2010高考数学考前提醒82个问题(五)

高考数学考前提醒的82个问题78.解选择题要注意什么?①选择题中的题干,选项和四选一的要求都是题目给出的信息,要充分利用.②在解选择题时,除了用直接计算方法之外,还可以用逆向化策略，特殊化策略,图形化策略,极限化策略,整体化策略等方法和策略.一.逆向化策略在解选择题时,四个选项以及四个选项中只有一个是符合题目要求的是重要的信息,逆向化策略是把四个选项作为首先考虑的信息.解题时，要“盯住选项”，着重通过对选项的分析，考查，验证，推断进行否定或肯定，或者根据选项之间的关系进行逻辑分析和筛选，找到所要选择的，符合题目要求的选项。逆向化策略与直接求解策略的解题方向相反，是充分利用题目中的选项信息进行解题的一种策略，但是在解题时，逆向化策略常常与其他解题策略结合起来使用。【例1】（2005年，天津卷）设)(1xf是函数)1()(21)(aaaxfxx的反函数，则使1)(1xf成立的x的取值范围为（）.（A）),21(2aa（B）)21,(2aa（C）),21(2aaa（D）),[a【分析及解】因为1)(1xf,所以11ffxf,即1fx,这时并不需要计算,观察四个选项的特点,可以发现,只有(A)是x大于某个数的形式,而(B),(C),(D)都不是x大于某个数的形式,因此选(A).【例2】点P从O点出发,按逆时针方向沿周长为l的图形运动一周,PO,两点的距离为y与点P走过的路程x的函数关系如右图,那么点P所运动的图形是().(A)(B)(C)(D)【分析及解】对于（A），考虑点P在OT上运动时，应为yx，其图象是一条线段，而已知图象中没有线段，所以否定（A）；对于（B），同理，应有一段的图象一条线段，而已知图象中没有线段，所以否定（B）；对于（D）当点P从O点出发，沿椭圆圆周运动时，走到半个周长时，根据已知图象，应达到OP的最大值，而从椭圆圆周上的点P运动情况看，此时并不是OP最大，所以否定（D）；由以上，否定（A），（B），（D），因而选（C）.xyl2lORPTOPOPOPSRTO为什么选(C),也可以直接推导.如图,设OQP,OPx,,OPy圆的半径为r.则,2sin2sin22xxyrrrr,因此,点P从O点出发，沿圆周运动时,OPy与x的关系为正弦函数关系,符合题设的图象,故选(C).xPQCO【例3】如果凸n边形4nF所有对角线都相等,则().(A)F{四边形}(B)F{五边形}(C)F{四边形}{五边形}(D)F{边相等的多边形}{角相等的多边形}【分析及解】本题直接求“所有对角线都相等的凸n边形4nF”，不容易思考，因此可以从选项入手，通过对选项的分析，找出答案.首先对四个选项进行逻辑分析.显然,如果F{四边形}正确,那么F{四边形}{五边形}也正确,即选(A)必选(C),同样,如果F{五边形}正确,那么F{四边形}{五边形}也正确,即选(B)必选(C),所以(A),(B)都不正确.所以只需研究(C),(D).对于（D）可以联想到等腰梯形，等腰梯形的对角线都相等，但是，等腰梯形既不是边相等的多边形，也不是角相等的多边形，有这一反例可知，（D）不正确.于是只能选(C).二.特殊化策略在求解数学问题时，如果要证明一个问题是正确的，就要证明该问题在所有可能的情况下都正确，但是要否定一个问题，则只要举出一个反例就够了，基于这一原理，在解选择题时，可以通过取一些特殊数值，特殊点，特殊函数，特殊数列，特殊图形，特殊位置等对选项进行验证，从而可以否定和排除不符合题目要求的选项，再根据4个选项中只有一个选项符合题目要求这一信息，就可以间接地得到符合题目要求的选项，这是一种解选择题的特殊化策略.【例1】（2006年，天津卷，理7）已知数列,nnab都是公差为1的等差数列,其首项分别为11,ab,且115ab,11,abN,设nnbcanN,则数列nc的前10项和等于().(A)55(B)70(C)85(D)100【分析及解】用特殊化策略.设11,b则114.baa从而nbn,于是有111413.nnbbncaabnn121012103085.ccc【例2】(2001年全国卷)若定义在区间0,1内的函数)1(log)(2xxfa满足,0xf则a的取值范围是().（A）21,0(B)21,0(C),21(D),0【分析及解】取特殊的底,特殊的真数进行排除.由于对数的底21a,则12a,由此排除(B),(D);取11,1,02ax,则211log11022f,不合0xf的要求,由此排除(C),因而选(A).【例3】（2005年，辽宁卷）已知)(xfy是定义在R上的单调函数，实数12,1xx,12,1xxa21,1xx若|)()(||)()(|21ffxfxf，则（）（A）0(B)0(C)10(D)1【分析及解】因为没有给出具体的函数)(xfy,所以不能直接计算,可以选取一个符合题目要求的特殊的单调函数,例如设fxx,则有121221121111xxxxxxxx,即11,解得0,因而选(A).【例4】(1993年,全国卷)在各项均为正数的等比数列na中,若965aa,则1032313logloglogaaa().（A）12(B)10(C)8(D)5log23【分析及解】本题的直接解法并不难,而且有多种解法.但是对于这道选择题,构造一个特殊的数列会更简单.考虑到四个选项的值都是唯一的,并且只有一个是正确的,所以可以构造一个符合题目要求的特殊数列.