公务员考试——数量关系公式

第1页数量关系基础知识一、数列1.等差数列：1)d-(n+a=a1nq)pn(maaaaqpnmd2)1n(nna2)aa(nS1n1n中项求和公式①n为奇数时：21nnasn②n为偶数时：)a(as12n2n2nn2.等比数列：1-n1nqaa)qpnm(aaaaqpnm1q,q1qaaq-1)q-(1a1qnaSn1n11n，3.某些数列的前n项和①奇数项和：1+3+5+…+(2n-1)=n2【项数为时，奇数项和减偶数项和为数列中项】②偶数项和：2+4+6+…+(2n)=n(n+1)③平方数列求和：12+22+32+…+n2=61n(n+1)(2n+1)④立方数列求和：13+23+33+…+n3=41[n(n+1)]2二、数学基础公式1.乘法公式立方和：a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)立方差：a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)完全立方和/差：(a±b)³=a³±3a²b+3ab²±b³裂项公式：)1n(n1n1)1n(n1加权平均数：nfx+…+f+xfxkk2211调和平均数：n21x1x1x1n二项式定理：nnnrrnrn22n2n1n1nn0nnbCbaCbaCbaCaC)ba(二项展开式的通项公式：rrnrn1rbaCT)n210r(，，分期付款(按揭贷款)：每次还款1)b1()b1(abxnn元（贷款a元，n次还清，每期利率为b）2.几何公式①扇形：周长L=(nπr/180)+2r面积S=nπr2/360②圆柱：表面积S=2πrh+2πr2体积V=πr2h③球体：表面积S=4πr2体积V=34πr3④圆锥：表面积S=πr2+½πr2R【R为母线】体积V=⅓πr2h③正四面体：表面积232321aaa4S体积aahsV362433131底aaBFBO33233232aaBFOF632331313.几何问题其他结论：①所有表面积相等的立体图形中，球的体积最大，越接近球体，体积越大。②n条直线最多可以将平面分为1+½n(n+1)个区域。③n个圆相交最多可以有n(n-1)个交点。③一个正方形被分割成若干小正方形，除了不能分为2个、3个、5个，其他数量都可完成。第2页④满足勾股定理的三边有：【3,4,5】【5,12,13】【6,8,10】【7,24,25】【8,15,17】【9,12,15】⑤已知三角形最长边为n，三边均为整数，这样的三角形有多少个?n=2k-1时，为k2个三角形；n=2k时，为(k+1)k个三角形。⑥已知边长为a、b、c的长方体由边长为1的小立方体组成。则一共有abc个小立方体；内部看不见的立方有：(a-2)(b-2)(c-2)；露在外面的小立方体有：abc-(a-2)(b-2)(c-2)⑦欧拉定理：V＋F－E=2(简单多面体的顶点数V、棱数E和面数F)E=各面多边形边数和的一半。若每个面的边数为n的多边形，则面数F与棱数E的关系：Fn21E；若每个顶点引出的棱数为m，则顶点数V与棱数E的关系：Vm21E⑧立体涂色问题：一个边长为n的正方体，由n³个边长为1的小正方体构成。最外层涂色，则：3面被涂色的小正方体有8个2面被涂色的小正方体有(n-2)×12个1面被涂色的小正方体有(n-2)²×6个0面被涂色的小正方体有(n-2)³个总共被涂色的有n³－(n-2)³个三、数字特性1.倍数关系若a∶b=m∶n(m，n互质)，则a是m的倍数；b是n的倍数；a±b是m±n的倍数。若x=mny(m，n互质)，则x是m的倍数；y是n的倍数。2.两个数的最小公倍数与最大公约数的关系：最大公约数×最小公倍数=两数的积3.奇偶运算法则①加减规律：奇±奇=偶±偶=偶；奇±偶=奇；②乘法规律：奇×偶=偶×偶=偶；奇×奇=奇；【有奇为偶，无偶为奇】4.