2006考研数一真题及解析

2006162006年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题：1-6小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.(1)0ln(1)lim1cosxxxx.(2)微分方程(1)yxyx的通解是.(3)设是锥面22zxy(01z)的下侧，则23(1)xdydzydzdxzdxdy.(4)点(2,1,0)到平面3450xyz的距离d=.(5)设矩阵2112A，E为2阶单位矩阵，矩阵B满足2BABE，则B=.(6)设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间[0,3]上的均匀分布，则max{,}1PXY=.二、选择题：9-14小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.(7)设函数()yfx具有二阶导数，且()0,()0fxfx，x为自变量x在0x处的增量，y与dy分别为()fx在点0x处对应的增量与微分，若0x，则()(A)0.dxy(B)0.ydy(C)0.ydy(D)0.dyy(8)设(,)fxy为连续函数，则1400(cos,sin)dfrrrdr等于()(A)22120(,).xxdxfxydy(B)221200(,).xdxfxydy(C)22120(,).yydyfxydx(D)221200(,).ydyfxydx(9)若级数1nna收敛，则级数()(A)1nna收敛.(B)1(1)nnna收敛.200616(C)11nnnaa收敛.(D)112nnnaa收敛.(10)设(,)fxy与(,)xy均为可微函数，且(,)0yxy.已知00(,)xy是(,)fxy在约束条件(,)0xy下的一个极值点，下列选项正确的是()(A)若00(,)0xfxy，则00(,)0yfxy.(B)若00(,)0xfxy，则00(,)0yfxy.(C)若00(,)0xfxy，则00(,)0yfxy.(D)若00(,)0xfxy，则00(,)0yfxy.(11)设12,,,saaa均为n维列向量，A是mn矩阵，下列选项正确的是()(A)若12,,,saaa线性相关，则12,,,sAaAaAa线性相关.(B)若12,,,saaa线性相关，则12,,,sAaAaAa线性无关.(C)若12,,,saaa线性无关，则12,,,sAaAaAa线性相关.(D)若12,,,saaa线性无关，12,,,sAaAaAa线性无关.(12)设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的-1倍加到第2列得C，记110010001P，则()(A)1.CPAP(B)1.CPAP(C).TCPAP(D).TCPAP(13)设,AB为随机事件，且()0,(|)1PBPAB，则必有()(A)()().PABPA(B)()().PABPB(C)()().PABPA(D)()().PABPB(14)设随机变量X服从正态分布211(,)N，Y服从正态分布222(,)N，且12{||1}{||1},PXPY则必有()200616(A)12.(B)12.(C)12.(D)12.三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10分)设区域22,1,0Dxyxyx,计算二重积分2211DxyIdxdyxy.(16)(本题满分12分)设数列nx满足110,sin1,2,...nxxxn.(I)证明limnnx存在,并求该极限；(II)计算211limnxnnnxx.(17)(本题满分12分)将函数22xfxxx展开成x的幂级数.(18)(本题满分12分)设函数fu在0,内具有二阶导数，且22zfxy满足等式22220zzxy(I)验证0fufuu.(II)若10,11,ff求函数fu的表达式.(19)(本题满分12分)设在上半平面,0Dxyy内,函数,fxy是有连续偏导数,且对任意的0t都有2,,ftxtytfxy.证明:对D内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L，都有,,0Lyfxydxxfxydy(20)(本题满分9分)200616已知非齐次线性方程组1234123412341435131xxxxxxxxaxxxbx有3个线性无关的解(I)证明方程组系数矩阵A的秩2rA;(II)求,ab的值及方程组的通解.(21)(本题满分9分)设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量121,2,1,0,1,1TT是线性方程组0Ax的两个解.(I)求A的特征值与特征向量(II)求正交矩阵Q和对角矩阵,使得TQAQ.(22)(本题满分9分)随机变量x的概率密度为1,1021,0240,Xxfxx其他2,,yXFxy令为二维随机变量(,)XY的分布函数.求(I)Y的概率密度Yfy;(II)1,42F.