2012届高考理科数学一轮复习(新人教A版)单元质量评估8

单元质量评估八(第八章)时间：120分钟分值：150分一、选择题(每小题5分，共60分)1．设直线ax＋by＋c＝0的倾斜角为α，且sinα＋cosα＝0，则a，b满足()A．a＋b＝1B．a－b＝1C．a＋b＝0D．a－b＝0解析：由sinα＋cosα＝0，得tanα＝－1.∴α＝135°，即a＝b，a－b＝0.[来源:学科网]答案：D2．直线2x－y－2＝0绕它与y轴的交点逆时针旋转π2所得的直线方程是()A．－x＋2y－4＝0B．x＋2y－4＝0C．－x＋2y＋4＝0D．x＋2y＋4＝0解析：由题意知所求直线与2x－y－2＝0垂直．又2x－y－2＝0与y轴交点为(0，－2)．故所求直线方程为y＋2＝－12(x－0)，即x＋2y＋4＝0.答案：D3．经过点P(1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之和最小，则直线的方程为()A．x＋2y－6＝0B．2x＋y－6＝0C．x－2y＋7＝0D．x－2y－7＝0解析：∵直线过点P(1,4)，代入后舍去A、D，又在两坐标轴上的截距均为正值，故舍去C.答案：B4．双曲线x22－y21＝1的焦点坐标是()A．(1,0)，(－1,0)B．(0,1)，(0，－1)C．(3，0)，(－3，0)D．(0，3)，(0，－3)解析：c2＝a2＋b2＝2＋1，∴c＝3.∴焦点为(3，0)，(－3，0)，选C.[来源:学§科§网][来源:学+科+网Z+X+X+K]答案：C5．已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0，设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为()A．106B．206C．306D．406解析：圆的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25，∴圆心为(3,4)，半径为r＝5.由题意，最长的弦AC是直径且和最短的弦BD垂直．∴|AC|＝10，|BD|＝225－[3－32＋5－42]＝46.∴S四边形ABCD＝12|AC||BD|＝206.答案：B6．若曲线y＝x2的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为()A．4x＋y＋4＝0B．x－4y－4＝0C．4x－y－12＝0D．4x－y－4＝0解析：直线x＋4y－8＝0的斜率为－14，因为曲线y＝x2的切线与直线x＋4y－8＝0垂直，故由导数的几何意义知：切线的斜率为k＝y′＝2x＝4，故切点的横坐标为x＝2，故切点为(2,4)，再写出切线的点斜式方程，再化为一般式．故选D.答案：D7．点P(x，y)满足x2＋y2－4x－2y＋4≤0，则点P到直线x＋y－1＝0的最短距离是()A.2B．0C.2－1D.2＋1解析：不等式(x－2)2＋(y－1)2≤1表示的图形是以(2,1)为圆心，以1为半径的圆面，圆心(2,1)到直线x＋y－1＝0的距离是d＝|2＋1－1|2＝2.∴点P到直线x＋y－1＝0的最短距离是2－1.答案：C8．双曲线C和椭圆4x2＋y2＝1有相同的焦点，它的一条渐近线为y＝2x，则双曲线C的方程为()A．4x2－2y2＝1B．2x2－y2＝1C．4x2－2y2＝－1D．2x2－y2＝－1解析：设双曲线的方程为y2a2－x2b2＝1(a0，b0)双曲线的焦点坐标为(0，±32)，又ab＝2，∴b＝12，a＝22.即双曲线方程为4x2－2y2＝－1，故选C.答案：C9.2010·吉林白山模拟F1，F2是椭圆C：x28＋y24＝1的两个焦点，在C上满足PF1⊥PF2的点P的个数为()A．0B．1C．2D．4解析：由x28＋y24＝1，得a＝22，b＝2，c＝2.∵b＝c＝2，∴以原点为圆心，c为半径的圆与椭圆有2个交点．∴PF1⊥PF2的点P的个数为2.答案：C10．