-数学建模在投资收益与风险中的运用

第1页投资的收益和风险问题摘要本论文主要讨论解决了在组合投资问题中的投资收益与风险的相关问题。分别在不考虑风险和考虑风险的情况下建立相应的数学模型，来使得投资所获得的总利润达到最大。问题一是一个典型的线性规划问题，我们首先建立单目标的优化模型，也即模型1，用Lingo软件求解，得到在不考虑投资风险的情况下，20亿的可用投资金额所获得的最大利润为153254.4万元。然后分别分析预计到期利润率、可用投资总资金和各投资项目的投资上限对总利润的影响。发现利润与利润率成正比的关系；可用投资总额有一个上限，当投资额小于这个上限时，总利润与可用投资额成正比的关系，当大于这个上限时，可用投资额与总的利润没有关系，总利润率保持不变；各项目的投资上限均与目标值呈正相关，项目预计到期利润率越大，该项目投资上限的变动对目标值的影响越大。问题二是一个时间序列预测问题。分别在独立投资与考虑项目间的相互影响投资的情况下来对到期利润率和风险损失率的预测。两种情况下的预测思路与方法大致相同。首先根据数据计算出到期利润率，将每一个项目的利润率看成一个时间序列，对该序列的数据进行处理，可以得到一个具有平稳性、正态性和零均值的新时间序列。再计算该序列的自相关函数和偏相关函数，发现该时间序列具有自相关函数截尾，偏自相关函数拖尾的特点，所以可认为该序列为一次滑动平均模型（简称MA(1)）。接着，用DPS数据处理系统软件中的一次滑动平均模型依次预测出各项目未来五年的投资利润率。对于风险损失率，我们用每组数据的标准差来衡量风险损失的大小，将预测出来的投资利润率加入到样本数据序列中，算出该组数据的标准差，用该值来衡量未来五年的风险损失率。具体答案见4.2.2.1问题的分析与求解。同样在考虑相互影响的情况下，我们运用ARMA(3,1)模型进行预测，结果见4.2.2.2问题三与问题一类似，也是优化的问题，其目标仍是第五年末的利润最大，而且也没有考虑风险问题，只是约束条件改变了。我们建立非线性规划模型，仍用Lingo解得大利润为620589.7万元。问题四在问题三的基础上，考虑了预期风险损失率，建立了一个多目标规划模型三，求取投资最大收益额和最小损失额。由于模型三在我们现有基础上不易求解，我们又运用线性加权平均法的思想对投资利润和投资损失额进行加权平均建立了模型四。运用matlab软件进行计算，得出了最优解为314250.8万元。问题五首先假设一部分资金存入银行获取利息，并向银行贷款进行其他项目投资，然后根据题四方法和思想，运用Lingo软件求得：当3.0s时，可得第五年总金额最大值：79582.4万,则第五年的最大利润59582.4万。关键字：线性规划时间序列ARMA模型LINGOMATLAB第2页1问题的重述随着市场经济的快速发展，投资各个项目进行赢利，已是许多公司取得利润的的主要途径。但是这样的投资又存在着一定的风险。不是每一次投资都能百分之百获得利润，所以怎样缓解与解决赢利与风险之间的矛盾，是每一个投资商及待解决的问题。本题就是要通过一个实例，建立数学模型，用数学的眼光来看待及解决这个问题。题目给定了20亿作为未来5年的投资资金，而现在市场上给定的投资项目有8个：项目1、项目2每年初投资，当年年末回收本利（本金和利润）；项目3、项目4每年初投资，要到第二年末才可回收本利；项目5、项目6每年初投资，要到第三年末才可回收本利；项目7只能在第二年年初投资，到第五年末回收本利；项目8只能在第三年年初投资，到第五年末回收本利。1）第一问要解决的问题是建立一个优化模型，在给出实验数据的前提下，如何安排20亿的投资资金使第五年末的所的的利润达到最大。2）给定8个项目近20年的投资额与到期利润的数据，同时还知道投资的各个项目之间还会出现相互影响的问题。具体的数据由题目附录给出。现在要解决的问题是根据往年的数据，预测今后五年各项目独立投资及项目之间相互影响下的投资的到期利润率、风险损失率。3）在问题2的基础上，现有两种情况：a.对投资项目1，公司管理层争取到一笔资金捐赠，若在项目1中投资超过20000万，则同时可获得该笔投资金额的1%的捐赠，用于当年对各项目的投资。b.项目5的投资额固定，为500万，可重复投资。(个项目的投资额上限见表4)在这两种情况下，且根据问题2的结果，确定5年内如何安排20亿，使得第五年末所得利润最大。4）另外由实际可知，当投资越分散，也即投资的项目多，而且金额相对比较平均时，那么总的风险就越小。现规定：当用20亿投资若干种项目时，总的风险用所投资的项目中最大的一个风险来度量。在这种情况下，应该如何考虑风险问题？问题3中的投资又应该如何安排？5）由于考虑风险问题，公司可以拿一部分资金存进银行，但是为了获得更大的利润，公司可以在银行贷款来投资，贷款的上限和利息可根据实际情况来确定。那么在这种情况下又应该如何安排5年的投资计划？2背景分析随着市场经济的不断发展和投融资体制改革的逐步深入,投资已成为推动我国经济发展不可缺少的动力，也是不少公司获得利润的主要途径。而现如今在投资问题中，收益和风险是一对主要矛盾，怎样调节二者的矛盾，使获得的收益最大，而相应的风险却最小，是各商家要解决的主要问题，在市场经济条件下，企业能否将资金投入到收入高，回收快，风险相对小的项目上去，对企业的生存和发展十分重要。第3页3模型的假设与符号说明3.1模型的假设a)无交易费和投资费用等的费用开支；b)在投资的5年时间内市场发展基本上是稳定的；c)投资期间社会政策无较大变化；d)公司的经济发展对投资无较大影响；e)外界因素对投资的资产无较大影响。资产投资是在市场中进行的,市场是复杂多变的，是无法用数量或函数进行准确描述的,因此以上的假设是必要的。一般说来物价变化具有一定的周期性，社会政策也并非天天改变，公司自身的发展在稳定的情况下才会用额外的资金进行较大的风险的投资。