(23)(本题满分9分)设总体X的概率密度为,01,01,12010,xfxx其中是未知参数其它.12n,...,XXX为来自总体X的简单随机样本,记N为样本值12,...,nxxx中小于1的个数,求的最大似然估计.2006162006年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题(1)【答案】2.【详解】由等价无穷小替换，0x时，21ln(1),1cos2xxxx，2002ln(1)limlim11cos2xxxxxxx=2(2)【答案】xCxe.【详解】分离变量，(1)dyyxdxx(1)dyxdxyx1(1)dydxyx1dydxdxyxlnlnyxxclnlnyxxceexyCxe(3)【答案】2【详解】补一个曲面221:1xyz1,取上侧，则1组成的封闭立体满足高斯公式，1()PQRdvPdydzQdzdxRdxdyIxyz设,2,3(1)PxQyRz，则1236PQRxyz∴I6dxdydz(为锥面和平面1所围区域)6V(V为上述圆锥体体积)注：以下几种解法针对于不同的方法求圆锥体体积V方法1：I623(高中方法，圆锥的体积公式，这种方法最简便)而123(1)0xdydzydzdxzdxdy(在1上：1,0zdz)方法2：先二重积分，后定积分.因为10VSdz，22rxy，222rxy，22rz，22Srz，所以1122001133Vzdzz.从而6623IV200616方法3：利用球面坐标.1z在球坐标下为：1cos，1224cos0006sinIddd243002sincosdd24300cos(2)cosdd422001(2)()cos2d202d方法4：利用柱面坐标.211006rIddrrdz21006(1)drrdr122300116()23drr202d(4)【答案】2【详解】代入点000(,,)Pxyz到平面0AxByCzD的距离公式000222640291625AxByCzDdABC(5)【答案】2【详解】由已知条件2BABE变形得，2BAEB()2BAEE,两边取行列式,得()244BAEEE其中，2110112120111AE，222E4E因此，2422EBAE.(6)【答案】19【详解】根据独立性原理：若事件1,,nAA独立，则1212nnPAAAPAPAPA200616事件max{,}11,111XYXYXY，而随机变量X与Y均服从区间[0,3]上的均匀分布，有1011133PXdx和1011133PYdy.又随机变量X与Y相互独立，所以，max(,)11,111PxyPxYPxPY113319二、选择题.(7)【答案】A【详解】方法1：图示法.因为()0,fx则()fx严格单调增加；因为()0,fx则()fx是凹函数，又0x，画2()fxx的图形结合图形分析，就可以明显得出结论：0dyy.方法2：用两次拉格朗日中值定理000()()()ydyfxxfxfxx(前两项用拉氏定理)0()()fxfxx(再用一次拉氏定理)0()()fxx,其中000,xxxx由于()0fx，从而0ydy.又由于0()0dyfxx，故选[]A方法3：用拉格朗日余项一阶泰勒公式.泰勒公式：000()()()()fxfxfxxx()20000()()()()2!!nnnfxfxxxxxRn，其中(1)00()()(1)!nnnfxRxxn.此时n取1代入，可得20001()()()()()02ydyfxxfxfxxfx又由0()0dyfxx，选()A.Ox0x0+Δxxyy=f(x)Δydy200616(8)【答案】()C【详解】记1400(cos,sin)(,)Ddfrrrdrfxydxdy，则区域D的极坐标表示是：01r，04.题目考察极坐标和直角坐标的互化问题，画出积分区间，结合图形可以看出，直角坐标的积分范围(注意yx与221xy在第一象限的交点是2222（，）)，于是22:0,12Dyyxy所以，原式22120(,)yydyfxydx.因此选()C(9)【答案】D【详解】方法1：数列收敛的性质：收敛数列的四则运算后形成的新数列依然收敛因为1nna收敛，所以11nna也收敛，所以11()nnnaa收敛，从而112nnnaa也收敛.选D.方法2：记(1)nnan，则1nna收敛.但111nnnan，(p级数，12p级数发散)；11111nnnnaann(p级数，1p级数发散)均发散。由排除法可知，应选D.(10)【答案】D【详解】方法1：化条件极值问题为一元函数极值问题。已知00(,)0xy，由(,)0xy，在00,)xy（邻域，可确定隐函数()yyx，满足00()yxy，dyxydx。00,)xy（是(,)fxy在条件(,)0xy下的一个极值点0xx是(,())zfxyx的极值点。它的必要条件是000000(,)(,)xxxxfxyfxydzdydxxydx000000000(,)0(,)(,)(,)xyxxxyxyxyfxyfxy若00(,)0xfxy，则00(,)0yfxy，或00(,)0xxy，因此不选()A，()B.若00(,)0xfxy，则00(,)0yfxy(否则00xxdzdx).因此选()D方法2：用拉格朗日乘子法