2012年中考数学第二轮复习专题讲解几何计算题选讲

用心爱心专心八．几何计算题选讲几何计算题历年来是中考的热点问题。几何计算是以推理为基础的几何量的计算，主要有线段与弧的长度计算、角和弧的度数计算、三角函数值的计算、线段比值的计算以及面积、体积的计算，从图形上分类有：三角形、四边形、多边形以及圆的有关计算。解几何计算题的常用方法有：几何法、代数法、三角法等。一、三种常用解题方法举例例1．如图，在矩形ABCD中，以边AB为直径的半圆O恰与对边CD相切于T，与对角线AC交于P，PE⊥AB于E，AB=10，求PE的长.解法一：（几何法）连结OT，则OT⊥CD，且OT=21AB＝5BC=OT=5,AC=25100=55∵BC是⊙O切线，∴BC2=CP·CA.∴PC=5，∴AP=CA-CP=54.∵PE∥BC∴ACAPBCPE，PE=5554×5=4.说明：几何法即根据几何推理，由几何关系式进行求解的方法，推理时特别要注意图形中的隐含条件.解法二：（代数法）∵PE∥BC，∴ABAECBPE.∴21ABCBAEPE.设：PE=x，则AE=2x，EB=10–2x.连结PB.∵AB是直径，∴∠APB=900.在Rt△APB中，PE⊥AB，∴△PBE∽△APE.∴21AEPEEPEB.∴EP=2EB，即x=2（10–2x）.解得x=4.∴PE=4.说明：代数法即为设未知数列方程求解，关键在于找出可供列方程的相等关系，例如：相似三角形中的线段比例式；勾股定理中的等式；相交弦定理、切割线定理中的线段等积式，以及其他的相等关系.解法三：（三角法）连结PB，则BP⊥AC.设∠PAB=α在Rt△APB中，AP=10COSα，在Rt△APE中，PE=APsinα,∴PE=10sinαCOSα.在Rt△ABC中,BC=5,AC=55.∴sinα=55555,COSα=5525510.∴PE=10×55255=4.说明：在几何计算中，必须注意以下几点：（1）注意“数形结合”，多角度，全方位观察图形，挖掘隐含条件，寻找数量关系和相等关系.（2）注意推理和计算相结合，先推理后计算，或边推理边计算，力求解题过程规范化.（3）注意几何法、代数法、三角法的灵活运用和综合运用.二.其他题型举例例2.如图，ABCD是边长为2a的正方形，AB为半圆O的直径，CE切⊙O于E，与BA的OPABTCDEOBADCFE用心爱心专心延长线交于F，求EF的长.分析：本题考察切线的性质、切割线定理、相似三角形性质、以及正方形有关性质.本题可用代数法求解.解：连结OE，∵CE切⊙O于E，∴OE⊥CF∴△EFO∽△BFC，∴FBFEBCOE，又∵OE=21AB=21BC，∴EF=21FB设EF=x，则FB=2x，FA=2x–2a∵FE切⊙O于E∴FE2=FA·FB，∴x2=（2x–2a）·2x解得x=34a，∴EF=34a.例3．已知：如图，⊙O1与⊙O2相交于点A、B，且点O1在⊙O2上，连心线O1O2交⊙O1于点C、D，交⊙O2于点E，过点C作CF⊥CE，交EA的延长线于点F，若DE=2，AE=52（1）求证：EF是⊙O1的切线；（2）求线段CF的长；（3）求tan∠DAE的值.分析：（1）连结O1A，O1E是⊙O2的直径，O1A⊥EF，从而知EF是⊙O1的切线.（2）由已知条件DE=2，AE=52，且EA、EDC分别是⊙O1的切线和割线，运用切割线定理EA2=ED·EC，可求得EC=10.由CF⊥CE，可得CF是⊙O1的切线，从而FC=FA.在Rt△EFC中，设CF=x，则FE=x+52.又CE=10，由勾股定理可得：（x+52）2=x2+102，解得x=54.即CF=54.（3）要求tan∠DAE的值，通常有两种方法：①构造含∠DAE的直角三角形；②把求tan∠DAE的值转化为求某一直角三角形一锐角的正切（等角转化）.在求正切值时，又有两种方法可供选择：①分别求出两线段（对边和邻边）的值；②整体求出两线段（对边和邻边）的比值.解：（1）连结O1A，∵O1E是⊙O2的直径，∴O1A⊥EF∴EF是⊙O1的切线..（2）∵DE=2，AE=52，且EA、EDC分别是⊙O1的切线和割线∴EA2=ED·EC，∴EC=10由CF⊥CE，可得CF是⊙O1的切线，从而FC=FA.在Rt△EFC中，设CF=x，则FE=x+52.又CE=10，由勾股定理可得：（x+52）2=x2+102，解得x=54.即CF=54.（3）解法一：（构造含∠DAE的直角三角形）作DG⊥AE于G，求AG和DG的值.分析已知条件，在Rt△AO1E中，三边长都已知或可求（O1A=4，O1E=6），又DE=2，且DG∥AO1（因为DG⊥AE），运用平行分线段成比例可求得DG=,354,34AG从而tan∠DAE=55.解法二：（等角转化）连结AC，由EA是⊙O1的切线知∠DAE=∠ACD.只需求tan∠ACD.易得∠CAD=900，所以只需求ACAD的值即可.观察BO1DCO2EAF用心爱心专心和分析图形，可得△ADE∽△CAE，551052CEAEACAD.从而tan∠ACD=55ACAD，即tan∠DAE=55.说明：（1）从已知条件出发快速地找到基本图形，得到基本结论，在解综合题时更显出它的基础性和重要性.