2012届高考数学三角函数复习题7

第四章三角函数综合能力测试本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150分。考试时间120分钟。第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(每小题只有一个选项是正确的，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)1．(2009·北京市海淀区高三年级第一学期期末练习)若角α的终边过点P(1，－2)，则tanα的值为()A．－12B.12C．－2D．2答案：C解析：依题意得，tanα＝－21＝－2，选C.2．已知sinα2＝35，cosα2＝－45，那么角α的终边在()A．第一象限B．第三或第四象限C．第三象限D．第四象限答案：D解析：因为sinα2＝35，cosα2＝－45，所以sinα＝2sinα2cosα2＝－2425＜0.cosα＝2cos2α2－1＝725＞0.∴α的终边在第四象限．3．(2009·山西大同)已知cosA＋sinA＝－713，A为第二象限角，则tanA＝()A.125B.512C．－125D．－512答案：D解析：由题意可得：(sinA＋cosA)2＝1＋2sinAcosA＝(－713)2，∴sinAcosA＝－60169.又∵sinA＋cosA＝－713，A为第二象限角，可解得：sinA＝513，cosA＝－1213，∴tanA＝sinAcosA＝－512.4．(2009·辽宁，8)已知tanθ＝2，则sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ＝()A．－43B.54C．－34D.45答案：D解析：sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ＝sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θsin2θ＋cos2θ＝tan2θ＋tanθ－2tan2θ＋1＝4＋2－24＋1＝45.故选D.5．(2009·广东，9)函数y＝2cos2(x－π4)－1是()A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为π2的奇函数D．最小正周期为π2的偶函数答案：A解析：由y＝2cos2(x－π4)－1＝cos(2x－π2)＝sin2x，∴T＝π，且为奇函数，故选A.6．下列各式中，值为12的是()A．sin15°cos15°B．cos2π12－sin2π12C.1＋cosπ62D.tan22.5°1－tan222.5°答案：D解析：由tan45°＝2tan22.5°1－tan222.5°，知选D.7．(2009·重庆，6)下列关系中正确的是()A．sin11°＜cos10°＜sin168°B．sin168°＜sin11°＜cos10°C．sin11°＜sin168°＜cos10°D．sin168°＜cos10°＜sin11°答案：C解析：∵sin11°＝cos79°，sin168°＝cos78°，又∵y＝cosx在[0，π2]上单调递减，79°＞78°＞10°，∴cos10°＞sin168°＞sin11°，故选C.8．(2009·天津，7)已知函数f(x)＝sin(wx＋π4)(x∈R，w＞0)的最小正周期为π，为了得到函数g(x)＝coswx的图象，只要将y＝f(x)的图象()A．向左平移π8个单位长度B．向右平移π8个单位长度C．向左平移π4个单位长度D．向右平移π4个单位长度答案：A解析：∵f(x)＝sin(wx＋π4)(x∈R，w＞0)的最小正周期为π，∴2πw＝π，故w＝2.又f(x)＝sin(2x＋π4)错误!g(x)＝sin[2(x＋错误!)＋错误!]＝sin(2x＋错误!)＝cos2x，故选A.9．(2009·浙江台州)已知函数f(x)＝2sin(wx＋φ)(w＞0,0＜φ＜π)，且函数的图象如图所示，则点(w，φ)的坐标是()A．(2，π3)B．(4，π3)C．(2，2π3)D．