弹性力学-平面应力-平面应变问题

第二章平面问题的基本理论§2-2弹性力学的基本方程§2-3平面应变和平面应力问题§2-1弹性力学基本概念因此，在材料确定的情况下，基本的力学变量应该有：位移（u）、应变（ε）、应力（σ）量回顾§2-1弹性力学基本概念位移应变应力弹性模量物体的材料性能物体的受力状态物体的变形程度物体变形后的形状dydxdz弹性力学目的：对弹性体中的位移、应力、应变进行定义和表达，进而建立平衡方程、几何方程和材料物理方程研究的基本技巧采用微小体积元dxdydz的分析方法（针对任意变形体）回顾弹性体的基本假设为突出所处理的问题的实质，并使问题简单化和抽象化，在弹性力学中，特提出以下几个基本假定。(1)物质连续性假定：物质无空隙，可用连续函数来描述；(2)物质均匀性假定：物体内各个位置的物质具有相同特性；(3)物质(力学)特性各向同性假定：物体内同一位置的物质在各个方向上具有相同特性；(4)线性弹性假定：物体的变形与外来作用力的关系是线性的，外力去除后，物体可恢复原状；(5)小变形假定：物体变形远小于物体的几何尺寸。以上基本假定将作为问题简化的出发点。回顾a’bb’aa’dd’cc’xyxyyxyxyzyzzyzyzxzxxzxz回顾§2-2弹性力学基本方程由力平衡条件0X有0Xdxdydzdxdydxdydzzdxdzdxdzdyydydzdydzdxxzxzxzxyxyxyxxxx化简得到0Xzyxzxyxx0Y0Yzyxzyyxy0Z0Zzyxzyzxz1.平衡微分方程回顾平衡微分方程的矩阵形式为0bσ其中，是微分算子xyzzxyzyx000000000式中，b是体积力向量，T][ZYXb回顾二维问题：平衡微分方程0Xyxyxx0Yyxyxy回顾2.几何方程：位移-应变的关系B1A1θ1θ2回顾xuxyuxvxyyvyzvywyzzwzxwzuzx六个应变分量与三个位移分量间的全部关系式：回顾2.几何方程：位移-应变的关系几何方程式的矩阵形式为uεt为微分算子t其中的转置T000000000xzyzxyzyxt回顾由简单的轴向拉伸试验可知，在单向应力状态下，处于弹性阶段时，应力应变呈线性关系，即σx=Eεx这就是虎克定律。弹塑性范围斜率,E弹性范围应力Y应变3.物理方程：应力-应变的关系（Hooke‘sLaw）工程上，一般将应变与应力间的关系表示为zyxxE1xzyyE1yxzzE1xyxyG1yzyzG1zxzxG1称它们为物理方程（广义虎克定律）。zyxxE112111zyxyE112111zyxzE112111xyxyE12yzyzE12zxzxE12若令TzxyzxyzyxTzxyzxyzyx代表应变列阵和应力列阵，则应力-应变关系可写成矩阵形式D其中1221000001221000012210001111112111称对ED称为弹性矩阵，由弹性常数E和μ决定。回顾4.应力边界条件弹性体在应力边界上单位面积的面力为、、。设边界外法线的方向余弦为，则边界上弹性体的应力边界条件可表示为XYZtzyxnnn、、zzzyyzxxyzzyyyxxxzzxyyxxnnnZnnnYnnnX其矩阵表达式为nσt(在上)t其中，面积力向量，方向余弦矩阵为T][ZYXtxyzzxyzyxnn0n000nn0n0n0n00nn5.位移边界条件回顾已知位移边界上弹性体的位移为，则有uwvu、、uuvvwwu(在上)用矩阵形式表示为：uuu(在上)弹性力学基本方程的一般形式为平衡微分方程(在内)几何方程(在内)物理方程(在内)边界条件(在上)(在上)其中，为弹性体的完整边界。0bσuεtDεσtnσuutuut小结回顾任何构件都占有三维空间，在载荷或温度变化等的作用下，物体内产生的应力、应变和位移必然是三向的。一般说来，它们都是三个坐标x、y、z的函数。这样的问题称为弹性力学空间问题。§2-3平面应变和平面应力问题当构件形状有某些特点，并且受到特殊的分布外力作用或温度变化影响，某些空间问题可以简化为弹性力学的平面问题。这些问题中的应力、应变和位移仅为两个坐标（如x、y）的函数。平面问题可以进而分为平面应变问题和平面应力问题两大类。平面应变问题设一构件（如图），其纵向（z）尺寸远大于横向（x，y）尺寸，且与纵轴垂直的各截面都相同；受到垂直于纵轴但不沿长度变化的外力（包括体积力X、Y，同时有Z=0）的作用，而且约束条件也不沿长度变化。这时，可以把构件在纵向作为无限长看待。因此，任一横截面都可以视为对称面，其上各点就不会产生沿z向的位移，而沿x、y方向的位移也与坐标z无关。