002-普通物理学讲座之二矢量基础

普通物理学讲座之二——矢量基础作者：Michaelexe物理量分为矢量和标量。标量只有大小，矢量既有大小又有方向。矢量的加法满足平行四边形法则矢量可以在同一平面内任意移动。但是要注意，只有在分析时可以，在现实世界中不行。比如力，如果力的作用点改变了，力的作用效果肯定会改变。我们把矢量平行移动就得到了三角形法则矢量在某个方向的矢投影比如在方向的矢投影如图所示注：1.矢量的模就是指矢量的长度，也即矢量的大小。2.以表示矢投影的模，矢量在方向的投影（或标投影）为（与同向时取正号，反向时取负号）。坐标系平面直角坐标系选择两个互相垂直的坐标轴，交点记为O，横轴为x轴，纵轴为y轴。这样，任一矢量就可以通过平移把起点移到O点，然后分别投影到x轴和y轴上分别取x轴和y轴的基矢（也就是单位矢量，模为1的矢量）为和，那么，这样，和就都是标量了。平面极坐标系其中和为基矢空间直角坐标系过空间一个定点O，做三条互相垂直的数轴，它们都以O为原点且一般具有相同的长度单位。这三条轴分别叫做x轴（横轴）、y轴（纵轴）、z轴（竖轴）。通常把x轴和y轴配置在水平面上，而z轴则是铅垂线。它们的正向通常符合右手规则，即以右手握住z轴，当右手四个手指从正向x轴以π/2角度转向正向y轴时，大拇指的指向就是z轴的正向。如图所示在空间坐标系中有任一一点R(x,y,z)，那么起点为原点，终点为R点的矢量为。其中，分别为x轴，y轴，z轴的基矢。矢量与标量的乘积矢量与标量m的乘积是矢量，这个矢量的模是矢量的模的m倍，方位与相同；指向由m的正负号而定，m为正时，与指向相同，否则相反。若m=0，则为零矢量。若和是矢量，m和n是标量，则矢量的点积空间某一x轴的方向由轴的单位矢量确定，以表示x轴的单位矢量，以表示矢量在x轴方向的投影，称为矢量与单位矢量的点积。如图所示，其表达式为式中，是矢量的模，cosθ是矢量和的正方向夹角的余弦。同样可确定矢量与矢量的点积。考虑矢量在矢量方向的投影，可得由此得到三维空间里，正交坐标轴单位矢量的点积将矢量表示为沿坐标轴的分矢量的矢量和，，，则有若，且，都不是零矢量，则，互相垂直。容易证明，点积满足交换律和分配律，即还有矢量的叉积两矢量和的叉积是一矢量，的模是，的模与两矢量夹角的正弦sinθ的乘积，垂直于，平面，且，和构成右手系（如图1）图1表示为由图1很容易看出，交换律对矢量的叉积是不成立的，且若，或，因为sinθ=0，所以。由定义容易证明，直角坐标系基矢的叉积有如下关系：利用这些关系可以求得即（关于行列式的定义可以参考高等数学附录）可以证明，分配律对矢量的叉积是成立的，即设m为标量，有