2012届高考数学一轮复习测试卷函数模型及其应用

高中数学辅导网第十三讲函数模型及其应用一､选择题:(本大题共6小题,每小题6分,共36分,将正确答案的代号填在题后的括号内.)1.(2010·杭州调研题)2002年初,甲､乙两外商在济南各自兴办了一家大型独资企业.2010年初在经济指标对比时发现,这两家企业在2002年和2009年缴纳的地税均相同,其间每年缴纳的地税按各自的规律增长:企业甲年增长数相同,而企业乙年增长率相同.则2010年企业缴纳地税的情况是()A.甲多B.乙多C.甲乙一样多D.不能确定解析:设企业甲每年缴纳的地税组成数列{an},由于企业甲年增长数相同,所以数列{an}是等差数列,则an是关于n的一次函数.设企业乙每年缴纳的地税组成数列{bn},由于企业乙年增长率相同,所以数列{bn}是等比数列,则bn是关于n的指数形函数.根据题意,a1=b1,a8=b8,如图知a9b9,故2010年企业乙缴纳的地税多.答案:B2.(2010·北京海滨模拟题)北京电视台某星期六晚播出的一档节目中有这样一道抢答题:小蜥蜴体长15cm,体重15g,已知小蜥蜴的体积与体长的立方成正比,问:当小蜥蜴长到体长为20cm时,它的体重大约是()A.20gB.25gC.35gD.40g解析:假设小蜥蜴从15cm长到20cm,体形是相似的.这时蜥蜴的体重正比于它的体积,而体积与体长的立方成正比.记体长为l的蜥蜴的体重为wt,因此有w20=w15×332015≈35.56(g),合理的答案应该是35g,高中数学辅导网选C.答案:C3.(2010·长沙模拟题)在一次数学实验中,运用计算器采集到如下一组数据:x-2.0-1.001.02.03.0y0.240.5112.023.988.02则x、y的函数关系与下列哪类函数最接近(其中a、b为待定系数)?()A.y=a+bxB.y=a+bxC.y=ax2+bD.y=a+bx解析:解法一:作散点图,由散点图可知,应选B.解法二:从表中发现0在函数的定义域内而否定D;函数不具奇偶性,从而否定C;自变量的改变量相同而函数值的改变量不同而否定A.故选B.答案:B4.(2010·江门诊断题)我国为了加强对烟酒生产的宏观管理,除了应征税收外,还征收附加税,已知某种酒每瓶售价为70元,不收附加税时,每年大约销售100万瓶;若每销售100元国家要征附加税x元(叫做税率x%),则每年销售量将减少10x万瓶,如果要使每年在此项经营中所收取的附加税额不少于112万元,则x的最小值为()A.2B.6C.8D.10解析:(100-10x)•70•100x≥112,2≤x≤8.答案:A5.已知A､B两地相距150千米,某人开汽车以60千米/小时的速度从A地到达B地,在B地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A地,汽车离开A地的距离x(千米)与时间t(小时)之间的函数表达式是()A.x=60tB.x=60t+50tC.60(02.5)1505(3.5)ttxtt≤≤高中数学辅导网(02.5),150(2.53.5),15050(3.5)(3.56.5)ttxttt≤≤≤≤解析:到达B地需要15060=2.5小时;所以当0≤t≤2.5时,x=60t;当2.5t≤3.5时,x=150;当3.5t≤6.5时,x=150-50(t-3.5).答案:D6.某商店计划投入资金20万元经销甲或乙两种商品.已知经销甲商品与乙商品所获得的利润分别为P和Q(万元),且它们与投入资金x(万元)的关系是P=42,Qxax(a0).若不管资金如何投放,经销这两种商品或其中的一种商品所获得的纯利润总不小于5万元,则a的最小值应为()A.5B.5C.3D.3解析:设对乙商品投入资金x万元,则投入甲商品的资金为(20-x)万元(0≤x≤20).则纯利润S(x)=2042xax,依题意应有S(x)≥5恒成立,即2042xax≥5,即a≥2x,由于0≤x≤20,∴20555.,,a2a2x的最大值为≥即的最小值为答案:A高中数学辅导网二､填空题:(本大题共4小题,每小题6分,共24分,把正确答案填在题后的横线上.)7.(2010·武汉联考题)已知镭经过100年剩留原来质量的95.76%,设质量为1的镭经过x年剩留质量为y,则y关于x的函数关系是________.答案:100y0.9576x(x≥0)8.(2010·温州统考题)某服装商贩同时卖出两套服装,卖出价为168元/套,以成本计算一套盈利20%而另一套亏损20%,则此商贩________.(填赚或赔多少钱)解析:设盈利的那套服装成本价为x,则x+20%x=168,x=140元,设亏损的那套服装成本价为y,则y-20%y=168,y=210元,所以商贩赔(210-168)-(168-140)=14(元).答案:赔14元9.在不考虑空气阻力的情况下,设火箭的最大速度vm/s和燃料的质量Mkg,火箭(除燃料外)的质量mkg的函数关系是v=2000•ln(1+M/m).当燃料质量是火箭质量的________倍时,火箭的最大速度可达12km/s.解析:∵2000•ln(1+M/m)≤12000,∴Mm≤e6-1.答案:e6-110.