2012矩阵论复习题

2012矩阵论复习题1.设RV是正实数集,对于任意的Vyx,,定义x与y的和为yxyx对于任意的数Rk,定义k与x的数乘为kxxk问:对于上述定义加法和数乘运算的集合V,是否构成线性空间,并说明理由.2.对任意的2,Ryx,),(21xxx,),(21yyy定义x与y的和为),(112211yxyxyxyx对于任意的数Rk,定义k与x的数乘为)2)1(,(2121xkkkxkxxk问:对于上述定义加法和数乘运算的集合2R,是否构成线性空间,并说明理由.3．设},022|),,{(321321RxxxxxxxSi，试证明S是3R的子空间，并求S的一组基和Sdim.4.设)(RPn表示次数不超过n的全体多项式构成的线性空间,)}()(,0)0(|)({RPxffxfSn证明S是)(RPn的子空间,并写出S的一组基和计算Sdim.5.设T是2R上的线性变换,对于基向量i和j有jiiT)(jijT2)(1)确定T在基},{ji下的矩阵;2)若jie1jie32,确定T在基},{21ee下的矩阵.6.设T是3R上的线性变换,对于基},,{kji有kjkjiT)(ikjT)(kjikT532)(1)确定T在基},,{kji下的矩阵;2)求T的零空间和像空间的维数.7.在线性空间)(3RP中321)(xxxaxf3221)(xxaxxf32321)(xxxxf讨论)(),(),(321xfxfxf的线性相关性.8.在22R中求由基(I)12101A20122A32112A41312A到基(II)11210B21111B31211B41101B的过渡矩阵.9.已知1(1,2,1,0)2(2,1,0,1)1(1,1,1,1)2(1,1,3,7)设1212(,)(,)VLL,求线性空间V的维数和基.10.在)(2RP中,对任意的)()(),(2RPxgxf定义内积为10)()())(),((dxxgxfxgxf若取)(2RP的一组基},,1{2xx,试用SchmidtGram正交化方法,求)(2RP的一组标准正交基.11.在2[]Px中，内积定义为：120,()(),,[].fgfxgxdxfgPx（1）如果612xxxf，计算f；（2）证明：任一线性多项式bxaxg，都正交于612xxxf.12.设A是nnC上的n阶方阵,x是nC上的n维列向量,证明：22||||||||||||FAxAx.13.设nnCA,并且满足EAAH,计算2||||A和FA||||.14.设101202011A，求A的秩分解.15.已知122112012422A，求A的最大秩分解。16.求矩阵10002iAi的奇异值分解.17.设mnAC，1）证明：()()HrankAArankA;2)证明：HAA是半正定矩阵或正定矩阵。18.求下列矩阵的谱阵和谱分解400031013A332112310A19.设s,,,21是n阶单纯矩阵A的重数为srrr,,,21的特征值,siinr1iE是A的对应于i的谱阵,证明1)0jiEE,(ji),,2,1,sji2)siiEE120.设函数矩阵ttttAcossinsincos,求)(tAdtd,))((dettAdtd和))(det(tAdtd.21.证明1))()()())((111tAtAdtdtAtAdtd2)AeAeedtdAtAtAt22.已知73487612iA,845x,求111||||,||||,||||,||||,||||,||||xxAxAxAA23.设a||||是nnC的一种矩阵范数,B和D是n阶可逆矩阵,且,1||||1aB1||||1aD,证明对任意的nnCA，abBADA||||||||也是nnC的一种矩阵范数.24.已知a||||是nnC上的矩阵范数，0y是nC中的某非零列向量，nxC设0||||||||Haxxy证明它是nC上的向量范数，并且与矩阵范数a||||相容。25.设nnCA,B和D是酉矩阵,证明:FFFFBADADBAA||||||||||||||||26.设nnCA，k为正整数，证明：kkAA.27.设nnCA，且是Hermite矩阵，证明：2AA.28.已知00aaA,aaaaBcossinsincos其中Ra且0a,证明:BeA.29.已知33iiA,1)证明A是Hermite矩阵;2)求方阵函数Acos.30.已知2000310020111001A，1)求A的Jordan标准形J;2)求可逆矩阵P,使JAPP1.31.已知111111012A，求50303AA.32.求矩阵210420210A的最小多项式.33.已知111111012A，判断矩阵级数03kkkkA是否收敛.34.已知3000130001300001A,求Asin和)sin(At.35.设A为n阶方阵,求证()det()AtrAee特别地当A为反对称矩阵时有det()1Ae36.设163053064A,求方阵函数Ae和cosAt.37.证明:线性方程组bAx(其中nmCAmCb)有解的充分必要条件是bbAA38.已知(1)112001110001A,(2)011iiiA,求A的广义逆矩阵A.39.设BCA是A的最大秩分解,证明:BCA40.求微分方程组32113xxxdtdx32125xxxdtdx32133xxxdtdx的通解及满足初始条件123(0)1(0)1(0)0xxx的特解.