2011年全国大学生数学建模大赛A题全国一等奖论文

2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：参赛队员(打印并签名)：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：日期：年月日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：1城市表层土壤重金属污染分析摘要随着城市经济的快速发展和城市人口的不断增加，人类活动对城市环境质量的影响日显突出，城市土壤表层的重金属污染问题日益严重。本文采用克里格插值法绘制污染物空间分布图，内梅罗评价法对污染状况进行评价，相关分析和主成分分析去探究污染原因，建立二维传播模型确定污染源位置。针对问题1，为了解决污染物空间分布问题，我们首先采用统计分析的方法大致分析了污染物在各个研究区的分布离散度等情况，然后根据克里格插值法用MAPGIS软件绘制了重金属污染物的空间等值线图并对其进行分析。为了解决污染程度问题，我们采用尼罗德评价法，分析出生活区Zn污染最为严重，整体一般清洁，工业区和交通区污染较为严重，山区和公园绿地大体环境清洁。针对问题2，为分析重金属污染主要原因，我们首先对重金属污染进行Pearson相关分析，相关系数表明大部分重金属污染物之间都有较强的正相关关系，又因信息的重叠度较高，我们采用主成分分析法解析污染来源，发现Cd、Cr、Cu、Pb、Zn这几种重金属污染元素很可能来自农药施用，工业“三废”排放，As、Ni主要来自工业区的污染物排放。针对问题3，为确定污染源位置，首先我们查阅了污染物的传播特征，根据污染物的扩散和迁移，并由此建立污染物二维传播模型ycVxcVycDxcDtcyxyx2222。随后用1stopt进行多项式拟合确定传播系数，最后用MATLAB编程求解得:元素AsCdCrCuHgNiPbZn污染源个数57425257针对问题4，我们先根据模型分析其优缺点，然后考虑运移方程中的土壤密度，分配系数，土壤含水率，重金属污染的积累等条件，对模型进行优化并建立方程。关键词：空间插值尼梅罗指数评价主成分分析相关系数分析二维传播微分方程2一、问题重述随着城市经济的快速发展和城市人口的不断增加，人类活动对城市环境质量的影响日显突出。对城市土壤地质环境异常的查证，以及如何应用查证获得的海量数据资料开展城市环境质量评价，研究人类活动影响下城市地质环境的演变模式，日益成为人们关注的焦点。按照功能划分，城区一般可分为生活区、工业区、山区、主干道路区及公园绿地区等，分别记为1类区、2类区、……、5类区，不同的区域环境受人类活动影响的程度不同。现对某城市城区土壤地质环境进行调查。为此，将所考察的城区划分为间距1公里左右的网格子区域，按照每平方公里1个采样点对表层土（0~10厘米深度）进行取样、编号，并用GPS记录采样点的位置。应用专门仪器测试分析，获得了每个样本所含的多种化学元素的浓度数据。另一方面，按照2公里的间距在那些远离人群及工业活动的自然区取样，将其作为该城区表层土壤中元素的背景值。附件1列出了采样点的位置、海拔高度及其所属功能区等信息，附件2列出了8种主要重金属元素在采样点处的浓度，附件3列出了8种主要重金属元素的背景值。现要求你们通过数学建模来完成以下任务：(1)给出8种主要重金属元素在该城区的空间分布，并分析该城区内不同区域重金属的污染程度。(2)通过数据分析，说明重金属污染的主要原因。(3)分析重金属污染物的传播特征，由此建立模型，确定污染源的位置。(4)分析你所建立模型的优缺点，为更好地研究城市地质环境的演变模式，还应收集的信息，以及有了这些信息，建立模型解决问题的方法。二、模型假设1、重金属在土壤中的传播方向仅仅是从高浓度向低浓度传播，不考虑其他的传播方向；2、重金属在土壤中传播忽略高程在其中的作用，重金属污染只看做是迁移、扩散；33、不考虑重金属在土壤中的自我降解能力；4、该城市某个区域土壤是均匀的，其中的水的对流速度和扩散系数都是恒定的。5、题目提供的相关数据皆是真实、可信，在没有特殊情况下测得的；三、符号说明符号意义符号意义iC第i个监测点重金属浓度的测量值),(yxc某个时刻坐标（x，y）下重金属污染浓度iS重金属浓度的评价标准值F污染级别iP单因子污染指数M重金属污染物的质量P尼梅罗污染指数b土壤密度yxDD,x，y方向上的弥散系数dK分配系数yxVV,x，y方向上的对流速度土壤含水率四、问题分析4.1问题1分析问题1题目要求我们给出8种主要重金属元素在该城区的空间分布，并分析该城区内不同区域重金属的污染程度。我们对题目给出的附件进行了数据的预处理和正态分布检验，消除了异常值带来的影响和比例效应。根据附件1、2给出的样本位置和样本点污染物浓度我们先对数据进行统计分析，然后用MAPGIS软件绘制空间分布等值线图更加直观的观察重金属元素的空间分布。我们采用内梅罗环境污染指数评价的方法结合土壤环境质量标准，做出了污染评价。4.2问题2分析问题2题目要求我们通过数据分析，说明重金属污染的主要原因。我们查阅资料，查出了我国境内8种重金属污染物的主要来源。对8种重金属污染物先采用Pearson相关分析法求出了它们的相关系数矩阵，求出的结果表明部分重金属之间表现了较强的正相关关系，信息存在一定的重叠，故我们后又采用主成分分析的方法，求出影响的综合指标，判断不同的重金属污染原因。4.2问题3分析4问题3题目要求我们分析重金属污染物的传播特征，由此建立模型，确定污染源的位置。