(4，2π3)答案：D解析：由图象可知：函数的半个周期为5π24＋π24＝π4，所以w＝2πT＝2ππ/2＝4.又因为函数图象过点(－π24，2)，所以2＝2sin[4×(－π24)＋φ]．∵0＜φ＜π，解得：φ＝2π3，所以(w，φ)＝(4，2π3)．10．(2009·安徽，8)已知函数f(x)＝3sinwx＋coswx(w＞0)，y＝f(x)的图象与直线y＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f(x)的单调递增区间是()A．[kπ－π12，kπ＋5π12]，k∈ZB．[kπ＋5π12，kπ＋11π12]，，k∈ZC．[kπ－π3，kπ＋π6]，k∈ZD．[kπ＋π6，kπ＋2π3]，k∈Z答案：C解析：f(x)＝3sinwx＋coswx＝2sin(wx＋π6)，(w＞0)．∵f(x)的图象与直线y＝2的两个相邻交点的距离等于π，恰好是f(x)的一个周期，∴2πw＝π，w＝2.f(x)＝2sin(2x＋π6)．故其单调增区间应满足2kπ－π2≤2x＋π6≤2kπ＋π2，k∈Z.kπ－π3≤x≤kπ＋π6，故选C.11．已知f(x)＝sin(2x＋φ)＋3cos(2x＋φ)为奇函数，且在[0，π4]上为减函数，则φ的一个值为()A.π3B.43πC.53πD.2π3答案：D解析：f(x)＝2sin(2x＋φ＋π3)，要使f(x)是奇函数，必须φ＋π3＝kπ(k∈Z)，因此应排除A、B.当φ＝5π3时f(x)＝2sin2x在[0，π4]上为增函数，故C不对．当φ＝2π3时，f(x)＝－2sin2x在[0，π4]上为减函数．故选D.12．(2010·福建师大附中期中考试)函数y＝sinx和y＝tanx的图象在[－2π，2π]上交点的个数为()A．3B．5C．7D．9答案：B解析：方法一：图象法，在同一坐标系内画y＝sinx与y＝tanx在[0,2π]上的图象．，由图知共有5个交点，故选B.方法二：解方程sinx＝tanx，即tanx(cosx－1)＝0，∴tanx＝0或cosx＝1，∵x∈[－2π，2π]，∴x＝0，±π，±2π，故有5个解，因此选B.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在题中的横线上。)13．(2009·广东深圳)已知点P(sin34π，cos34π)落在角θ的终边上，且0≤θ≤2π，则θ＝________.答案：7π4解析：∵θ∈[0,2π)，根据三角函数定义可知：sinθ＝cos3π4＝sin(2π＋π2－3π4)＝sin7π4，∴θ＝7π4.14．(2009·南昌市高三年级第一次调研测试)已知sin(α＋π12)＝13，则cos(α＋7π12)的值等于________．答案：－13解析：由已知得cos(α＋7π12)＝cos[(α＋π12)＋π2]＝－sin(α＋π12)＝－13.15．下图是函数y＝sin(wx＋φ)(w＞0，|φ|＜π2)的图象的一部分，则φ＝________，w＝________.答案：π62解析：由图知T＝1112π－(－π12)＝π，∴w＝2πT＝2ππ＝2，∴y＝sin(2x＋φ)．又点(－π12，0)在图象上，∴sin(－π6＋φ)＝0，∴－π6＋φ＝0，φ＝π6.16．给出下列六个命题，其中正确的命题是__________．①存在α满足sinα＋cosα＝32；②y＝sin(52π－2x)是偶函数；③x＝π8是y＝sin(2x＋5π4)的一条对称轴；④y＝esin2x是以π为周期的(0，π2)上的增函数；⑤若α、β是第一象限角，且α＞β，则tanα＞tanβ；⑥函数y＝3sin(2x＋π3)的图象可由y＝3sin2x的图象向左平移π3个单位得到．答案：②③解析：①sinα＋cosα＝2sin(α＋π4)∈[－2，2]，∴sinα＋cosα≠32.②y＝sin(5π2－2x)＝sin(π2－2x)＝cos2x，是偶函数．③对y＝sin(2x＋5π4)，由2x＋5π4＝π2＋kπ，得x＝－3π8＋kπ2，(k∈Z)是对称轴方程．取k＝1得x＝π8.④y＝sin2x在(0，π2)上不是增函数，∴y＝esin2x在(0，π2)上也不是增函数．