一水池有两个进水口,一个出水口,每水口的进､出水速度如图甲､乙所示.某天0点到6点,该水池的蓄水量如图丙所示(至少打开一个水口).给出以下3个论断:①0点到3点只进水不出水;②3点到4点不进水只出水;③4点到6点不进水不出水.则一定能确定正确的是________.解析:由丙图(题图)知0点到3点蓄水量为6,故应两个进水口进水,不出水,故①正确.高中数学辅导网由丙图(题图)知3点到4点间1小时蓄水量少1个单位,故1个进水1个出水,故②错误.由丙图(题图)知4点到6点蓄水量不变,故两个进水一个出水,故③错误.答案:①三､解答题:(本大题共3小题,11､12题13分,13题14分,写出证明过程或推演步骤.)11.某长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李.如果超过规定的质量,则需购买行李票,行李费用y(元)是关于行李质量x(kg)的一次函数,其图象如图所示.(1)根据图象数据,求y与x之间的函数关系式;(2)问旅客最多可免费携带行李的质量是多少千克?解:(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b.由题图可知,当x=60时,y=6;当x=80时,y=10.∴1606,.58010:6kbkkbb解得∴y与x之间的函数关系式为y=15x-6(x≥30).(2)y=15x-6(x≥30)中y的值为0时,x的值为最多可免费携带行李的质量,应是函数图象与x轴交点的横坐标.当y=0时,x=30.∴旅客最多可免费携带行李的质量为30kg.12.某公司生产的A型商品通过租赁柜台进入某商场销售.第一年,商场为吸引厂家,决定免收该年管理费,该年A型商品定价为每件70元,年销售量为12.7万件.第二年,商场开始对该商品征收比率为m%的管理高中数学辅导网费(即销售100元要征收m元),于是该商品每件的定价提高10.%01mm%,预计年销售量将减少m万件.(1)将第二年商场对该商品征收的管理费y(万元)表示成m的函数,并指出这个函数的定义域;(2)要使第二年商场在此项经营中收取的管理费不少于21万元,则商场对该商品征收管理费的比率m%的范围是多少?(3)第二年,商场在所收管理费不少于21万元的前提下,求使厂家获得最大销售金额时的m的值.解:(1)依题意,第二年该商品年销售量为(12.7-m)万件,每件销售价格为:270(1127m.127mm%.y127mm,12.7m0m0m|0m127.2y21127mm21,m70%),10.01110070110070110070100713m300,m3m100,300m10,01mmmmmmm年销售收入为万元则商场该年对该商品征收的总管理费为万元故所求函数为由及得其定义域为由≥得≥化简得≤即≤解得≤≤故当max3%,10%,21.(3),21,gm1270001007000877m3m10,gm127m700,gmg3700(),310100100mmm比率在内时商场收取的管理费将不少于万元第二年当商场收取的管理费不少于万元时厂家的销售收入为≤≤为减函数万元故当m=3时,厂家销售金额最大,且商场所收管理费又不少于21万元.13.某皮鞋厂,从今年1月份开始投产,并且前4个月的产量分别为1万双,1.2万双,1.3万双,1.37万双.由于产品质量好,款式新颖,前几个月的产品销售情况良好.为了推销员在推销产品时,接受订单不至于高中数学辅导网过多或过少,需要估测以后几个月的产量.厂里分析,产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程.厂里也暂不准备增加设备和工人,假如你是厂长,将会采用什么办法估算以后几个月的产量?解:作出图象如下图,图上可以得到四个点:A(1,1),B(2,1.2),C(3,1.3),D(4,1.37).解法1:(一次函数模型)设模拟函数为y=ax+b,以B,C两点的坐标代入函数式,有21.2,0.1,31.3,1,abaabb解得所以得y=0.1x+1.评析:此法的结论是:在不增加工人和设备的条件下,产量会每月上升1000双,这是不太可能的.解法2:(二次函数模拟)设y=ax2+bx+c,将A,B,C三点的坐标代入,有1,40.05,21.2,0.35,931.3,0.7,abcaabcbabcc解得所以y=-0.05x2+0.35x+0.7.评析:由此法计算4月份产量为1.3万双,比实际产量少700双.而且,由二次函数性质可知,产量自4月份开始将每月下降(图象开口向下,对称轴方程是x=3.5),这显然不符合实际情况.解法3:(幂函数模拟)如下图,高中数学辅导网设y=ax+b,将A,B两点的坐标代入,有1,0.48y0.48,0.52,21.2,0.52.abababx解得所以评析:以x=3和4代入,分别得到y=1.35和1.48,与实际产量差距较大.这是因为此法只使用了两个月的数据.方法4:(指数函数模拟)如上图,设y=abx+c,将A､B､C三点的坐标代入,得1,0.8,21.2,0.5,31.3,1.4,abcaabcbabcc解得所以y=-0.8·0.5x+1.4.评析:以x=4代入得y=-0.8×0.54+1.4=1.35.