2012年电子科技大学研究生试卷

电子科技大学研究生试卷（考试时间：14点至16点，共2小时）课程名称数理方程与特殊函数教师学时60学分3教学方式闭卷考核日期2012年12月28日成绩考核方式：（学生填写）1．把方程22222320uuuxxyy化为标准型，指出其类型，求出其通解.(10分)解：21211229204aaa，方程属于双曲型。2分特征方程为：2320dydydxdx，于是得：122,yxCyxC2分所以，令：2yxyx，则：2111xyxyQ1112122231102121221131112022aaaa，120,0,0bLcbLccf所以，标准型为：0u；4分两边积分：()uc，两边再积分得112()()()()ucdcff所以，方程通解为：12(,)(2)()uxyfyxfyx。2分2.设定解问题：(10分)2000(),0,0,,0(),(),0.ttxxxxltttuaufxxltuAuBtuxuxxl将该定解问题化成可直接分离变量求解的问题(不需要求出解的具体形式)。解：令(,)(,)()uxtVxtwx2分代入原定解问题中得：22000()(),0,0(,)(),(,)(),0(,)()(),(),0.ttxxxxltttVaVawxfxxltVxtwxAVxtwxBtVxtxwxVxxl4分于是定解问题可分解为：(1)20000,0(,)0,(,)0,0(,)()(),(),0.ttxxxxltttVaVxltVxtVxttVxtxwxVxxl与(2)、20()(),0(),()xxlawxfxxlwxAwxB对于(2)容易求出其解，将其解代入(1)，得到可直接分离变量定解问题。4分。3．长为l的均匀细杆，其侧面与左端保持零度，右端绝热，杆内初始温度分布为()x，求杆内温度分布(,)uxt.(20分)解：定解问题为200(0)0,0,()txxxxxltuauxluuux4分分离变量得固有值为：2221()2,(0,1,2.....)nnnl2分固有函数为：12()sinnnXxxl2分另一个常微分方程的解为：2222(21)4(),0,1,2....natlnnTtAen2分于是：2222(21)412(,)sin,(0,1,2,.....)natlnnnuxtaexnl1分一般解为：2222(21)4012(,)sinnatlnnnuxtaexl4分由初始条件得：012()sinnnnxaxl2分所以：0(21)()sin,(0,1,2,....)2lnnxaxdxnl2分2222(21)4001(21)2(,)()sinsin2natllnnnxuxtxdxexll1分。4．求下面的定解问题：（10分）22009,(,0)18,sin18tttxxtttuuxexRtuxxux.第2页5．求220cos()aexd.（10分）6．22223()(22)(25)ssFsssss，求Laplace逆变换1(())LFs.（10分）第3页7．写出球形域的Dirichlets问题对应的：(1)Green函数及其定解问题.(2)Green函数相对于边界外侧的方向导数.（10分）8．设n(n=1,2,…)是0()0Jx的所有正根，将函数2()1(01)fxxx展开为Bessel函数0()nJx的级数.（10分）9．（1）写出Legendre多项式的一般形式或罗德利克表示形式；（2）将函数2()23,1fxxxx用Legendre多项式展开.（10分）第4页