(江苏专用)2015届高考数学一轮复习第二章第4讲二次函数与幂函数配套课件理新人教A版

第4讲二次函数与幂函数考点梳理(1)幂函数的定义形如________________的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．(2)常见的五种幂函数的图象1．幂函数y＝xα(α∈R)(3)五种常见幂函数的性质函数性质y＝xy＝x2y＝x3y＝x12y＝x－1定义域_________________{x|x∈R且x≠0}值域_________________[0，＋∞){y|y∈R且y≠0}奇偶性_____________________单调性增x∈[0，＋∞)时，增x∈(－∞，0]时，减________x∈(0，＋∞)时，减x∈(－∞，0)时，减定点(0,0)，(1,1)(1,1)R[0，＋∞)奇偶非奇非偶奇增增RRRR[0，＋∞)奇综上：若α＞0，y＝xα在(0，＋∞)上是增函数，若α＜0，y＝xα在(0，＋∞)上是减函数．(1)二次函数的解析式①二次函数的一般式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．②二次函数的顶点式为y＝_________________，其中顶点为_______．③二次函数的两根式为y＝____________________，其中x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根(也就是函数的零点)．根据已知条件，选择恰当的形式，利用待定系数法可求解析式．2．二次函数a(x－h)2＋k(a≠0)(h，k)a(x－x1)(x－x2)(a≠0)(2)二次函数的图象和性质②在对称轴的两侧单调性相反．③当b＝0时为偶函数，当b≠0时为非奇非偶函数．①二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标为______________，对称轴方程为___________.熟练通过配方法求顶点坐标及对称轴，并会画示意图．－b2a，4ac－b24ax＝－b2a一个考情解读本讲在高考中，主要考查一次函数、二次函数、幂函数的性质及应用，尤其是“三个二次”的联系与应用．重点考查数形结合与等价转化两种数学思想．通过三者的相互转化，考查函数与方程思想，对于二次函数的区间最值，尤其是含参数的区间最值问题，要充分注意问题的特殊性以简化运算，要求选择合理的标准分类讨论．【助学·微博】与二次函数有关的不等式恒成立问题(1)ax2＋bx＋c＞0，a≠0恒成立的充要条件是a＞0，b2－4ac＜0；(2)ax2＋bx＋c＜0，a≠0恒成立的充要条件是a＜0，b2－4ac＜0.1．若函数y＝x2＋(a＋2)x＋3，x∈[a，b]的图象关于直线x＝1对称，则b＝________.答案6答案－2考点自测解析对称轴x＝－a＋22＝1，又a＋b2＝1，∴b＝6.2．(2012·南京模拟)已知函数f(x)是R上的奇函数，且当x0时，f(x)＝x12，则f(－4)的值是________．解析f(－4)＝－f(4)＝－412＝－2.答案②3．(2011·陕西卷改编)函数y＝x13的图象是________．解析f(－x)＝－f(x)，说明函数是奇函数．同时，当0x1时，x13x，当x1时，x13x，知只有②符合．答案1,34．设α∈－1，1，12，3，则使函数y＝xα的定义域为R，且为奇函数的所有α值为________．解析当α＝1,3时，y＝xα的定义域为R且为奇函数，符合要求；当α＝－1时，y＝1x的定义域为{x|x≠0，x∈R}，不符合要求；当α＝12时，y＝x12的定义域为[0，＋∞)，不符合要求．5．(2012·南京三模)若函数f(x)＝x2－2x，x≥0，－x2＋ax，x0是奇函数，则满足f(x)a的x的取值范围是________．解析由f(x)是奇函数，得a＝－2.若x≥0，则由f(x)＝x2－2x－2，得x≥0；若x0，则由f(x)＝－x2－2x－2，得－1－3x0.综上得x－1－3.答案(－1－3，＋∞)解析由m2－2m－3＜0，得－1＜m＜3，又m∈Z，∴m＝0,1,2.∵m2－2m－3为偶数，经验证m＝1符合题意．答案1[方法总结]根据幂函数的单调性先确定指数的取值范围，当α＞0时，幂函数在(0，＋∞)上为增函数，当α＜0时，幂函数在(0，＋∞)上为减函数，然后验证函数的奇偶性．考向一幂函数的图象和性质【例1】幂函数y＝xm2－2m－3(m∈Z)的图象关于y轴对称，且当x＞0时，函数是减函数，则m的值为________．答案±1【训练1】已知点(2，2)在幂函数y＝f(x)的图象上，点－2，12在幂函数y＝g(x)的图象上，若f(x)＝g(x)，则x＝________.解析由题意，设y＝f(x)＝xα，，则2＝(2)α，得α＝2，设y＝g(x)＝xβ，则12＝(－2)β，得β＝－2.由f(x)＝g(x)，即x2＝x－2，解得x＝±1.【例2】已知函数f(x)＝x2＋mx＋n的图象过点(1,3)，且f(－1＋x)＝f(－1－x)对任意实数都成立，函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于原点对称．求f(x)与g(x)的解析式．考向二求二次函数的解析式解依题意得1＋m＋n＝3，－m2＝－1，解得m＝2，n＝0，∴f(x)＝x2＋2x.设函数y＝f(x)图象上的任意一点A(x0，y0)，该点关于原点的对称点为B(x，y)，则x0＝－x，y0＝－y.∵点A(x0，y0)在函数y＝f(x)的图象上，∴y0＝x20＋2x0，∴－y＝x2－2x，∴y＝－x2＋2x，即g(x)＝－x2＋2x.[方法总结]求二次函数解析式一般都采用待定系数法，其关键在于根据题设合理选用二次函数解析式的形式．一般式在任何情况下都适用，其缺点是待定的字母较多，容易引起混乱．顶点式一般需要先知道二次函数的顶点坐标，而两根式则需要先知道图象与x轴的交点坐标．在解题时，遵循的原则是出现字母越少越好．(1)求f(x)的解析式；(2)当x∈(－1,1)时，不等式mf(x)x恒成立，求m的取值范围．【训练2】(2012·扬州模拟)已知二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.