为t1和t2，且t1＋t2＝0，则|MN|＝______.6．直线x＝2＋ty＝3t被双曲线x2－y2＝1截得的弦长为________．7．求直线l1：x＝1＋ty＝－5＋3t和直线x－y－23＝0的交点P的坐标，及点P与Q(1，－5)的距离．8．过点P(－3,0)且倾斜角为30°的直线和曲线x＝t＋1ty＝t－1t(t为参数)相交于A、B两点，求线段AB的长．[来源:Z.xx.k.Com][来源:Zxxk.Com]9．已知直线C1：x＝1＋tcosα，y＝tsinα(t为参数)，C2：x＝cosθy＝sinθ(θ为参数)．(1)当α＝π3时，求C1与C2的交点坐标；(2)过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A，P为OA的中点．当α变化时，求P点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．10．已知椭圆C的极坐标方程为ρ2＝123cos2θ＋4sin2θ，点F1、F2为其左、右焦点，直线l的参数方程为x＝2＋22t，y＝22t(t为参数，t∈R)．(1)求直线l和曲线C的普通方程；(2)求点F1、F2到直线l的距离之和．高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！【拓展提高】1．已知直线l的参数方程为x＝2＋t，y＝3t(t为参数)，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ＝1.(1)求曲线C的普通方程；(2)求直线l被曲线C截得的弦长.[来源:Z*xx*k.Com]2．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x＝4－2t，y＝t(t为参数)，椭圆C的方程为x＝2cosθ，y＝sinθ(θ为参数，θ∈R)．试在椭圆C上求一点P，使得P到直线l的距离最小．[来源:学科网][来源:学&科&网Z&X&X&K][来源:学,科,网]【基础精练参考答案】5.4p|t1|【解析】：曲线表示抛物线y2＝2px，线段MN垂直于抛物线的对称轴，所以|MN|＝2p|t1－t2|＝4p|t1|.6.210【解析】：直线参数方程化为x＝2＋t2y＝0＋32t，代入双曲线x2－y2＝1得t2－4t－6＝0.高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！设两交点对应的参数为t1，t2，则弦长d＝|t1－t2|＝t1＋t22－4t1t2＝210.7.43【解析】：将x＝1＋ty＝－5＋3t化为x＝1＋12ty＝－5＋32t，代入x－y－23＝0得t＝43，∴P(1＋23，1)．由参数t的几何意义得|PQ|＝|t|＝43.8.217【解析】：曲线x＝t＋1ty＝t－1t的普通方程为x2－y2＝4.过点P(－3,0)且倾斜角为30°的直线方程为y＝33x＋3，联立方程组y＝33x＋3，x2－y2＝4消去y得，23x2－2x－7＝0，∴x1x2＝－212，x1＋x2＝3，∴AB＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2x1＋x22－4x1x2＝217.9.【解析】：(1)当α＝π3时，C1的普通方程为y＝3(x－1)，C2的普通方程为x2＋y2＝1.联立方程组y＝3x－，x2＋y2＝1，解得C1与C2的交点为(1,0)，12，－32.(2)C1的普通方程为xsinα－ycosα－sinα＝0.A点坐标为(sin2α，－cosαsinα)，故当α变化时，P点轨迹的参数方程为x＝12sin2α，y＝－12sinαcosα，(α为参数)．P点轨迹的普通方程为x－142＋y2＝116.故P点轨迹是圆心为14，0，半径为14的圆．10.【解析】：(1)直线l的普通方程为y＝x－2；[来源:Zxxk.Com]高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！曲线C的普通方程为x24＋y23＝1.(2)∵F1(－1,0)，F2(1,0)，∴点F1到直线l的距离d1＝|－1－0－2|2＝322，点F2到直线l的距离d2＝|1－0－2|2＝22，∴d1＋d2＝22.【拓展提高参考答案】2.【解析】：方法一：直线l的普通方程为x＋2y－4＝0，设P(2cosθ，sinθ)，点P到直线l的距离为d＝|2cosθ＋2sinθ－4|5＝154－22sinθ＋π4，所以当sinθ＋π4＝1时，d有最小值．此时sinθ＝sinθ＋π4－π4＝sinθ＋π4cosπ4－cosθ＋π4sinπ4＝22，cosθ＝cosθ＋π4－π4＝cosθ＋π4cosπ4＋sinθ＋π4sinπ4＝22，所以点P的坐标为2，22.从而椭圆C上到直线l的距离最小的点P的坐标为2，22.方法二：设与直线l平行的直线l′的方程为x＋2y＝m.当l′与椭圆C只有一个公共点且l′与l距离最小时，l′与椭圆C的公共点即为所求的点P.高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！椭圆的普通方程为x24＋y2＝1.联立x24＋y2＝1，x＋2y＝m消去x，得8y2－4my＋m2－4＝0.因为l′与椭圆C只有一个公共点，所以Δ＝16m2－32(m2－4)＝0，解得m＝22或m＝－22.l′与l的距离为d＝|m－4|5，所以当m＝22时，d最小，此时点P的坐标为2，22.[来源:学科网]