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金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com第1页共13页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com2012届高考数学一轮复习课后强化作业8.5双曲线一、选择题1.(2010·全国Ⅰ文)已知F1、F2为双曲线Cx2-y2=1的左、右焦点,点P在C上,∠F1PF2=60°,则|PF1|·|PF2|=()A.2B.4C.6D.8[答案]B[解析]在△F1PF2中,由余弦定理cos60°=|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|22|PF1|·|PF2|=(|PF1|-|PF2|)2-|F1F2|2+2|PF1|·|PF2|2|PF1|·|PF2|=4a2-4c22|PF1||PF2|+1=-2b2|PF1|·|PF2|+1,∵b=1,∴|PF1|·|PF2|=4.2.(文)(2010·北京西城区抽检)已知双曲线中心在原点,一个焦点为F1(-5,0),点P位于该双曲线上,线段PF1的中点坐标为(0,2),则双曲线的方程是()A.x2-y24=1B.x24-y2=1C.x22-y23=1D.x23-y22=1[答案]A[解析]设双曲线方程为x2a2-y2b2=1,由条件知,a2+b2=5(1)又P(5,4)在双曲线上,∴5a2-16b2=1(2)由(1)(2)解得a2=1,b2=4,∴双曲线方程为x2-y24=1.(理)(2010·天津理)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线方程是y=3x,它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上.则双曲线的方程为()A.x236-y2108=1B.x29-y227=1金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com第2页共13页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.comC.x2108-y236=1D.x227-y29=1[答案]B[解析]由题易知ba=3①且双曲线焦点为(6,0)、(-6,0),则有a2+b2=36②由①②知:a=3,b=33,∴双曲线方程为x29-y227=1,故选B.3.(2010·新课标全国理)已知双曲线E的中心为原点,F(3,0)是E的焦点,过F的直线l与E相交于A,B两点,且AB的中点为N(-12,-15),则E的方程为()A.x23-y26=1B.x24-y25=1C.x26-y23=1D.x25-y24=1[答案]B[解析]设双曲线的方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0),由题意知c=3,a2+b2=9,设A(x1,y1),B(x2,y2)则有:x21a2-y21b2=1x22a2-y22b2=1,两式作差得:y1-y2x1-x2=b2(x1+x2)a2(y1+y2)=4b25a2,又AB的斜率是-15-0-12-3=1,所以4b2=5a2代入a2+b2=9得a2=4,b2=5,所以双曲线标准方程是x24-y25=1,故选B.4.(文)如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中,当动点M在底面ABCD内运动时,总有:D1A=D1M,则动点M在面ABCD内的轨迹是()上的一段弧.()A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线[答案]A金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com第3页共13页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com[解析]因为满足条件的动点在底面ABCD内运动时,动点的轨迹是以D1D为轴线,以D1A为母线的圆锥,与平面ABCD的交线即圆的一部分.故选A.(理)设双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的两焦点为F1、F2,点Q为双曲线左支上除顶点外的任一点,过F1作∠F1QF2的平分线的垂线,垂足为P,则点P的轨迹是()A.椭圆的一部分B.双曲线的一部分C.抛物线的一部分D.圆的一部分[答案]D[解析]延长F1P交QF2于R,则|QF1|=|QR|.∵|QF2|-|QF1|=2a,∴|QF2|-|QR|=2a=|RF2|,又|OP|=12|RF2|,∴|OP|=a.5.若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支交于不同的两点,则k的取值范围是()A.-153,153B.0,153C.-153,0D.-153,-1[答案]D[解析]直线与双曲线右支相切时,k=-153,直线y=kx+2过定点(0,2),当k=-1时,直线与双曲线渐近线平行,顺时针旋转直线y=-x+2时,直线与双曲线右支有两个交点,∴-153k-1.6.(文)已知F1、F2是双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的两个焦点,以线段F1F2为边作正△MF1F2,若边MF1的中点在双曲线上,则双曲线的离心率为()A.4+23B.3-1C.3+12D.3+1[答案]D[解析]设线段MF1的中点为P,由已知△F1PF2为有一锐角为60°的直角三角形,∴|PF1|、|PF2|的长度分别为c和3c.由双曲线的定义知:(3-1)c=2a,金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com第4页共13页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com∴e=23-1=3+1.(理)(2010·浙江金华十校模考)设F1、F2是双曲线x24-y2=1的两个焦点,点P在双曲线上,且PF1→·PF2→=0,则|PF1→|·|PF2→|的值为()A.2B.22C.4D.8[答案]A[解析]由双曲线定义|PF1|-|PF2|=2a=4,∵a2=4,b2=1,∴c2=5,∵PF1→·PF2→=0,∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2=20,∴|PF1→|·|PF2→|=(|PF1|2+|PF2|2)-(|PF1|-|PF2|)22=20-162=2,故选A.7.(文)已知椭圆x23m2+y25n2=1和双曲线x22m2-y23n2=1有公共的焦点,那么双曲线的渐近线方程为()A.x=±152yB.y=±152xC.x=±34yD.y=±34x[答案]D[解析]由题意c2=3m2-5n2=2m2+3n2,∴m2=8n2,∴双曲线渐近线的斜率k=±3|n|2|m|=±34.