如本题（2）求CF的长时，要能很快地运用切割线定理，先求出CE的长.（2）方程思想是几何计算中一种常用的、重要的方法，要熟练地掌握.例4.如图，已知矩形ABCD，以A为圆心，AD为半径的圆交AC、AB于M、E，CE的延长线交⊙A于F，CM=2，AB=4.（1）求⊙A的半径；（2）求CF的长和△AFC的面积.解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=4，在Rt△ACD中，AC2=CD2+AD2，∴（2+AD）2=42+AD2，解得AD=3.（2）A作AG⊥EF于G.∵BG=3，BE=AB―AE=1，∴CE=10132222BEBC由CE·CF=CD2，得CF=105810422CECD.又∵∠B=∠AGE=900，∠BEC=∠GEA，∴△BCE∽△GAE.∴AECEAGBC，即,3103AGS△AFC=21CF·AG=536.例5.如图，△ABC内接于⊙O，BC=4，S△ABC=36，∠B为锐角，且关于x的方程x2–4xcosB+1=0有两个相等的实数根.D是劣弧AC上的任一点（点D不与点A、C重合），DE平分∠ADC，交⊙O于点E，交AC于点F.（1）求∠B的度数；（2）求CE的长.分析：本题是一道综合了代数知识的几何计算题，考察了圆的有关性质，解题时应注意线段的转化.解：（1）∵关于x的方程x2–4xcosB+1=0有两个相等的实数根，∴Δ=（-4cosB）2-4=0.∴cosB=21，或cosB=-21（舍去）.又∵∠B为锐角，∴∠B=600.（2）点A作AH⊥BC，垂足为H.S△ABC=21BC·AH=21BC·AB·sin600=36，解得AB=6在Rt△ABH中，BH=AB·cos600=6×21=3，AH=AB·sin600=6×3323，∴CH=BC-BH=4-3=1.在Rt△ACH中，AC2+CH2=27+1=28.∴AC=72（负值舍去）.∴AC=72.连结AE，在圆内接四边形ABCD中，∠B+∠ADC=1800，∴∠ADC=1200.又∵DE平分∠ADC，∴∠EDC=600=∠EAC.又∵∠AEC=∠B=600，∴∠AEC=∠EAC，∴CE=AC=72.例6.已知：如图，⊙O的半径为r，CE切⊙O于点C，且与弦AB的延长线交于点E，CD⊥AB于D.如果CE=2BE，且AC、BC的长是关于x的方程x2–3（r–2）x+r2–4=0的两个实数根.求（1）AC、BC的长；（2）CD的长.分析：（1）图中显然存在切割线定理的基本图形，从而可得△ECB∽△EAC，AC=2BC.又∵AC、BC是方程的两根，由根与系数关系可列出关于AC、BC的方程组求解.（2）∵CD是Rt△CDB的一边，所以考虑构造直角三角形与之对应.若过C作直径CF，连结AF，则Rt△CDB∽Rt△CAF，据此可列式计算.MAEBDCFGODBACEHF用心爱心专心解：（1）∵CE切⊙O于C，∴∠ECB=∠A.又∵∠E是公共角，∴△ECB∽△EAC，21CEBEACBC，∴AC=2BC.由AC、BC的长是关于x的方程x2–3（r–2）x+r2–4=0的两个实数根，∴AC+BC=3（r-2）；AC·BC=r2-4，解得r=6，∴BC=4，AC=8.（2）CO并延长交⊙O于F，连结AF，则∠CAF=900，∠CFA=∠CBD.∵∠CDB=900=∠CAF，∴△CAF∽△CDB，BCCFCDAC.∴CD=381248CFBCAC.说明：（1）这是一道代数、几何的综合题，关键是寻找相似三角形，建立线段之间的比例关系，再根据根与系数关系列等式计算；（2）构造与相似的直角三角形的方法有许多种，同学们不妨试一试.例7.如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，PA是过A点的直线，∠PAC=∠B.（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）如果弦CD交AB于E，CD的延长线交PA于F，AC=CE∶EB=6∶5，AE∶EB=2∶3，求AB的长和∠FCB的正切值.解：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=900.∴∠CAB+∠B=900，又∠PAC=∠B，∴∠CAB+∠PAC=900.即PA⊥AB，∴PA是⊙O的切线.（2）设CE=6a,AE=2x,则ED=5a，EB=3x.由相交弦定理，得2x·3x=5a·6a∴x=5a.连结AD.由△BCE∽△DAE，得553EDEBADBC.连结BD.由△BED∽△CEA，得25AEBEACBD.∴BD=54.由勾股定理得BC=228AB，AD=2)54(AB.∴553)54(82222ABAB.两边平方，整理得1002AB，∴10AB（负值舍去）.∴AD=52.∵∠FCB=∠BAD，∴tan∠FCB=tan∠BAD=25254ADBD.解几何计算题要求我们必须掌握扎实的几何基础知识，较强的逻辑推理能力，分析问题时应注意分析法与综合法的同时运用，还特别要注意图形中的隐含条件，在平时的学习中要善于总结归纳，只有这样才能掌握好几何计算题的解法.POABCFDOAECDFB