2012年信息安全数学基础期末考试试题

2012年信息安全数学基础期末考试试题1证明：如果是整数，则能被3整除。2用广义欧几里德算法求最大公因子3设是一个正整数，，如果，证明：。4解方程5解方程组6计算3模19的指数。7、计算的Legendre符号2012年信息安全数学基础期末考试试题答案1证明：因为a3-a=(a-1)a(a+1)当a=3k，kZ3|a则3|a3-a当a=3k-1，kZ3|a+1则3|a3-a当a=3k+1，kZ3|a-1则3|a3-a所以a3-a能被3整除。2.12075=2*4655+27654655=1*2765+18902765=1*1890+8751890=2*875+140875=6*140+35140=4*35所以=353.因为d|m，所以存在整数使得。又因为，所以存在整数使得。该式又可以写成。故。4.计算最大公因式(987,2668)=1，所以原同余式有解且只有一个解。利用广义欧几里德除法，求同余式的解为。再写出同余式的解为。5令，，。分别求解同余式（i=1,2,3）得到，，。故同余式的解为6解：因为(19)=18,所以只需对18的因数d=1,2,3,6,9,18计算ad(mod12)因为31≡3,32≡9,33≡8,36≡7,39≡-1,218≡1(mod13)所以3模19的指数为18；78证明：因为91=13*7是奇合数，(3,91)=1又36=729≡1(mod91)则391-1=390≡(36)15≡1(mod91)则91是对于基3的拟素数。9对任意，有，从而，。因此，，是群的子群。10证明：（1）任取。计算因此是同态映射。（2）若，且。那么，从而，因此是单射。（3）任取。由于，故是满射。综上所述，映射是到自身的自同构。