方程为y=±34x.(理)(2010·广东四校)设F1,F2为曲线C1:x26+y22=1的焦点,P是曲线C2:x23-y2=1与C1的一个交点,则△PF1F2的面积为()A.14B.1C.2D.22金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com第5页共13页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com[答案]C[解析]∵P是曲线C1与C2的交点,∴联立方程组x26+y22=1x23-y2=1解之得,|y|=22,∴S△PF1F2=12·|F1F2|·|y|=12×4×22=2.故选C.8.(文)(2010·山东烟台)设F1,F2分别是双曲线x2-y29=1的左、右焦点,若点P在双曲线上,且PF1→·PF2→=0,则|PF1→+PF2→|=()A.10B.210C.5D.25[答案]B[解析]∵F1、F2为双曲线的左右焦点,∴F1(-10,0),F2(10,0),由向量加法的平行四边形法则及直角三角形斜边上的中线性质知,|PF1→+PF2→|=|2PO→|=210,故选B.(理)(2010·福建理)若点O和点F(-2,0)分别为双曲线x2a2-y2=1(a0)的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则OP→·FP→的取值范围为()A.[3-23,+∞)B.[3+23,+∞)C.[-74,+∞)D.[74,+∞)[答案]B[解析]a2+1=22=4,∴a2=3,∴双曲线方程为x23-y2=1.设P点坐标为(x,y),则OP→=(x,y),FP→=(x+2,y),∵y2=x23-1,∴OP→·FP→=x2+2x+y2=x2+2x+x23-1=43x2+2x-1=43(x+34)2-74.又∵x≥3(右支上任意一点)∴OP→·FP→≥3+23.故选B.9.(文)(2010·合肥市)中心在原点,对称轴为坐标轴的双曲线C的两条渐近线与圆(x-2)2+y2=1都相切,则双曲线C的离心率是()金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com第6页共13页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.comA.233或2B.2或3C.3或62D.233或62[答案]A[解析]焦点在x轴上时,由条件知ba=13,∴c2-a2a2=13,∴e=ca=233,同理,焦点在y轴上时,ba=3,此时e=2.(理)(2010·福建宁德一中)已知抛物线x2=2py(p0)的焦点F恰好是双曲线y2a2-x2b2=1的一个焦点,且两条曲线交点的连线过点F,则该双曲线的离心率为()A.2B.1±2C.1+2D.无法确定[答案]C[解析]由题意知p2=c,根据圆锥曲线图象的对称性,两条曲线交点的连线垂直于y轴,对双曲线来说,这两个交点连线的长度是2b2a,对抛物线来说,这两个交点连线的长度是2p,∵p=2c,2b2a=4c,∴b2=2ac,∴c2-a2=2ac,∴e2-2e-1=0,解得e=1±2,∵e1,∴e=1+2.10.(2010·辽宁锦州)△ABC中,A为动点,B、C为定点,B-m2,0,Cm2,0(其中m0,且m为常数),且满足条件sinC-sinB=12sinA,则动点A的轨迹方程为()A.16y2m2-16x23m2=1B.x216-y2163=1C.16x2m2-16y23m2=1(xm4)D.16x2m2-16y23m2=1[答案]C[解析]依据正弦定理得:|AB|-|AC|=12|BC|=m2|BC|∴点A的轨迹是以B、C为焦点的双曲线的右支,且a=m4,c=m2,∴b2=c2-a2=3m216金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com第7页共13页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com∴双曲线方程为16x2m2-16y23m2=1(xm4)二、填空题11.已知中心在原点,焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线为mx-y=0,若m为集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9}中任意一个值,则使得双曲线的离心率大于3的概率是________.[答案]79[解析]由题意知双曲线方程可设为m2x2-y2=1,从而e=m2+13⇒m22,故所求概率是79,故填79.12.设双曲线x29-y216=1的右顶点为A,右焦点为F,过点F平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B,则△AFB的面积为________.[答案]3215[解析]如图,双曲线的渐近线方程为y=±43x,F(5,0),∴直线BF:y=43(x-5),解x29-y216=1y=43(x-5)得y=-3215,又|AF|=5-3=2,∴S△AFB=12×2×3215=3215.13.(2010·北京东城区)若双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的两个焦点为F1,F2,P为双曲线上一点,且|PF1|=3|PF2|,则该双曲线离心率的取值范围是________.[答案]1e≤2[解析]由题意|PF1|-|PF2|=2a|PF1|=3|PF2|,金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com第8页共13页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com∴|PF1|=3a|PF2|=a,∵|PF1|≥|AF1|,∴3a≥a+c,∴e=ca≤2,∴1e≤2.14.(文)已知P是双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)右支上的一点,F1(-c,0),F2(c,0)分别是其左、右焦点,则△PF1F2的内切圆圆心的横坐标为________.[答案]a[解析]令内切圆与F1F2的切点为G,与PF1的切点为H,与PF2的切点为K,则(|PH|+|HF1|)-(|PK|+|KF2|)=|F1G|-|GF2|=2a,又|F1G|+|GF2|=2c,则|F1G|=a+c,∴切点为右顶点,易知圆心的横坐标为a.(理)(2010·天津文,13)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=3x,它的一个焦点与抛物线y2=16x的焦点相同,则双曲线的方程为________.[答案]x24-y212=1[解析]由抛物线y2=16x的焦点坐标为(
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