2012届高考数学一轮复习课后强化作业8.5双曲线(文理合用人教A版)

金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com第1页共13页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com2012届高考数学一轮复习课后强化作业8.5双曲线一、选择题1．(2010·全国Ⅰ文)已知F1、F2为双曲线Cx2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|＝()A．2B．4C．6D．8[答案]B[解析]在△F1PF2中，由余弦定理cos60°＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1|·|PF2|＝(|PF1|－|PF2|)2－|F1F2|2＋2|PF1|·|PF2|2|PF1|·|PF2|＝4a2－4c22|PF1||PF2|＋1＝－2b2|PF1|·|PF2|＋1，∵b＝1，∴|PF1|·|PF2|＝4.2．(文)(2010·北京西城区抽检)已知双曲线中心在原点，一个焦点为F1(－5，0)，点P位于该双曲线上，线段PF1的中点坐标为(0,2)，则双曲线的方程是()A．x2－y24＝1B.x24－y2＝1C.x22－y23＝1D.x23－y22＝1[答案]A[解析]设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1，由条件知，a2＋b2＝5(1)又P(5，4)在双曲线上，∴5a2－16b2＝1(2)由(1)(2)解得a2＝1，b2＝4，∴双曲线方程为x2－y24＝1.(理)(2010·天津理)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的一条渐近线方程是y＝3x，它的一个焦点在抛物线y2＝24x的准线上．则双曲线的方程为()A.x236－y2108＝1B.x29－y227＝1金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com第2页共13页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.comC.x2108－y236＝1D.x227－y29＝1[答案]B[解析]由题易知ba＝3①且双曲线焦点为(6,0)、(－6,0)，则有a2＋b2＝36②由①②知：a＝3，b＝33，∴双曲线方程为x29－y227＝1，故选B.3．(2010·新课标全国理)已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为()A.x23－y26＝1B.x24－y25＝1C.x26－y23＝1D.x25－y24＝1[答案]B[解析]设双曲线的方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，由题意知c＝3，a2＋b2＝9，设A(x1，y1)，B(x2，y2)则有：x21a2－y21b2＝1x22a2－y22b2＝1，两式作差得：y1－y2x1－x2＝b2(x1＋x2)a2(y1＋y2)＝4b25a2，又AB的斜率是－15－0－12－3＝1，所以4b2＝5a2代入a2＋b2＝9得a2＝4，b2＝5，所以双曲线标准方程是x24－y25＝1，故选B.4．(文)如图在正方体ABCD－A1B1C1D1中，当动点M在底面ABCD内运动时，总有：D1A＝D1M，则动点M在面ABCD内的轨迹是()上的一段弧．()A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线[答案]A金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com第3页共13页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com[解析]因为满足条件的动点在底面ABCD内运动时，动点的轨迹是以D1D为轴线，以D1A为母线的圆锥，与平面ABCD的交线即圆的一部分．故选A.(理)设双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的两焦点为F1、F2，点Q为双曲线左支上除顶点外的任一点，过F1作∠F1QF2的平分线的垂线，垂足为P，则点P的轨迹是()A．椭圆的一部分B．双曲线的一部分C．抛物线的一部分D．圆的一部分[答案]D[解析]延长F1P交QF2于R，则|QF1|＝|QR|.∵|QF2|－|QF1|＝2a，∴|QF2|－|QR|＝2a＝|RF2|，又|OP|＝12|RF2|，∴|OP|＝a.5．若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的两点，则k的取值范围是()A.－153，153B.0，153C.－153，0D.－153，－1[答案]D[解析]直线与双曲线右支相切时，k＝－153，直线y＝kx＋2过定点(0,2)，当k＝－1时，直线与双曲线渐近线平行，顺时针旋转直线y＝－x＋2时，直线与双曲线右支有两个交点，∴－153k－1.6．(文)已知F1、F2是双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的两个焦点，以线段F1F2为边作正△MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为()A．4＋23B.3－1C.3＋12D.3＋1[答案]D[解析]设线段MF1的中点为P，由已知△F1PF2为有一锐角为60°的直角三角形，∴|PF1|、|PF2|的长度分别为c和3c.由双曲线的定义知：(3－1)c＝2a，金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com第4页共13页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com∴e＝23－1＝3＋1.(理)(2010·浙江金华十校模考)设F1、F2是双曲线x24－y2＝1的两个焦点，点P在双曲线上，且PF1→·PF2→＝0，则|PF1→|·|PF2→|的值为()A．2B．22C．4D．8[答案]A[解析]由双曲线定义|PF1|－|PF2|＝2a＝4，∵a2＝4，b2＝1，∴c2＝5，∵PF1→·PF2→＝0，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2＝20，∴|PF1→|·|PF2→|＝(|PF1|2＋|PF2|2)－(|PF1|－|PF2|)22＝20－162＝2，故选A.7．(文)已知椭圆x23m2＋y25n2＝1和双曲线x22m2－y23n2＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程为()A．x＝±152yB．y＝±152xC．x＝±34yD．