2012年中考数学复习考点跟踪训练49_方程函数与几何相结合型综合问题

京翰教育初中数学辅导网考点跟踪训练49方程、函数与几何相结合型综合问题一、选择题1．(2010·南充)如图，小球从点A运动到点B，速度v(米/秒)和时间t(秒)的函数关系式是v＝2t.如果小球运动到点B时的速度为6米/秒，小球从点A到点B的时间是()A．1秒B．2秒C．3秒D．4秒答案C解析当v＝6时，2t＝6，t＝3.2．(2010·鄂尔多斯)某移动通讯公司提供了A、B两种方案的通讯费用y(元)与通话时间x(分)之间的关系，如图所示，则以下说法错误．．的是()A．若通话时间少于120分，则A方案比B方案便宜20元B．若通话时间超过200分，则B方案比A方案便宜C．若通讯费用为60元，则B方案比A方案的通话时间多D．若两种方案通讯费用相差10元，则通话时间是145分或185分答案D解析A、B、C正确，可排除，错误的是D.3．(2010·宿迁)如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，当直角三角板MPN的直角顶点P在BC边上移动时，直角边MP始终经过点A，设直角三角板的另一直角边PN与CD相交于点Q.BP＝x，CQ＝y，那么y与x之间的函数图象京翰教育初中数学辅导网大致是()答案D解析因为BP＝x，CQ＝y，则AP2＝42＋x2，PQ2＝(6－x)2＋y2，AQ2＝(4－y)2＋62.在Rt△APQ中，有AP2＋PQ2＝AQ2，即(42＋x2)＋[]6－x2＋y2＝(4－y)2＋62，化简，得y＝－14x2＋32x＝－14(x－3)2＋94，根据函数关系式，可知抛物线的顶点坐标为3，94，选D.4．如图，直线y＝－2x＋4与x轴、y轴分别相交于A、B两点，C为OB上一点，且∠1＝∠2，则S△ABC＝()A．1B．2C．3D．4答案C解析∵直线y＝－2x＋4与x轴交于点A、B两点，∴A(2,0)，B(0,4)，京翰教育初中数学辅导网∴OA＝2，OB＝4.又∵∠1＝∠2，∠AOC＝∠BOA，∴△OAC∽△OBA，∴OCOA＝OAOB，∴OC＝OA2OB＝1，BC＝OB－OC＝3，S△ABC＝12×2×3＝3.5．(2011·烟台)如图，AB为半圆的直径，点P为AB上一动点，动点P从点A出发，沿AB匀速运动到点B，运动时间为t，分别以AP与PB为直径作半圆，则图中阴影部分的面积S与时间t之间的函数图象大致为()答案D解析设P点运动速度为v(常量)，AB＝a(常量)，则AP＝vt，PB＝a－vt.则阴影部分面积S＝12πa22－12πvt22－12πa－vt22＝－πv24t2＋avt4，由函数关系式可知，抛物线开口向下，选D.二、填空题京翰教育初中数学辅导网．已知平面上四点A(0,0)，B(10,0)，C(10,6)，D(0,6)，直线y＝mx－3m＋2将四边形分成面积相等的两部分，则m的值为__________．答案12解析∵直线y＝mx－3m＋2将四边形ABCD分成面积相等的两部分，∴直线必经过矩形的中心对称点O′.∵根据矩形中心对称，可知O′(5,3)，将它代入y＝mx－3m＋2中，得：3＝5m－3m＋2，即m＝12.7．阅读材料：设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为x1，x2，则两根与方程系数之间有如下关系：x1＋x2＝－ba，x1·x2＝ca.根据该材料填空：已知x1，x2是方程x2＋6x＋3＝0的两实数根，则x2x1＋x1x2的值为________．答案10解析由题意，得x1＋x2＝6，x1x2＝3，所以x2x1＋x1x2＝x12＋x22x1x2＝x1＋x22－2x1x2x1x2＝－62－2×33＝36－63＝10.8．如图为二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，在下列说法中：①ac＜0；②方程ax2＋bx＋c＝0的根是x1＝－1,x2＝3；③a＋b＋c＞0；④当x＞1时，y随x的增大而增大．正确的说法有_____________．(把正确的答案的序号都填在横线上)京翰教育初中数学辅导网答案①②④解析当－1x3时，y0；当x＝1时，y＝a＋b＋c0，所以说法③错误．9．利用图象解一元二次方程x2＋x－3＝0时，我们采用的一种方法是：在平面直角坐标系中画出抛物线y＝x2和直线y＝－x＋3，两图象交点的横坐标就是该方程的解．(1)填空：利用图象解一元二次方程x2＋x－3＝0，也可以这样求解：在平面直角坐标系中画出抛物线y＝________和直线y＝－x，其交点的横坐标就是该方程的解；(2)已知函数y＝－6x的图象(如图所示)，利用图象求方程的近似解为：____________________(结果保留两个有效数字)．答案(1)x2－3；(2)x1≈－1.4，x2≈4.410．如图，水以恒速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，(1)请分别找出与各容器对应的水的高度h和时间t的函数关系图象，用直线段连接起来；(2)当容器中的水恰好达到一半高度时，请在函数关系图的t轴上标出此时t值对应点T的位置．京翰教育初中数学辅导网答案解析图象(1)是均匀变化的，为B；图象(2)是先慢后快，为A；图象(3)是先快后慢，为D；图象(4)是先快后慢，最后再变快，为C.