2012届高考数学(理)一轮复习定时检测(带详细解析)3.3定积分(人教A版)

§3.3定积分一、选择题(每小题7分，共42分)1．(2010·德州阶段检测)ʃπ2－π2(sinx＋cosx)dx的值是()A．0B.π4C．2D．4解析2π2π(sinx＋cosx)dx＝2π2πsinxdx＋2π2πcosxdx＝(－cosx)|2π2π|＋sinx|2π2π＝－cosπ2＋cos－π2＋sinπ2－sin－π2＝1－(－1)＝2.答案C2．(2009·潍坊模拟)若函数f(a)＝ʃa0(2＋sinx)dx，则ffπ2等于()A．1B．0C．2π＋3＋cos1D．1－cos1解析∵f(a)＝ʃa0(2＋sinx)dx＝(2x－cosx)|a0＝2a－cosa＋1，∴fπ2＝π＋1，∴ffπ2＝f(π＋1)＝2(π＋1)－cos(π＋1)＋1＝2π＋cos1＋3.答案C3．(2010·洛阳质检)若ʃk0(2x－3x2)dx＝0，则k等于()A．0B．1C．0或1D．以上均不对解析ʃk0(2x－3x2)dx＝ʃk02xdx－ʃk03x2dx＝x2|k0－x3|k0＝k2－k3＝0，∴k＝0或k＝1.答案C4．(2010·广州模拟)设f(x),2,1,2],1,0[,)(2xxxxxf则,20)(xfdx等于()A.43B．54C．65D．不存在,解析本题应画图求解，更为清晰，如图，.65)21224(31|)212(|31dx)2(dxdx)(2121032110220xxxxxxf答案C5.(2009·烟台模拟)曲线y＝cosx(0≤x≤3π2)与坐标轴围成的面积是()A．4B.52C．3D．2解析先作出y＝cosx0≤x≤3π2的图象，如图所示，从图象中可以看出)2πsin2π3(sin0sin2πsin||sin|sindxcosdxcos2π32π2π02π02π32πxxxxS=1-0-(-1-1)=3.答案C6．(2010·佛山一模)一物体在变力F(x)＝5－x2(力单位：N，位移单位：m)作用下，沿与F(x)成30°方向作直线运动，则由x＝1运动到x＝2时F(x)作的功为()A.3JB.233JC.433JD．23J解析由于F(x)与位移方向成30°角．如图：F在位移方向上的分力F′＝F·cos30°，W＝ʃ21(5－x2)·cos30°dx＝32ʃ21(5－x2)dx＝325x－13x3|21＝32×83＝433(J)．答案C二、填空题(每小题6分，共18分)7．(2009·福建改编)ʃπ2－π2(1＋cosx)dx＝________.解析∵(x＋sinx)′＝1＋cosx，∴22π)cos1(xdx＝(x＋sinx)|2π2π|＝π2＋sinπ2－－π2＋sin－π2＝π＋2.答案π＋28．(2009·广东三校一模)ʃ10(2xk＋1)dx＝2，则k＝________.解析ʃ10(2xk＋1)dx＝2k＋1xk＋1＋x|10＝2k＋1＋1＝2，2k＋1＝1，∴k＝1.答案19．(2008·山东理，14)设函数f(x)＝ax2＋c(a≠0)，若ʃ10f(x)dx＝f(x0),0≤x0≤1，则x0的值为________．解析ʃ10(ax2＋c)dx＝ax20＋c，∴a3＝ax20，∵a≠0，∴x20＝13，又0≤x0≤1，∴x0＝33.答案33三、解答题(共40分)10．(13分)(2010·汉沽调研)计算下列定积分(1)ʃ212x2－1xdx；(2)ʃ32x＋1x2dx；(3)ʃπ30(sinx－sin2x)dx.解(1)ʃ212x2－1xdx＝23x3－lnx|21＝163－ln2－23＝143－ln2.(2)ʃ32x＋1x2dx＝ʃ32x＋1x＋2dx＝12x2＋lnx＋2x|32＝92＋ln3＋6－(2＋ln2＋4)＝ln32＋92.(3)3π0(sinx－sin2x)dx＝－cosx＋12cos2x|3π0＝－12－14－－1＋12＝－14.11．(13分)(2010·龙岩阶段测试)已知f(x)为二次函数，且f(－1)＝2，f′(0)＝0，ʃ10f(x)dx＝－2.(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)在[－1,1]上的最大值与最小值．解(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b.由f(－1)＝2，f′(0)＝0，得a－b＋c＝2b＝0，即c＝2－ab＝0.∴f(x)＝ax2＋(2－a)．又ʃ10f(x)dx＝ʃ10[ax2＋(2－a)]dx＝13ax3＋(2－a)x|10＝2－23a＝－2.∴a＝6，∴c＝－4.从而f(x)＝6x2－4.(2)∵f(x)＝6x2－4，x∈[－1,1]，所以当x＝0时，f(x)min＝－4；当x＝±1时，f(x)max＝2.12．(14分)(2009·台州模拟)如图所示，抛物线y=4-x2与直线y=3x的两交点为A、B，点P在抛物线上从A向B运动．(1)求使△PAB的面积最大的P点的坐标(a，b)；(2)证明由抛物线与线段AB围成的图形，被直线x＝a分为面积相等的两部分．(1)解解方程组y＝4－x2y＝3x，得x1＝1，x2＝－4.∴抛物线y＝4－x2与直线y＝3x的交点为A(1,3)，B(－4，－12)，∴P点的横坐标a∈(－4,1)．点P(a，b)到直线y＝3x的距离为d＝|3a－b|12＋32，∵P点在抛物线上，∴b＝4－a2，d′a＝110·(4－3a－a2)′＝110(－2a－3)＝0，∴a＝－32，即当a＝－32时，d最大，这时b＝4－94＝74，∴P点的坐标为－32，74时，△PAB的面积最大．(2)证明设上述抛物线与直线所围成图形的面积为S，位于x＝－32右侧的面积为S1.S＝ʃ1－4(4－x2－3x)dx＝1256，S1＝ʃ1－32(4－x2－3x)dx＝12512，∴S＝2S1，即直线x＝－32平分抛物线与线段AB围成的图形的面积．