y＝±34x[答案]D[解析]由题意c2＝3m2－5n2＝2m2＋3n2，∴m2＝8n2，∴双曲线渐近线的斜率k＝±3|n|2|m|＝±34.方程为y＝±34x.(理)(2010·广东四校)设F1，F2为曲线C1：x26＋y22＝1的焦点，P是曲线C2：x23－y2＝1与C1的一个交点，则△PF1F2的面积为()A.14B．1C.2D．22金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com第5页共13页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com[答案]C[解析]∵P是曲线C1与C2的交点，∴联立方程组x26＋y22＝1x23－y2＝1解之得，|y|＝22，∴S△PF1F2＝12·|F1F2|·|y|＝12×4×22＝2.故选C.8．(文)(2010·山东烟台)设F1，F2分别是双曲线x2－y29＝1的左、右焦点，若点P在双曲线上，且PF1→·PF2→＝0，则|PF1→＋PF2→|＝()A.10B．210C.5D．25[答案]B[解析]∵F1、F2为双曲线的左右焦点，∴F1(－10，0)，F2(10，0)，由向量加法的平行四边形法则及直角三角形斜边上的中线性质知，|PF1→＋PF2→|＝|2PO→|＝210，故选B.(理)(2010·福建理)若点O和点F(－2,0)分别为双曲线x2a2－y2＝1(a0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则OP→·FP→的取值范围为()A．[3－23，＋∞)B．[3＋23，＋∞)C．[－74，＋∞)D．[74，＋∞)[答案]B[解析]a2＋1＝22＝4，∴a2＝3，∴双曲线方程为x23－y2＝1.设P点坐标为(x，y)，则OP→＝(x，y)，FP→＝(x＋2，y)，∵y2＝x23－1，∴OP→·FP→＝x2＋2x＋y2＝x2＋2x＋x23－1＝43x2＋2x－1＝43(x＋34)2－74.又∵x≥3(右支上任意一点)∴OP→·FP→≥3＋23.故选B.9．(文)(2010·合肥市)中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C的两条渐近线与圆(x－2)2＋y2＝1都相切，则双曲线C的离心率是()金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com第6页共13页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.comA.233或2B．2或3C.3或62D.233或62[答案]A[解析]焦点在x轴上时，由条件知ba＝13，∴c2－a2a2＝13，∴e＝ca＝233，同理，焦点在y轴上时，ba＝3，此时e＝2.(理)(2010·福建宁德一中)已知抛物线x2＝2py(p0)的焦点F恰好是双曲线y2a2－x2b2＝1的一个焦点，且两条曲线交点的连线过点F，则该双曲线的离心率为()A.2B．1±2C．1＋2D．无法确定[答案]C[解析]由题意知p2＝c，根据圆锥曲线图象的对称性，两条曲线交点的连线垂直于y轴，对双曲线来说，这两个交点连线的长度是2b2a，对抛物线来说，这两个交点连线的长度是2p，∵p＝2c，2b2a＝4c，∴b2＝2ac，∴c2－a2＝2ac，∴e2－2e－1＝0，解得e＝1±2，∵e1，∴e＝1＋2.10．(2010·辽宁锦州)△ABC中，A为动点，B、C为定点，B－m2，0，Cm2，0(其中m0，且m为常数)，且满足条件sinC－sinB＝12sinA，则动点A的轨迹方程为()A.16y2m2－16x23m2＝1B.x216－y2163＝1C.16x2m2－16y23m2＝1(xm4)D.16x2m2－16y23m2＝1[答案]C[解析]依据正弦定理得：|AB|－|AC|＝12|BC|＝m2|BC|∴点A的轨迹是以B、C为焦点的双曲线的右支，且a＝m4，c＝m2，∴b2＝c2－a2＝3m216金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com第7页共13页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com∴双曲线方程为16x2m2－16y23m2＝1(xm4)二、填空题11．已知中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线为mx－y＝0，若m为集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9}中任意一个值，则使得双曲线的离心率大于3的概率是________．[答案]79[解析]由题意知双曲线方程可设为m2x2－y2＝1，从而e＝m2＋13⇒m22，故所求概率是79，故填79.12．设双曲线x29－y216＝1的右顶点为A，右焦点为F，过点F平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为________．[答案]3215[解析]如图，双曲线的渐近线方程为y＝±43x，F(5,0)，∴直线BF：y＝43(x－5)，解x29－y216＝1y＝43(x－5)得y＝－3215，又|AF|＝5－3＝2，∴S△AFB＝12×2×3215＝3215.13．(2010·北京东城区)若双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的两个焦点为F1，F2，P为双曲线上一点，且|PF1|＝3|PF2|，则该双曲线离心率的取值范围是________．[答案]1e≤2[解析]由题意|PF1|－|PF2|＝2a|PF1|＝3|PF2|，金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com第8页共13页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com∴|PF1|＝3a|PF2|＝a，∵|PF1|≥|AF1|，∴3a≥a＋c，∴e＝ca≤2，∴1e≤2.14．(文)已知P是双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)右支上的一点，F1(－c,0)，F2(c,0)分别是其左、右焦点，则△PF1F2的内切圆圆心的横坐标为________．[答案]a[解析]令内切圆与F1F2的切点为G，与PF1的切点为H，与PF2的切点为K，则(|PH|＋|HF1|)－(|PK|＋|KF2|)＝|F1G|－|GF2|＝2a，又|F1G|＋|GF2|＝2c，则|F1G|＝a＋c，∴切点为右顶点，易知圆心的横坐标为a.(理)(2010·天津文，13)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程是y＝3x，它的一个焦点与抛物线y2＝16x的焦点相同，则双曲线的方程为________．[答案]x24－y212＝1[解析]由抛物线y2＝16x的焦点坐标为(