解(1)由题意，可设f(x)＝ax2＋bx＋1，于是由f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－ax2－bx－1＝2ax＋a＋b＝2x，得a＝1，b＝－1，所以f(x)＝x2－x＋1.(2)当x∈(－1,1)时，由mf(x)x得mxx2－x＋1(x2－x＋10恒成立)．又∵xx2－x＋1＝1x＋1x－11，∴m≥1.(1)若f(0)≥1，求a的取值范围；(2)求f(x)的最小值；(3)设函数h(x)＝f(x)，x∈(a，＋∞)，直接写出(不需给出演算步骤)不等式h(x)≥1的解集．解(1)因为f(0)＝－a|－a|≥1，所以－a0，即a0，由a2≥1知a≤－1，因此，a的取值范围为(－∞，－1]．(2)记f(x)的最小值为g(a)，考向三二次函数的图象与性质【例3】(2009·江苏)设a为实数，函数f(x)＝2x2＋(x－a)·|x－a|.则有f(x)＝2x2＋(x－a)|x－a|＝3x－a32＋2a23，xa①x＋a2－2a2，x≤a②(ⅰ)当a≥0时，f(－a)＝－2a2，由①②知f(x)≥－2a2，此时g(a)＝－2a2.(ⅱ)当a0时，fa3＝23a2，若xa，则由①知f(x)≥23a2.若x≤a，由②知f(x)≥2a223a2.此时g(a)＝23a2，综上，得g(a)＝－2a2，a≥0，2a23，a0.(3)(ⅰ)当a∈－∞，－62∪22，＋∞时，解集为(a，＋∞)；(ⅱ)当a∈－22，22时，解集为a＋3－2a23，＋∞；(ⅲ)当a∈－62，－22时，解集为a，a－3－2a23∪a＋3－2a23，＋∞.[方法总结]要善于应用二次函数图象解题，特别是求二次函数在给定区间上的最值问题，借助图象讨论较为直观．一般情况下，应首先采用配方法，将二次函数化为y＝a(x－m)2＋n(a≠0)的形式，得顶点(m，n)或对称轴方程x＝m，再根据下面三个类型：①顶点固定，区间固定；②顶点含参数，区间固定；③顶点固定，区间变动进行求解．(1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值和最小值；(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数．解(1)当a＝－1时，f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[－5,5]，所以x＝1时，f(x)取得最小值1；x＝－5时，f(x)取得最大值37.(2)因为y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数，所以－a≤－5或－a≥5，故a的取值范围是(－∞，－5]∪[5，＋∞)．【训练3】已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]．(1)求f(x)的解析式；(2)若在区间[－1,1]上，不等式f(x)2x＋m恒成立，求实数m的取值范围．审题视点对于(1)，由f(0)＝1可得c，利用f(x＋1)－f(x)＝2x恒成立，可求出a，b，进而确定f(x)的解析式．对于(2)，可利用函数思想求得．考向四有关二次函数的综合问题【例4】若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.解(1)由f(0)＝1得，c＝1.∴f(x)＝ax2＋bx＋1.又f(x＋1)－f(x)＝2x，∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x，即2ax＋a＋b＝2x，∴2a＝2，a＋b＝0，∴a＝1b＝－1.因此，f(x)＝x2－x＋1.(2)f(x)2x＋m等价于x2－x＋12x＋m，即x2－3x＋1－m0，要使此不等式在[－1,1]上恒成立，只需使函数g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上的最小值大于0即可．∵g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上单调递减，∴g(x)min＝g(1)＝－m－1，由－m－10得，m－1.因此满足条件的实数m的取值范围是(－∞，－1)．[方法总结]二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体．因此，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．用函数思想研究方程、不等式(尤其是恒成立)问题是高考命题的热点．(1)求F(x)的表达式；(2)当x∈[－2,2]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，求k的取值范围．【训练4】已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a＞0)，F(x)＝fx，x＞0，－fx，x＜0.若f(－1)＝0，且对任意实数x均有f(x)≥0成立．解(1)由f(－1)＝0，得a－b＋1＝0，即b＝a＋1，所以f(x)＝ax2＋(a＋1)x＋1.因为f(x)≥0恒成立，所以a＞0，Δ＝a＋12－4a≤0，所以a＞0，a－12≤0.故a＝1，从而b＝2，即f(x)＝x2＋2x＋1，因此F(x)＝x2＋2x＋1，x＞0，－x2－2x－1，x＜0.(2)g(x)＝x2＋2x＋1－kx＝x2＋(2－k)x＋1.因为g(x)在[－2,2]上是单调函数，所以k－22≤－2或k－22≥2，解得k≤－2或k≥6.所以k的取值范围是k≤－2，或k≥6.二次函数在闭区间上的最值问题，一定要根据对称轴与区间的相对位置关系确定最值，当函数解析式中含有参数时，要根据参数的取值情况进行分类讨论，避免漏解．对于二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)而言，首先确定对称轴，然后与所给区间的位置关系分三类进行讨论．规范解答1如何求解二次函数在某个闭区间上的最值[审题路线图]求二次函数f(x)的对称轴，分对称轴在区间的左侧、中间、右侧讨论．【示例】(2012·济南模拟)已知f(x)＝－4x2＋4ax－4a－a2在区间[0,1]内有最大值－5，求a的值及函数表达式f(x)．[解答示范]∵f(x)