2011-2012学年高中数学第1章数列习题课同步教学案北师大版必修5

-1-习题课(2)课时目标1.能由简单的递推公式求出数列的通项公式；2.掌握数列求和的几种基本方法．1．等差数列的前n项和公式：Sn＝______________＝____________.2．等比数列前n项和公式：①当q＝1时，Sn＝________；②当q≠1时，Sn＝__________＝____________.3．数列{an}的前n项和Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，则an＝________________.4．拆项成差求和经常用到下列拆项公式：(1)1n(n＋1)＝____________；(2)1(2n－1)(2n＋1)＝__________________；(3)1n＋n＋1＝__________.一、选择题1．数列{an}的前n项和为Sn，若an＝1n(n＋1)，则S5等于()A．1B.56C.16D.1302．数列{an}的通项公式an＝1n＋n＋1，若前n项的和为10，则项数为()A．11B．99C．120D．1213．数列112，214，318，4116，…的前n项和为()A.12(n2＋n＋2)－12nB.12n(n＋1)＋1－12n－1C.12(n2－n＋2)－12nD.12n(n＋1)＋2(1－12n)4．已知数列{an}的通项an＝2n＋1，由bn＝a1＋a2＋a3＋…＋ann所确定的数列{bn}的前n项之和是()A．n(n＋2)B.12n(n＋4)C.12n(n＋5)D.12n(n＋7)5．已知Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1n，则S17＋S33＋S50等于()A．0B．1C．－1D．26．数列{an}满足a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1是首项为1，公比为2的等比数列，那么an等于()A．2n－1B．2n－1－1C．2n＋1D．4n－1-2-二、填空题7．一个数列{an}，其中a1＝3，a2＝6，an＋2＝an＋1－an，那么这个数列的第5项是________．8．在数列{an}中，an＋1＝2an2＋an，对所有正整数n都成立，且a1＝2，则an＝______.9．在100内所有能被3整除但不能被7整除的正整数之和是________．10．数列{an}中，Sn是其前n项和，若a1＝1，an＋1＝13Sn(n≥1)，则an＝____________.三、解答题11．已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前n项和为Sn.(1)求an及Sn；(2)令bn＝1a2n－1(n∈N＋)，求数列{bn}的前n项和Tn.12．设数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＝3·22n－1.(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn.能力提升13．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln1＋1n，则an等于()A．2＋lnnB．2＋(n－1)lnnC．2＋nlnnD．1＋n＋lnn14．已知正项数列{an}的前n项和Sn＝14(an＋1)2，求{an}的通项公式．1．递推公式是表示数列的一种重要方法．由一些简单的递推公式可以求得数列的通项公式．其中主要学习叠加法、叠乘法以及化归为等差数列或等比数列的基本方法．-3-2．求数列前n项和，一般有下列几种方法：错位相减、分组求和、拆项相消、奇偶并项等，学习时注意根据题目特点灵活选取上述方法．习题课(2)答案知识梳理1.n(a1＋an)2na1＋n(n－1)2d2.①na1②a1(1－qn)1－qa1－anq1－q3.S1n＝1Sn－Sn－1n≥24.(1)1n－1n＋1(2)12(12n－1－12n＋1)(3)n＋1－n作业设计1．B[∵an＝1n(n＋1)＝1n－1n＋1，∴S5＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(15－16)＝1－16＝56.]2．C[∵an＝1n＋n＋1＝n＋1－n，∴Sn＝n＋1－1＝10，∴n＝120.]3．A[112＋214＋318＋…＋(n＋12n)＝(1＋2＋…＋n)＋(12＋14＋…＋12n)＝n(n＋1)2＋12(1－12n)1－12＝12(n2＋n)＋1－12n＝12(n2＋n＋2)－12n.]4．C[a1＋a2＋…＋an＝n2(2n＋4)＝n2＋2n.∴bn＝n＋2，∴bn的前n项和Sn＝n(n＋5)2.]5．B[S17＝(1－2)＋(3－4)＋…＋(15－16)＋17＝9，S33＝(1－2)＋(3－4)＋…＋(31－32)＋33＝17，S50＝(1－2)＋(3－4)＋…＋(49－50)＝－25，所以S17＋S33＋S50＝1.]6．A[由于an－an－1＝1×2n－1＝2n－1，那么an＝a1＋(a2－a1)＋…＋(an－an－1)＝1＋2＋…＋2n－1＝2n－1.]7．－68.2n-4-解析∵an＋1＝2an2＋an，∴1an＋1＝1an＋12.∴1an是等差数列且公差d＝12.∴1an＝1a1＋(n－1)×12＝12＋n－12＝n2，∴an＝2n.9．1473解析100内所有能被3整除的数的和为：S1＝3＋6＋…＋99＝33×(3＋99)2＝1683.100内所有能被21整除的数的和为：S2＝21＋42＋63＋84＝210.∴100内能被3整除不能被7整除的所有正整数之和为S1－S2＝1683－210＝1473.10.1，n＝113·43n－2，n≥2解析an＋1＝13Sn，an＋2＝13Sn＋1，∴an＋2－an＋1＝13(Sn＋1－Sn)＝13an＋1，∴an＋2＝43an＋1(n≥1)．∵a2＝13S1＝13，∴an＝1，n＝113·43n－2，n≥2.11．解(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.因为a3＝7，a5＋a7＝26，所以a1＋2d＝7，2a1＋10d＝26，解得a1＝3，d＝2.所以an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，Sn＝3n＋n(n－1)2×2＝n2＋2n.所以，an＝2n＋1，Sn＝n2＋2n.(2)由(1)知an＝2n＋1，所以bn＝1a2n－1＝1(2n＋1)2－1＝14·1n(n＋1)＝14·1n－1n＋1，所以Tn＝14·(1－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1)＝14·(1－1n＋1)＝n4(n＋1)，即数列{bn}的前n项和Tn＝n4(n＋1).12．解(1)由已知，当n≥1时，an＋1＝[(an＋1－an)＋(an－an－1)＋…＋(a2－a1)]＋a1＝3(22n－1＋22n－3＋…＋2)＋2＝22(n＋1)－1.而a1＝2，符合上式，所以数列{an}的通项公式为an＝22n－1.(2)由bn＝nan＝n·22n－1知Sn＝1·2＋2·23＋3·25＋…＋n·22n－1，①从而22·Sn＝1·23＋2·25＋3·27＋…＋n·22n＋1.②-5-①－②得(1－22)Sn＝2＋23＋25＋…＋22n－1－n·22n＋1，即Sn＝19[(3n－1)22n＋1＋2]．13．A[∵an＋1＝an＋ln1＋1n，∴an＋1－an＝ln1＋1n＝lnn＋1n＝ln(n＋1)－lnn.又a1＝2，∴an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)＝2＋[ln2－ln1＋ln3－ln2＋ln4－ln3＋…＋lnn－ln(n－1)]＝2＋lnn－ln1＝2＋lnn．]14．解当n＝1时，a1＝S1，所以a1＝14(a1＋1)2，解得a1＝1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝14(an＋1)2－14(an－1＋1)2＝14(a2n－a2n－1＋2an－2an－1)，∴a2n－a2n－1－2(an＋an－1)＝0，∴(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0.∵an＋an－10，∴an－an－1－2＝0.∴an－an－1＝2.∴{an}是首项为1，公差为2的等差数列．∴an＝1＋2(n－1)＝2n－1.