已知抛物线y2＝4x上的点P到抛物线的准线的距离为d1，到直线3x－4y＋9＝0的距离为d2，则d1＋d2的最小值是()A.125B.65C．2D.55解析：根据抛物线的定义可知d1等于点P到焦点的距离，故d1＋d2的最小值即为抛物线上的点到焦点的距离和到直线的距离之和的最小值，易知当且仅当点P为过抛物线的焦点且与已知直线垂直的直线与抛物线的交点时，d1＋d2最小．故(d1＋d2)min＝125.答案：A11．若椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2，线段F1F2被抛物线y2＝2bx的焦点分成的两段，则此椭圆的离心率为()A.1617B.2－117C．2－2D.255解析：由已知|F1FFF2|＝，其中|F2F|＝|OF2|－|OF|＝c－b2，|FF1|＝|OF1|＋|OF|＝c＋b2.∴c＋b2c－b2＝53.∴c＝2b.又∵a2＝b2＋c2＝b2＋4b2＝5b2，∴a＝5b.∴e＝ca＝2b5b＝255.答案：D12．过抛物线y2＝2px(p0)的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，与抛物线的准线的交点为B，点A在抛物线的准线上的射影为C，若AF→＝FB→，BA→·BC→＝48，则抛物线的方程为()[来源:学科网ZXXK]A．y2＝8xB．y2＝4xC．y2＝16xD．y2＝42x解析：由AF→＝FB→及|AF→|＝|AC→|知在Rt△ACB中，∠CBF＝30°，|DF|＝p2＋p2＝p，∴AC＝2p，BC＝23p，BA→·BC→＝4p·23p·cos30°＝48，∴p＝2.抛物线方程为y2＝4x.答案：B二、填空题(每小题5分，共20分)13．已知直线l1：2x＋m2y－2＝0，直线l2：mx＋2y－1＝0，若l1⊥l2，则m＝__________.解析：由题意知m＝0时l1⊥l2，又因m≠0时，(－2m2)·(－m2)＝－1⇒m＝－1.答案：0或－114．两圆(x＋1)2＋(y－1)2＝r2和(x－2)2＋(y＋2)2＝R2相交于P、Q两点，若点P坐标为(1,2)，则点Q的坐标为________．解析：∵两圆的圆心分别为(－1,1)，(2，－2)，∴两圆连心线的方程为y＝－x.∵两圆的连心线垂直平分公共弦，∴P(1,2)，Q关于直线y＝－x对称，∴Q(－2，－1)．答案：(－2，－1)15．过双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M、N两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于__________．解析：如右图所示，由题意M(－c，b2a)，MF＝FB，即b2a＝c＋a.①∵b2＝c2－a2，由①整理得c2－ac－2a2＝0，即(c＋a)(c－2a)＝0.∴c＝－a(舍)或c＝2a.∴e＝ca＝2.答案：216．已知F1、F2分别为椭圆x225＋y29＝1的左、右焦点，P为椭圆上一点，Q是y轴上的一个动点，若|PF1→|－|PF2→|＝4，则PQ→·(PF1→－PF2→)＝________.解法一：因为Q是y轴上的一个动点，所以可取原点这个特殊位置来解．又P为椭圆上一点，F1、F2为椭圆的左、右焦点，|PF1→|＋|PF2→|＝10，且|PF1→|－|PF2→|＝4，∴|PF1→|＝7，|PF2→|＝3，∴PQ→·(PF1→－PF2→)＝PO→·F2F1→＝12(PF1→＋PF2→)·(PF1→－PF2→)＝12(|PF1→|2－|PF2→|2)＝20.解法二：由已知得F1(－4,0)，F2(4,0)，又|PF1→|－|PF2→|＝4|F1F2|＝8，∴点P又在以F1，F2为焦点的双曲线的右支上，其方程为x24－y212＝1(x≥2)．设P(x0，y0)(x00)，Q(0，y)，则PF1→－PF2→＝F2F1→＝(－8,0)，PQ→＝(－x0，y－y0)，又由x225＋y29＝1x24－y212＝1得x0＝52.∴PQ→·(PF1→－PF2→)＝8x0＝20.