2013年高考文科数学全国新课标卷2试题与答案

12013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(全国卷II新课标)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．)已知集合M＝{x|－3＜x＜1}，N＝{－3，－2，－1,0,1}，则M∩N＝()．A．{－2，－1,0,1}B．{－3，－2，－1,0}C．{－2，－1,0}D．．{－3，－2，－1}2．21i＝()．A．22B．2C．2D．．13．设x，y满足约束条件10,10,3,xyxyx则z＝2x－3y的最小值是()．A．－7B．－6C．－5D．－34．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2，π6B，π4C，则△ABC的面积为()．A．23+2B．3+1C．232D．315．设椭圆C：2222=1xyab(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为()．A．36B．13C．12D．336．已知sin2α＝23，则2πcos4＝()．A．16B．13C．12D．237．执行下面的程序框图，如果输入的N＝4，那么输出的S＝()．A．1111+234B．1111+232432C．11111+2345D．11111+23243254328．设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则()．A．a＞c＞bB．b＞c＞aC．c＞b＞aD．c＞a＞b9．一个四面体的顶点在空间直角坐标系O－xyz中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为()．10．设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点．若|AF|＝3|BF|，则l的方程为()．A．y＝x－1或y＝－x＋1B．y＝3(1)3x或y＝3(1)3xC．y＝3(1)3x或y＝3(1)3xD．y＝2(1)2x或y＝2(1)2x211．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是()．A．∃x0∈R，f(x0)＝0B．函数y＝f(x)的图像是中心对称图形C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)单调递减D．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝012．若存在正数x使2x(x－a)＜1成立，则a的取值范围是()．A．(－∞，＋∞)B．(－2，＋∞)C．(0，＋∞)D．(－1，＋∞)第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是__________．14．已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则AEBD＝__________.15．已知正四棱锥O－ABCD的体积为322，底面边长为3，则以O为球心，OA为半径的球的表面积为__________．16．函数y＝cos(2x＋φ)(－π≤φ＜π)的图像向右平移π2个单位后，与函数y＝πsin23x的图像重合，则φ＝__________.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)已知等差数列{an}的公差不为零，a1＝25，且a1，a11，a13成等比数列．(1)求{an}的通项公式；(2)求a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.18．(本小题满分12分)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点．(1)证明：BC平行面CDA1(2)设,22,21ABCBACAA求三棱锥DEAC1的体积319．(本小题满分12分)经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品．以X(单位：t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．(1)将T表示为X的函数；(2)根据直方图估计利润T不少于57000元的概率．20．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为22在y轴上截得线段长为23.(1)求圆心P的轨迹方程；(2)若P点到直线y＝x的距离为22，求圆P的方程．21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2e－x.(1)求f(x)的极小值和极大值；(2)当曲线y＝f(x)的切线l的斜率为负数时，求l在x轴上截距的取值范围．422．(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC·AE＝DC·AF，B，E，F，C四点共圆．23．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程已知动点P，Q都在曲线C：2cos,2sinxtyt(t为参数)上，对应参数分别为t＝α与t＝2α(0＜α＜2π)，M为PQ的中点．(1)求M的轨迹的参数方程；(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．24．)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1.证明：(1)ab＋bc＋ca≤13；(2)222abcbca≥1.52013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(全国卷II新课标)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．