三、解答题11．(2011·芜湖)如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径．点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D.(1)求证：CD为⊙O的切线；(2)若DC＋DA＝6，⊙O的直径为10，求AB的长度．解(1)证明：连接OC，∵点C在⊙O上，OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC.∵CD⊥PA，∴∠CDA＝90°，∴∠CAD＋∠DCA＝90°.∵AC平分∠PAE，∴∠DAC＝∠CAO.∴∠DCO＝∠DCA＋∠ACO＝∠DCA＋∠CAO＝∠DCA＋∠DAC＝90°.又∵点C在⊙O上，OC为⊙O的半径，∴CD为⊙O的切线．京翰教育初中数学辅导网(2)解：过O作OF⊥AB，垂足为F，∴∠OCD＝∠CDA＝∠OFD＝90°，∴四边形OCDF为矩形，∴OC＝FD，OF＝CD.∵DC＋DA＝6，设AD＝x，则OF＝CD＝6－x.∵⊙O的直径为10，∴DF＝OC＝5，∴AF＝5－x.在Rt△AOF中，由勾股定理得AF2＋OF2＝OA2.即(5－x)2＋(6－x)2＝25，化简得：x2－11x＋18＝0，解得x＝2或x＝9.由ADDF，知0x5，故x＝2.∴AD＝2,AF＝5－2＝3.∵OF⊥AB，由垂径定理知，F为AB的中点，∴AB＝2AF＝6.12．(2011·淮安)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P在AB上，AP＝2.点E、F同时从点P出发，分别沿PA、PB以每秒1个单位长度的速度向点A、B匀速运动，点E到达点A后立即以原速度沿AB向点B运动，点F运动到点B时停止，点E也随之停止．在点E、F运动过程中，以EF为边作正方形EFGH，使它与△ABC在线段AB的同侧，设E、F运动的时间为t秒(t＞0)，正方形EFGH与△ABC重叠部分面积为S.(1)当t＝1时，正方形EFGH的边长是__________；当t＝3时，正方形EFGH的边长是__________；(2)当0＜t≤2时，求S与t的函数关系式；(3)直接答出：在整个运动过程中．．．．．．．，当t为何值时，S最大？最大面积是多少？京翰教育初中数学辅导网解(1)2；4.(2)当0＜t≤611时(如图)，S与t的函数关系式是：S＝S矩形EFGH＝(2t)2＝4t2；当611＜t≤65时(如图)，S与t的函数关系式是：S＝S矩形EFGH－S△HMN＝4t2－12×43×[2t－34(2－t)]2＝－2524t2＋112t－32；当65＜t≤2时(如图)，S与t的函数关系式是：S＝S△ARF－S△AQE＝12×34(2＋t)2－12×34(2－t)2＝3t.(3)由(2)知：若0＜t≤611，当t＝611时S最大，其最大值京翰教育初中数学辅导网＝144121；若611＜t≤65，当t＝65时S最大，其最大值S＝185；若65＜t≤2，当t＝2时S最大，其最大值S＝6.综上所述，当t＝2时S最大，最大面积是6.13．(2011·襄阳)如图，在平面直角坐标系xOy中，AB在x轴上，AB＝10，以AB为直径的⊙O′与y轴正半轴交于点C，连接BC、AC，CD是⊙O′的切线，AD⊥CD于点D，tan∠CAD＝12，抛物线y＝ax2＋bx＋c过A、B、C三点．(1)求证：∠CAD＝∠CAB；(2)①求抛物线的解析式；②判定抛物线的顶点E是否在直线CD上，并说明理由；(3)在抛物线上是否存在一点P，使四边形PBCA是直角梯形．若存在，直接写出点P的坐标(不写求解过程)；若不存在，请说明理由．解(1)证明：连接O′C.∵CD是⊙O′的切线，∴O′C⊥CD.∵AD⊥CD，∴O′C∥AD，∴∠O′CA＝∠CAD.∵O′C＝O′A，∴∠O′CA＝∠CAB.∴∠CAD＝∠CAB.(2)①∵AB是⊙O′的直径，∴∠ACB＝90°.∵OC⊥AB，∴∠CAB＝∠OCB，∴△CAO∽△BCO，京翰教育初中数学辅导网∴OCOA＝OBOC，即OC2＝OA·OB.∵tan∠CAO＝tan∠CAD＝12，∴OA＝2OC.又∵AB＝10，∴OC2＝2OC×(10－2OC)．∵OC＞0，∴OC＝4，OA＝8，OB＝2.∴A(－8,0)，B(2,0)，C(0,4)．∵抛物线y＝ax2＋bx＋c过A、B、C三点，由题意得4a＋2b＋c＝0，64a－8b＋c＝0，c＝4，解之得a＝－14，b＝－32，c＝4.∴y＝－14x2－32x＋4.②设直线DC交x轴于点F，易证△AOC≌△ADC，∴AD＝AO＝8.∵O′C∥AD，∴△FO′C∽△FAD，∴O′FAF＝O′CAD.∴5＋BF10＋BF＝58，∴BF＝103，∴F(163，0)．设直线DC的解析式为y＝kx＋m，则m＝4，163k＋m＝0，即k＝－34，m＝4.京翰教育初中数学辅导网∴y＝－34x＋4.由y＝－14x2－32x＋4＝－14(x＋3)2＋254，得顶点E的坐标为E(－3，254)．将E(－3，254)横坐标代入直线DC的解析式y＝－34x＋4中，右边＝－34×(－3)＋4＝254.∴抛物线的顶点E在直线CD上．(3)存在．P1(－10，－6)，P2(10，－36)．