答案：20三、解答题(本大题共6个小题，共计70分，写出必要的文字说明、计算步骤，只写最后结果不得分)17．(10分)(2011·石家庄检测)光线从点A(2,3)射出，若镜面的位置在直线l：x＋y＋1＝0上，反射光线经过B(1,1)，求入射光线和反射光线所在直线的方程，并求光线从A到B所走过的路线长．解：设点A关于l的对称点为A′(x0，y0)，∵AA′被l垂直平分，∴x0＋22＋y0＋32＋1＝0y0－3x0－2＝1，解得x0＝－4y0＝－3.∵点A′(－4，－3)，B(1,1)在反射光线所在直线上，∴反射光线的方程为y＋31＋3＝x＋41＋4，即4x－5y＋1＝0，解方程组4x－5y＋1＝0x＋y＋1＝0得入射点的坐标为(－23，－13)．由入射点及点A的坐标得入射光线方程为y＋133＋13＝x＋232＋23，即5x－4y＋2＝0，光线从A到B所走过的路线长为|A′B|＝－4－12＋－3－12＝41.18．(12分)圆C通过不同的三点P(k,0)、Q(2,0)、R(0,1)，已知圆C在P点切线的斜率为1，试求圆C的方程．[来源:Zxxk.Com]解：设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.将P、Q、R的坐标代入，化简得k＋2＝－D，2k＝F，E＋F＋1＝0.∴圆的方程为x2＋y2－(k＋2)x－(2k＋1)y＋2k＝0，圆心为(k＋22，2k＋12)．又∵kCP＝－1，∴k＝－3.∴圆的方程为x2＋y2＋x＋5y－6＝0.19．(12分)已知点M，N分别在直线y＝mx和y＝－mx(m0)上运动，点P是线段MN的中点，且|MN|＝2，动点P的轨迹是曲线C.(1)求曲线C的方程，并讨论方程所表示的曲线类型；(2)设m＝22时，过点A(－263，0)的直线l与曲线C恰有一个公共点，求直线l的斜率．解：(1)设P(x，y)，M(x1，mx1)，N(x2，－mx2)，依题意得x1＋x2＝2xmx1－mx2＝2yx1－x22＋mx1＋mx22＝22，消去x1，x2，整理得x21m2＋y2m2＝1，当m1时，方程表示焦点在y轴上的椭圆，当0m1时，方程表示焦点在x轴上的椭圆，当m＝1时，方程表示圆．(2)当m＝22时，方程为x22＋y212＝1，设直线l的方程为y＝k(x＋263)，x22＋y212＝1y＝kx＋263，消去y得(1＋4k2)x2＋1663k2x＋32k23－2＝0，[来源:Zxxk.Com]根据已知可得Δ＝0，故有(1663k2)2－4(1＋4k2)(32k23－2)＝0，k2＝34.∴直线l的斜率为k＝±32.20．(12分)(2011·株洲模拟)已知一椭圆经过点(2，－3)，且与椭圆9x2＋4y2＝36有共同的焦点．[来源:学科网ZXXK](1)求椭圆方程；(2)若P为椭圆上一点，P、F1、F2是一个直角三角形的顶点，且|PF1||PF2|，求|PF1PF2|的值．解：(1)∵9x2＋4y2＝36，∴a＝3，b＝2，c＝5，与之有共同焦点的椭圆可设为x2m＋y2m＋5＝1(m0)代入(2，－3)点，解得m＝10或m＝－2(舍)，故所求方程为x210＋y215＝1.(2)①若∠PF2F1＝90°，则|PF2|＝b2a＝1015＝2315，∴|PF1|＝2a－|PF2|＝215－2315＝4315，于是|PF1PF2|＝2.②若∠F1PF2＝90°，则|PF1|＋|PF2|＝215|PF1|2＋|PF2|2＝2c2＝20令|PF1|＝p，|PF2|＝q，得p＋q＝215p2＋q2＝20⇒p2＋(215－p)2＝20.∵Δ0∴无解，即这样的三角形不存在．综合①②知|PF1PF2|＝2.21．(12分)已知椭圆x2＋y2b2＝1(0b1)的左焦点为F，左、右顶点分别为A、C，上顶点为B，过F、B、C作⊙P，其中圆心P的坐标为(m，n)．(1)当m＋n0时，求椭圆离心率的范围；(2)直线AB与⊙P能否相切？证明你的结论．解：(1)设F、B、C的坐标分别为(－c,0)，(0，b)，(1,0)，则FC、BC的中垂线分别为x＝1－c2，y－b2＝1b(x－12)．联立方程组，解得x＝1－c2