基本幂数周期①2n的尾数周期为4，分别为2，4，6，8…②3n的尾数周期为4，分别为3，9，7，1…③4n的尾数周期为2，分别为4，6…④5n，6n的尾数不变；⑤7n的尾数周期为4，分别为7，9，3，1…⑥8n的尾数周期为4，分别为8，4，2，6…⑦9n的尾数周期为2，分别为9，1…⑧nn(n≥10)的尾数为n末位的幂的尾数。4.整除判定法则①能被2、4、8、5、25、125整除的数的数字特性能被2(或5)整除的数，末一位数能被2(或5)整除；能被4(或25)整除的数，末两位数能被4(或25)整除；能被8(或125)整除的数，末三位数能被8(或125)整除；一个数被2(或5)除得的余数，就是其末一位数被2(或5)除得的余数；一个数被4(或25)除得的余数，就是其末两位数被4(或25)除得的余数；一个数被8(或125)除得的余数，就是其末三位数被8(或125)除得的余数。②能被3(或9)整除的数，各位数字和能被3(或9)整除；一个数被3(或9)除得的余数，就是其各位相加后被3(或9)除得的余数。③能被7整除的数，其末一位数的2倍与剩下数之差，能被7整除；其末三位数与剩下第3页数之差，能被7整除。如362，末一位的2倍为4，与剩下数36之差为32——不能被7整除如12047，末三位047与剩下数12之差为35——能被7整除③能被11整除的数，奇数位的和与偶数位的和之差，能被11整除。当且仅当其末三位数与剩下数之差，能被11整除。如7394，奇数位和7+9=16，偶数位和3+4=7，16-7=9——不能被11整除如15235，末三位235与剩下数15之差为220——能被11整除111④能被7(11或13)整除的数，其末三位数与剩下数之差，能被7(11或13)整除。将一个多位数从后往前三位一组分段，奇数段各三位数之和与偶数段各三位数之和的差能被7(11或13)整除。5.剩余定理①余同加余：一个数除以4余1，除以5余1，除以6余1，因为余数都是1，则取1，公倍数做周期，则这个数为60n+1②和同加和：一个数除以4余3，除以5余2，除以6余1，因为4+3=5+2=6+1，则取7，公倍数做周期，则这个数为60n+7③差同减差：一个数除以4余1，除以5余2，除以6余3，因为4-1=5-2=6-3，则取3，公倍数做周期，则这个数为60n-3【例题】：三位的自然数N满足：除以6余3，除以5余3，除以4也余3，则符合条件的自然数n有几个?A.8B.9C.15D.16【解析】4、5、6的最小公倍数是60，可以算出这个数为60n+3，已知的条件n是一个三位数，所以n可以取2到16的所有整数，共15个。6.余数定理定理1：两数的和除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数和（1）7÷3=…1，5÷3=…2，则（7+5）÷3的余数就等于1+2=3，所以余0（2）8÷3=…2，5÷3=…2，2+2=43，4÷3…1，则（8+5）÷3的余数就等于1【例题】有8个盒子分别装有17个、24个、29个、33个、35个、36个、38个和44个乒乓球，小赵取走一盒，其余的被小钱、小孙、小李取走，已知小钱和小孙取走的乒乓球个数相同，并且是小李取走的两倍，则小赵取走的各个盒子中的乒乓球最可能是（）。A.29个B.33个C.36个D.38个【解析】小钱和小孙都是小李的两倍，即小李是1份，小钱和小孙都是2份，三个人加起来是5份，也就是说三个人的和是5的倍数。因此，小李+小钱+小孙=总数量-小赵=5的倍数，总数量与小赵关于5同余。用定理1计算总数量除以5的余数，17个、24个、29个、33个、35个、36个、38个、44个除分别余2、余4、余4、余3、余0、余1、余3、余4。2+4+4+3+0+1+3+4=21÷5=4…1，总数量除以5余1，因此小赵除以5也余1。选C定理2：两数的积除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数积（1）7÷3余1，5÷3余2，则（7×5）÷3的余数就等于1×2=2，所以余2（2）8÷3=…2，5÷3=…2，2+2=43，4÷3…1，则（8×5）÷3的余数就等于1【例题】有一条长1773mm的钢管，把它锯成长度分别为41mm和19mm两种规格的小钢管，结果恰好用完，则可能锯成41mm的钢管（）段。