市场与社会的系统发展在一个时期内是良性的，稳定的,因此以上假设也是合理的。.3.2符号说明符号说明见表1：表1符号说明表符号说明z第五年末的利润im第i年初的可用总资金，也就是第1i年末的可用总资金jl第j个项目的投资额上限ijx第i年初对第j个项目的投资额jp模型一中第j个项目的预计到期利润率σ收益的标准差ijc模型三中第I年第j个项目的利润率iw第I年获得捐赠的资金数目ik第I年第五个项目重复投资的次数io三个项目同时投资的利润率iq两个项目同时投资的利润率第4页4问题的分析与求解4.1问题一的分析与求解4.1.1问题一的分析该题是一个单目标的优化问题，其目标是在不考虑风险的情况下安排20亿的投资金，使得第五年末的利润z最大，也即总利润最大。将5年的对8个项目的投资利润累加起来就是要求的目标函数，要做的是如何安排5年的投资计划，每一年应该投资哪几个项目，每个项目的投资金额为多少。该决策受到两个条件的限制：1）各个投资项目的投资上限。在任一项目的运行期间，公司对该项目的投资总额不能超过该项目的投资上限。运行期的概念是从投资开始到回收本利的这段时间。例如：第一年对项目三投资了30000万元，由于项目三的投资上限是40000万元，运行周期为两年，则第二年，该公司对项目三的投资额不能超过10000万元；2）每年的可用资金。每年的可用资金等于上年的可用资金减去上年的总投资额再加上上年末各项目回收的本利。每年8个项目的投资金额总数不能超过该年的可用资金。4.1.2模型1的建立与求解通过上面的分析，我们可以运用线性规划的方法建立模型1。目标函数是第五年末的总利:jjiijpxz8151max（1）约束条件为：项目1和2每年的投资金额的限制：jijlx)2,1,5,4,3,2,1(ji(1.1)项目3和4在两年的运行期投资金额的限制：jjiijlxx,1)4,3,5,4,3,2(ji(1.2)项目5和6在三年的运行期投资金额的限制：jjijiijlxxx,2,1)6,5,5,4,3(ji(1.3)项目7运行期为4年，且要第二年初投资，所以只投资一次：727lx(1.4)项目8运行期为3年，且要第三年初投资，所以也只投资一次：838lx(1.5)第i年的可用投资金额对8个项目的投资金额的限制：第5页ijijmx81)5,4,3,2,1(i(1.6)第一年的投资金额上限：2000001m（1.7)第i年的投资金上限im为第i-1初的资金1im减去第i-1年投资用去的资金，再加上第i-1年末回收的的资金,第2年初至第6年初的投资资金依次如下：)1()1(21211181112pxpxxmmjj(1.8))1()1()1()1(41431322212181223pxpxpxpxxmmjj(1.9))1()1()1()1()1()1(61651542432323213181334pxpxpxpxpxpxxmmjj(1.10))1()1()1()1()1()1(62652543433324214181445pxpxpxpxpxpxxmmjj(1.11))1()1()1()1()1()1()1()1(83872763653544434325215181556pxpxpxpxpxpxpxpxxmmjj(1.12)用Lingo编写程序，程序见附录1。解得最大利润为153254.4（万元），投资方案如表1.1所示表1.15年内各项目的投资计划单位（万元）投资额（亿元）第一年第二年第三年第四年第五年项目一60000.0045544.4460000.0060000.0060000.00项目二30000.0030000.0030000.0030000.0030000.00项目三40000.000.0000000.00000040000.000.000000项目四10114.6119885.390.00000030000.000.000000项目五3755.5560.00000026044.440.0000000.000000项目六20000.0040000.000.0000000.0000000.000000项目七0.0000000.0000000.0000000.0000000.000000项目八0.00000060000.0030000.000.0000000.000000表1.1表明：第一年初，投资项目一60000万，项目二30000万，项目三40000万，第6页项目四10114.61万，项目五3755.55万；第二年初，投资项目一45544.44万，项目二30000万，项目四19885.39万，项目六40000万，项目八60000万；第三年初，投资项目一60000万，项目二30000万，项目五26044.44万，项目八30000万；第四年初，投资项目一60000万，项目二30000万，项目三40000万，项目四30000万；第五年初，只投资项目一60000万和项目二30000万。各年的可用投资金额如表1.2所示表1.2各年的可用金额单位（万元）年份12345可用金额200000.0135429.81462444.4160000.099300.00每年的投资金额总数如表1.3所示表1.3各年的投资金额总数单位万元）年份12345金额数163870.2135429.8146244.4160000.090000.004.1.3模型1的检验在该模型中，影响最终利润的因素有个：（1）预计到期列率；（2）可用投资总资金；（3）各投资项目的上限。我们可以通过分别独立改变这三个因素的值来确定这三个因素对模型的灵敏度，从而反映各个因素对模型结果影响的显著性水平。反之，通过改变各参数的值，又可以反映和检测所建模型的实际合理性。1）预计到期利润率灵敏度分析本问题目标函数是总利润最大，而当投资总资金和各投资项目的上限一定时，总利润就是与各项目的到期利润率相关，但是作为投资