由于na是各项均为正数的等比数列,且965aa,可以构造一个常数列:3,3,,3,,此时,原式310log310,因此选(B).【例5】若点),(00yx满足,4020xy就叫作点),(00yx在抛物线xy42的内部,如果点),(00yx在抛物线xy42的内部,则直线)(200xxyy与抛物线xy42().（A）有一个公共点(B)至少有一个公共点(C)恰有两个公共点(D)无公共点【分析及解】本题的直接解法,需要联立方程组,消去x,得到关于y的二次方程,再研究判别式,而间接解法则只要选取在抛物线xy42的内部的一个特殊点即可.取),(00yx1,0,显然,1,0在抛物线xy42的内部,此时,相应的直线为1x与抛物线xy42没有公共点,从而排除(A),(B),(C),而选(D).【例6】若动点QP,在椭圆14416922yx上,且满足PQH,0,0PQOHOQOP,则OH().（A）326(B)435(C)522(D)154【分析及解】若动点QP,在椭圆上在满足条件的情况下任意选取,则加大了运算量,可以选择满足条件的特殊的QP,,例如设P为椭圆长轴上的一个端点,Q为椭圆短轴上的一个端点,显然满足0,OPOQ在OPQ中作OHPQ于H,则OH为直角OPQ斜边上的高,由4,3,5OPOQPQ,得OH345522,从而，排除（A），（B），（D），选（C）.【例7】)(xf是定义在),(上的偶函数且在,0上是减函数,则使函数)1(2xf为增函数的区间是().（A）1,1(B),11,和(C)1,01,和(D),10,1和【分析及解】本题如果直接求解,由于涉及到复合函数的单调性,比较难于思考,选取一个符合题目要求的特殊函数可以把抽象问题具体化.设2fxx,则2fxx是定义在),(上的偶函数且在,0上是减函数,)1(2xf2224112xxxx,对x求导,有344xxx,若)1(2xf=x为增函数,则3440xxx,解得1,x或01x,因此,函数)1(2xf为增函数的区间是1,01,和,故选(C).三.图形化策略图形化策略是以数形结合的数学思想为指导的一个解题策略，在选择题中，常常遇到下面一些问题可以借助图形分析帮助解决.（1）求方程解的个数，可以画出方程两边的函数的图象，通过观察图象的交点的个数来研究方程解的个数；（2）求参数的范围，可以研究所求参数的几何意义以及这些几何意义的变化状态，通过几何意义的变化状态反映出参数的范围；（3）求最值，通过研究与最值有关的几何图形或图象的极端位置得到最值；（4）解不等式，可以研究不等式两边的函数图象的相互位置关系，寻找符合不等要求的x的取值范围；（5）求值，可以构造与所求值的几何意义有关图形，通过计算图形的有关数据，得到所需要的值.图形化策略是依靠图形的直观进行选择的,用这种策略解题比直接计算求解,更能抓住问题的实质,简捷迅速地得到结果.【例1】（2005年，全国卷Ⅰ，理4）已知直线l过点（－2，0），当直线l与圆xyx222有两个交点时，其斜率k的取值范围是（A）)22,22((B))2,2((C)22,44(D)11,88【分析及解】过点2,0P的直线与圆相交的极端位置是切线的位置,画出直线与圆,如图,,PAPB为切线,,,AB为切点..可以求出22PBPA,12tan422PBkBPC,于是2244k,故选(C).221OCBAPyx【例2】（2005年，上海卷，理16）设定义域为R的函数1,01||,1|lg|)(xxxxf，则关于x的方程0)()(2cxbfxf有7个不同实数解的充要条件是().（A）0b且0c(B)0b且0c(C)0b且0c(D)0b且0c【分析及解】画出函数xf的图像,该图像关于1x对称,且0xf,令txf,若0)()(2cxbfxf有7个不同实数解,则方程02cbtt有2个不同实数解,且为一正根,一零根.因此,0b且0c,故选(C).四.极限化策略有一些选择题中,有一些任意选取或者变化的元素,我们对这些元素的变化趋势进行研究,分析它们的极限情况或者极端位置,并进行估算,以此来判断选择的结果.这种通过动态变化,或对极端去值来解选择题的策略是一种极限化策略.【例1】三棱锥BCDA的6条棱中，其中5条棱的长都是2，则第6条棱长的取值范围是（）.【分析及解】设第6条棱为AC，则此三棱锥可以看作是以BD为公共边的两个边长为2的等边三角形,ABDCBD沿BD边折叠，考虑AC的极限情形.当AC时,0AC;当A平面BDC时,两个三角形拼成一个菱形(如图),23AC.因此,AC的取值范围是），（320.DCBADCBA【例2】在正n棱锥中,相邻两側面所成的二面角的取值范围是().（A）,1nn(B),2nn(C)2,0(D)nnnn1,2【分析及解】设正n棱锥的顶点为P,底面为,高为,h相邻两側面所成的二面角为.考虑顶点P的两个极限情形.当顶点P底面时,正n棱锥底面正n边形,这时,相邻两側面所成的二面角平面,即;当顶点P时,正n棱锥正n棱柱,这时相邻两側面所成的二面角为正n边形的内角,即2nn.由以上,应排除(A),(C),(D),而选(B).五.整体化策略在解选择题时,有时并不需要把题目精解出来,而是从题目的整体去观察,分析和把握,通过整体反映的性质或者对整体情况的估算,确定具体问题的结果,例如,对函数问题,有时只需要研究它的定义域,值域,而不一定关心它的解析示式,对函数图象,有时可以从它的