A.20B.31C.40D.52【解析】设长度为41mm的钢管x段，19mm的钢管y段，可列方程41x+19y=1773，19y显然能被19整除，而1773÷19=93…6，因此41x÷19一定也余6，又41÷19余第4页3，根据定理2，x÷19只能余2，选项中只有C选项满足此条件，应选C数量关系经典题型一、日期问题1.每个世纪前99年，能被4整除的是闰年；每个世纪最后一年，能被400整除的是闰年。2.平年有52个星期零1天，一年后的这一天星期数变化加1；闰年有52个星期零二天。3.月历分析：七月前单月为大月，双月为小月【1，3，5，7，8，10，12】八月后单月为小月，双月为大月【4，6，9，11】①每月1，2，3日对应的星期数可能出现5次。②大月当月1，2，3日对应的星期数出现5次；小月当月1，2日对应的星期数出现5次；闰年2月有29天，当月1日对应的星期出现5次。二、年龄问题：利用年龄差不变，可列方程求解。三、植树问题1.不封闭路线①两端植树：颗树=全长/间距－1②两端不植树：颗数=全长/间距－12.封闭路线：颗数=全长/间距四、方阵问题1.从内向外：每层人数依次增加8每层总人数=每边人数×4－42.空心方阵总人数=层数×中间层人数=每边最外层人数2－(最内层每边人数－2)2五、钟表问题1.分针每分钟走360°÷60=6°，时钟每分钟走60°÷60=0.5°，每分钟两者角度差为5.5°2.时针每分钟走5/60=1/12格，时针每分钟走1格，每分钟两者路程差为11/12格。3.分针追击时针问题：追及时间=在初始时刻需追赶的格数÷(1－1/12)时针速度是分钟的1/12，分钟每走60÷（1－1/12）=11565（分）与时钟重合一次。3.坏钟问题：坏钟每小时比标准时间快n分钟，则坏钟/标准时间=(60+n)/60。当坏钟显示过了x分钟，标准时间相当于过了60x/(60+n)分钟。4.时针成角度问题①把12点方向作为角的始边，把两指针在某一时刻时针所指方向作为角的终边，则m时n分这个时刻时针所成的角为30（m+n/60）度，分针所成的角为6n度，而这两个角度的差即为两指针的夹角。用α表示此时两指针夹的度数，则α=30（m+n/60）-6n则α=|30(m+n/60)-6n|=|30m-5.5n|。【例如】求5时40分两指针所夹的角。【解析】把m=5，n=40代入上式，得α=|150-220|=70°②此公式也可计算何时两指针重合问题和两指针成任意角问题。时针与分针一昼夜重合22次，垂直44次，成180°也是22次。【例如】求3时多少分两指针重合。【解析】把α=0，m=3代入公式得：0=|30×3-5.5n|，解得n=180/11，即3时180/11分时两针重合。六、浓度问题1.基本公式：m溶液=m溶质+m溶剂c=m溶质/m溶液2.等溶质递减溶剂问题公式：31312cccc2c〔ci为第i次的溶液浓度，i=1，2，3…〕3.溶液混合普通问题m1c1+m2c2=(m1+m2+)c混〔m为溶液质量，c为溶液浓度〕第5页①有某溶液质量为m，每次先倒出该溶液m0，再倒入清水m0，经过n次操作后，溶液浓度由c0变为cn。则cn=c0[(m-m0)/m]n②有某溶液质量为m，每次先倒入清水m0，再倒出该溶液m0，经过n次操作后，溶液浓度由c0变为cn。则cn=c0[m/(m+m0)]n【例题】从装满1000克浓度为50%的酒精瓶中倒出200克酒精，再倒入纯酒精将瓶加满。这样反复三次后，瓶中的酒精浓度是多少？【解析】将题中酒精视为溶剂，清水视为溶质，则杯中原有清水浓度为1-50%=50%，根据多次混合公式，可得到多次混合之后清水的浓度为50%[(1000-200)/1000]3=25.6%，所以多次混合后酒精的浓度为1-25.6%=74.