我们查阅资料，分析了重金属污染物在土壤中的传播特征，据此建立重金属污染物的二维传播模型。在建立模型的过程中我们先根据重金属污染的空间分布图确定预备污染源位置，然后采用1stpot软件确定了参数扩散系数和流动系数，最后用MATLAB软件对方程进行求解得出污染源的位置，并对结果进行分析。4.4问题4分析问题四，要求我们分析我们建立模型的优缺点并且对模型进行优化，我们发现在上述问题进行求解时，我们并没有考虑土壤密度，分配系数，土壤含水率等条件，所以我们应该对系数进行优化，然后根据二维传播方程进行求解。五、模型建立与求解5.1问题一5.1.1数据预处理（1）对异常数据的处理由于测量的值具有不稳定性，且所产生的异常值会对变异函数有很重要的影响，会影响变异函数模型的精度。所以我们将sA3所表示的范围认为是正常测量值，而超过sA3的测量值则用sA3进行替代，将小于sA3的测量值用sA3替代。其中A表示某一重金属元素所有测得浓度的算术平均值，而s则表示标准差。所处理得到的数据如附录一所示。]2[（2）正态分布检验本文对八种重金属含量的分布进行了Klmogorov一smirnov检验,由检验结果发现As、Pb、Hg、Cd、Zn、Cr、Cu、Ni这八种重金属元素全部拒绝正态分布零假设，需要进行对数转换，以满足统计学对数据的要求，减少因异常值带来的影响。5.1.2模型分析（1）主要重金属元素的空间分布问题1要求我们给出8种主要重金属元素在该城区的空间分布。根据附件1、2给出的污染物浓度和采样点坐标，对其先进行数据处理，然后采用统计分析的方法求出各个重金属污染物的离散程度，再采用克里格空间插值法结合MAPGIS软件绘制金属污染物空间等值线图并对求出的结果进行分析。（2）分析不同区域重金属的污染程度——尼梅罗污染指数评价在分析不同区域金属污染物浓度的时候，我们应该先筛选出每个区域所对应的站点，然后先用单因子评价对每个站点的每种污染物做评价，然后用尼梅罗指数法对该区域的所有站点进行分析。]2[5.1.3模型的建立与求解5（1）主要重金属元素的空间分布1、对8种重金属元素样本统计分析处理首先对8种重金属元素的样本数据进行统计分析处理，采用SPSS软件得出各个元素的结果如下表所示：表1-1：重金属As的统计分析结果表重金属As统计分析报告研究区样本数最大值最小值均值标准差CV(%)背景值生活区44.00011.4502.3406.2702.1500.3433.600工业区36.00014.7491.6106.9533.3900.4883.600山区66.00010.9901.7704.0441.7990.4453.600主干道路区138.00014.7491.6105.5182.1580.3913.600公园绿地区35.00011.6802.7706.2642.0240.3233.600分析表1-1的统计量特征值得知,生活区、工业区、山区、主干道路区、公园绿地区重金属As含量的变化范围为分别为2.340~11.450mg/kg、1.610~14.749mg/kg、1.770~10.990mg/kg、1.610~14.749mg/kg、2.770~11.680mg/kg,最高值出现在工业区，工业区的变异系数最大,说明工业区As含量的离散程度较大。表1-2：重金属Cd的统计分析结果表重金属Cd统计分析报告研究区样本数最大值最小值均值标准差CV(%)背景值生活区44.000977.35986.800288.435177.4390.615130.000工业区36.000977.359114.500387.434221.3120.571130.000山区66.000407.60040.000152.32078.3800.515130.000主干道路区138.000977.35950.100352.586215.3340.611130.000公园绿地区35.000977.35997.200279.185231.5270.829130.000分析表1-2的统计量特征值得知,生活区、工业区、山区、主干道路区、公园绿地区重金属Cd含量的变化范围为分别为86.800~977.359ug/kg、114.500~977.359ug/kg、40.000~407.600ug/kg、50.100~977.359ug/kg、977.359~97.200ug/kg,最高值出现在生6活区、工业区、主干道路区、公园绿地区，公园绿地区的变异系数最大,说明公园绿地区Cd含量的离散程度较大。表1-3：重金属Cr的统计分析结果表重金属Cr统计分析报告研究区样本数最大值最小值均值标准差CV(%)背景值生活区44.000263.51518.46058.08842.2870.72831.000工业区36.000263.51515.40052.79640.7060.77131.000山区66.000173.34016.20038.96024.5950.63131.000主干道路区138.000263.51515.32052.98336.9790.69831.000公园绿地区35.00096.28016.31043.63614.8400.34031.000分析表1-3的统计量特征值得知,生活区、工业区、山区、主干道路区、公园绿地区重金属Cr含量的变化范围为分别为263.515~18.460mg/kg、263.515~15.400mg/kg、173.340~16.200mg/kg、263.515~15.320mg/kg、96.280~16.310mg/kg,最高值出现在生活区、工业区、主干道路区，工