则有u=u(x,y),v=v(x,y),w=0显然，在这种条件下构件所有横截面上对应点（x、y坐标相同）的应力、应变和位移是相同的。这样，我们只需从构件中沿纵向截出单位厚度的薄片进行分析，用以代替整个构件的研究。平面应变问题对于具有以下特征的构件，可作为平面应变问题看待：(1)构件纵向(如z轴方向)的尺寸远大于横向(x，y轴方向)尺寸；(2)与纵向(z轴)垂直的各横截面的尺寸和形状均相同；(3)所有外力均与纵轴(z轴)垂直，并且沿纵轴(z轴)没有变化；(4)物体的约束(支承)条件不随z轴变化。平面应变问题在工程和机械中，许多结构或构件属于这一类问题。如直的堤坝和隧道；圆柱形长管受到内水（油）压力作用；圆柱形长辊轴受到垂直于纵轴的均匀压力等，均可近似的视为平面应变问题。yyzzooxxyyoo还有一种情况，当构件的纵向尺寸不很大但两端面被刚性光滑面固定，不能发生纵向位移时，若其他条件与上面所述相同，也属于平面应变问题。通常，只要是长的等直柱体或板，受到垂直于其纵轴而且沿长度方向无变化的载荷作用时，都可以简化为平面应变问题。下面是这种情况下的应力、应变以及弹性力学的基本方程式。平面应变问题yxuu,),(yxvv0w位移：按平面应变的定义，三个方向的位移函数是0,00,,,,,321xwzuzwywzvyxyvyxxvyuyxxuzxzyzyxyx应变：由几何方程应变-位移关系，得不等于零的三个应变分量是εx、εy和γxy，而且应变仅发生在与坐标面xoy平行的平面内。平面应变问题将，代入物理方程0yz0zxyzyzE12zxzxE120yz0zx得yxzzE1将代入物理方程0z得yxz在z轴方向没有应变，但其应力σz并不为零。平面应变问题将yxz代入物理方程zyxxE1xzyyE1得xyxyxyxyyyxxEGEE1211111平面应变问题应力：如果用应变分量来表示应力分量，则有xyxyxyyxyyxxEEEE)1(221)21)(1()1()1(21)21)(1()1(1)21)(1()1(由上面的分析可知，独立的应力分量只有σx、σy和xy三个。平面应变问题对于具有如下特征的构件，可作为平面应力问题处理。(1)物体沿一个坐标方向的尺寸(如沿z轴方向)远小于沿其它两个方向的尺寸，如图所示的等厚度薄板；(2)外力作用在周边上，并与xoy面平行，板的侧面没有外力，体积力垂直于z轴；(3)由于板的厚度很小，故外载荷面积力和体积力都可看作是沿z轴方向均匀分布，并且为常量。平面应力问题22yyxzoohhh体积力沿板厚不变，且沿z轴方向的分力Z=0。在板的前后表面上没有外力作用。即0z0zx0zy2hz时在平面应力问题中，认为等于零，但沿z轴的应变不等于零。这与平面应变的情况刚好相反。将代入物理方程，有0zzyxzzE1yxzE由于认为板内，将其代入物理方程0zx0zyyzyzG1zxzxG1，则有0yz0zx平面应力问题于是，物理方程的另外三式成为121)(1)(1xyxyxyxyyyxxτEμGEE如果用应变分量来表示应力分量，上面三式变为xyxyxyxyyxyyxxEEGEE211)12)(1)(1222（xyxyxyyxyyxxEEEE)1(221)21)(1()1()1(21)21)(1()1(1)21)(1()1(xyxyxyxyyxyyxxEEGEE211)12)(1)(1222（平面应变和平面应力问题物理方程比较：平面应力平面应变DTxyyxTxyyx这里，分别为应力矩阵、应变矩阵。矩阵[D]称为弹性矩阵。如果用和分别代换平面应力物理方程各式中的E和μ，就得到平面应变物理方程。因此，我们可以将两类平面问题的物理方程写成统一的格式，用矩阵方程表示为21E1对于平面应力问题，弹性矩阵为21001112称对ED对于平面应变问题的弹性矩阵，只须在上式中，以代E，代μ即可。21E1小结小结平面应变和平面应力两种平面问题的平衡微分方程、几何方程和物理方程可写成以下统一形式：平衡微分方程：几何方程：00YyxXyxyyxxyxyxxyyxxvyuyvxu物理方程：D对于平面应力和平面应变问题来说，只须在弹性矩阵中，以代E，代μ即可。21E1平面问题的解法?弹性力学平面问题有两个平衡微分方程，三个几何方程，三个物理方程。共有八个方程，其中含有三个应力分量，三个应变分量，两个位移分量u和v，共八个未知函数。从数学的观点来看，有足够的方程来求解这些未知函数，问题是可解的。我们要求出八个未知函数，使其满足八个方程，同时还必须满足全部（应力及位移）的边界条件。采用两种基本方法：一是位移法；另一种是应力法。