⑤y＝tanx在第一象限不是增函数．∴α＞β，不一定有tanα＞tanβ.⑥y＝3sin(2x＋π3)＝3sin2(x＋π6)，可由y＝3sin2x的图象向左平移π6个单位得到．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。)17．(本小题满分10分)已知α∈(0，π2)，β∈(π2，π)且sin(α＋β)＝3365，cosβ＝－513.求sinα.解析：∵β∈(π2，π)，cosβ＝－513，∴sinβ＝1213.又∵0＜α＜π2，π2＜β＜π，∴π2＜α＋β＜3π2，又sin(α＋β)＝3365，∴π2＜α＋β＜π，cos(α＋β)＝－1－sin2(α＋β)＝－1－(3365)2＝－5665，∴sinα＝sin[(α＋β)－β]＝sin(α＋β)cosβ－cos(α＋β)sinβ＝3365·(－513)－(－5665)·1213＝35.18．(2009·浙江金华)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝Asin(wx＋φ)，(A＞0，w＞0，|φ|＜π2，x∈R)的图象的一部分如图所示．(1)求函数f(x)的解析式；(2)当x∈[－6，23]时，求函数y＝f(x)＋f(x＋2)的最大值与最小值及相应的x的值．解析：(1)由图象知A＝2，T＝8，∵T＝2πw＝8，∴w＝π4.又∵图象经过点(－1,0)，∴2sin(－π4＋φ)＝0.∵|φ|＜π2，∴φ＝π4，∴f(x)＝2sin(π4x＋π4)．(2)y＝f(x)＋f(x＋2)＝2sin(π4x＋π4)＋2sin(π4x＋π2＋π4)＝22sin(π4x＋π2)＝22cosπ4x，∵x∈[－6，23]，∴－3π2≤x≤π6.∴当π4x＝0，即x＝0时，y＝f(x)＋f(x＋2)的最大值为22，当π4x＝－π，即x＝－4时，最小值为－22.19．(2009·福州质检)(本小题满分12分)已知f(x)＝sin2wx＋32sin2wx－12(x∈R，w＞0)，若f(x)的最小正周期为2π.(1)求f(x)的表达式和f(x)的单调递增区间；(2)求f(x)在区间[－π6，5π6]上的最大值和最小值．解析：(1)由已知f(x)＝sin2wx＋32sin2wx－12＝12(1－cos2wx)＋32sin2wx－12＝32sin2wx－12cos2wx＝sin(2wx－π6)．又由f(x)的周期为2π，则2π＝2π2w⇒2w＝1⇒w＝12，⇒f(x)＝sin(x－π6)，2kπ－π2≤x－π6≤2kπ＋π2(k∈Z)⇒2kπ－π3≤x≤2kπ＋2π3(k∈Z)，即f(x)的单调递增区间为[2kπ－π3，2kπ＋2π3](k∈Z)．(2)由x∈[－π6，5π6]⇒－π6≤x≤5π6⇒－π6－π6≤x－π6≤5π6－π6⇒－π3≤x－π6≤2π3⇒sin(－π3)≤sin(x－π6)≤sinπ2.∴－32≤sin(x－π6)≤1.故f(x)在区间[－π6，5π6]的最大值和最小值分别为1和－32.20．(2009·大同模拟)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2cosx·sin(x＋π3)－32.(1)求函数f(x)的最小正周期T；(2)在给定的坐标系中，用“五点法”作出函数f(x)在一个周期上的函数．解析：(1)f(x)＝2cosx·sin(x＋π3)－32＝2cosx(sinxcosπ3＋cosxsinπ3)－32＝2cosx(12sinx＋32cosx)－32＝sinxcosx＋3·cos2x－32＝12sin2x＋3·1＋cos2x2－32＝12sin2x＋32cos2x＝sin(2x＋π3)．∴T＝2π|w|＝2π2＝π.即函数f(x)的最小正周期为π.(2)列表：x－π6π12π37π125π62x＋π30π2π32π2πsin(2x＋π3)010－10描点画图：21．(本小题满分12分)已知tanα、tanβ是方程x2－4x－2＝0的两个实根，求：cos2(α＋β)＋2sin(α＋β)cos(α＋β)－3sin2(α＋β)的值．解析：由已知有tanα＋ta