答案：C解析：由题意可得，M∩N＝{－2，－1,0}．故选C.2．答案：C解析：∵21i＝1－i，∴21i＝|1－i|＝2.3．答案：B解析：如图所示，约束条件所表示的区域为图中的阴影部分，而目标函数可化为233zyx，先画出l0：y＝23x，当z最小时，直线在y轴上的截距最大，故最优点为图中的点C，由3,10,xxy可得C(3,4)，代入目标函数得，zmin＝2×3－3×4＝－6.4．答案：B解析：A＝π－(B＋C)＝ππ7ππ6412，由正弦定理得sinsinabAB，则7π2sinsin1262πsinsin6bAaB，∴S△ABC＝112sin2(62)31222abC.5．答案：D解析：如图所示，在Rt△PF1F2中，|F1F2|＝2c，设|PF2|＝x，则|PF1|＝2x，由tan30°＝212||3||23PFxFFc，得233xc.而由椭圆定义得，|PF1|＋|PF2|＝2a＝3x，∴332axc，∴333cceac.6．答案：A解析：由半角公式可得，2πcos46＝π21cos211sin21232226.7．答案：B解析：由程序框图依次可得，输入N＝4，T＝1，S＝1，k＝2；12T，11+2S，k＝3；132T，S＝111+232，k＝4；1432T，1111232432S，k＝5；输出1111232432S.8．答案：D解析：∵log25＞log23＞1，∴log23＞1＞21log3＞21log5＞0，即log23＞1＞log32＞log52＞0，∴c＞a＞b.9．答案：A解析：如图所示，该四面体在空间直角坐标系O－xyz的图像为下图：则它在平面zOx的投影即正视图为，故选A.10．答案：C解析：由题意可得抛物线焦点F(1,0)，准线方程为x＝－1.当直线l的斜率大于0时，如图所示，过A，B两点分别向准线x＝－1作垂线，垂足分别为M，N，则由抛物线定义可得，|AM|＝|AF|，|BN|＝|BF|.设|AM|＝|AF|＝3t(t＞0)，|BN|＝|BF|＝t，|BK|＝x，而|GF|＝2，在△AMK中，由||||||||NBBKAMAK，得34txtxt，解得x＝2t，则cos∠NBK＝||1||2NBtBKx，∴∠NBK＝60°，则∠GFK＝60°，即直线AB的倾斜角为60°.∴斜率k＝tan60°＝3，故直线方程为y＝3(1)x－．当直线l的斜率小于0时，如图所示，同理可得直线方程为y＝3(1)x－，故选C.711．答案：C解析：若x0是f(x)的极小值点，则y＝f(x)的图像大致如下图所示，则在(－∞，x0)上不单调，故C不正确．12．答案：D解析：由题意可得，12xax(x＞0)．令f(x)＝12xx，该函数在(0，＋∞)上为增函数，可知f(x)的值域为(－1，＋∞)，故a＞－1时，存在正数x使原不等式成立．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题～第24题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．答案：0.2解析：该事件基本事件空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)}共有10个，记A＝“其和为5”＝{(1,4)，(2,3)}有2个，∴P(A)＝210＝0.2.14．答案：2解析：以,ABAD为基底，则0ABAD，而12AEABAD，BDADAB，∴1()()2AEBDABADADAB22221122222ABAD.15．答案：24π解析：如图所示，在正四棱锥O－ABCD中，VO－ABCD＝13×S正方形ABCD·|OO1|＝13×2(3)×|OO1|＝322，8∴|OO1|＝322，|AO1|＝62，在Rt△OO1A中，OA＝2211||||OOAO＝22326622，即6R，∴S球＝4πR2＝24π.16．答案：5π6解析：y＝cos(2x＋φ)向右平移π2个单位得，πcos22yx＝cos(2x－π＋φ)＝ππsin2π++=sin222xx，而它与函数πsin23yx的图像重合，令2x＋φ－π2＝2x＋π3＋2kπ，k∈Z，得5π+2π6k，k∈Z.又－π≤φ＜π，∴5π6.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．解：(1)设{an}的公差为d.由题意，211a＝a1a13，即(a1＋10d)2＝a1(a1＋12d)．于是d(2a1＋25d)＝0.又a1＝25，所以d＝0(舍去)，d＝－2.故an＝－2n＋27.(2)令Sn＝a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.由(1)知a3n－2＝－6n＋31，故{a3n－2}是首项为25，公差为－6的等差数列．从而Sn＝2n(a1＋a3n－2)＝2n(－6n＋56)＝－3n2＋28n.18．(1)证明：BC1∥平面A1CD；(2)设AA1＝AC＝CB＝2，AB＝22，求三棱锥C－A1DE的体积．解：(1)连结AC1交A1C于点F，则F为AC1中点．又D是AB中点，连结DF，则BC1∥DF.因为DF⊂平面A1CD，BC1平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.(2)因为ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥CD.由已知AC＝CB，D为AB的中点，所以CD⊥AB.又AA1∩AB＝A，于是CD⊥平面ABB1A1.由AA1＝AC＝CB＝2，22AB得∠ACB＝90°，2CD，16AD，3DE，A1E＝3，故A1D2＋DE2＝A1E2，即DE⊥A1D.所以VC－A1DE＝1163232＝1.19．解：(1)当X∈[100,130)时，T＝500X－300(130－X)＝800X－39000.当X∈[130,150]时，T＝500×130＝65000.9所以80039000,100130,65000,13