2011届高三数学二轮复习-专题4课时训练

1专题四不等式、推理与证明第1讲不等式1.已知函数f(x)＝x＋2x≤0－x＋2x0，则不等式f(x)≥x2的解集为()A．[－1,1]B．[－2,2]C．[－2,1]D．[－1,2]2．已知a0，b－1，则下列不等式成立的是()A．aabab2B.ab2abaC.abab2aD.abaab23．设集合A＝{x|2x2－x－10≥0}，B＝{x|xx＋3≥0}，则A∩B＝()A．(－3，－2]B．(－3，－2]∪[0，52]C．(－∞，－3]∪[52，＋∞)D．(－∞，－3)∪[52，＋∞)4．(2010年高考安徽卷)设x，y满足约束条件2x＋y－6≥0，x＋2y－6≤0，y≥0，则目标函数z＝x＋y的最大值是()A．3B．4C．6D．85．(2010年高考四川卷)设ab0，则a2＋1ab＋1aa－b的最小值是()A．1B．2C．3D．46．(2010年莱州第一中学质检)设x，y∈R，a1，b1，若ax＝by＝3，a＋b＝23，则1x＋1y的最大值为()A．2B.32C．1D.127．已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则不等式f(2x＋1x－1)0的解集为________．8．若不等式|x＋1|＋|x－3|≥a＋4a对任意的实数x恒成立，则实数a的取值范围是________．29．(2010年高考安徽卷)设x，y满足约束条件2x－y＋2≥0，8x－y－4≤0，x≥0，y≥0，若目标函数z＝abx＋y(a0，b0)的最大值为8，则a＋b的最小值为________．10．若a∈[1,3]时，不等式ax2＋(a－2)x－20恒成立，求实数x的取值范围．311.设集合A＝x|132≤2－x≤4，B＝{x|(x－m＋1)·(x－2m－1)0}．(1)求A∩Z；(2)若A⊇B，求m的取值范围．12．通过研究学生的学习行为，专家发现，学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣激增；中间有一段时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，设f(t)表示学生注意力随时间t(分钟)的变化规律，f(t)越大，表明学生注意力越集中，经过实验分析得知：f(t)＝－t2＋24t＋1000t≤10，24010t≤20，－7t＋38020t≤40.(1)讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？(2)讲课开始后5分钟与讲课开始后25分钟比较，何时学生的注意力更集中？(3)一道数学难题，需要讲解24分钟，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目？4第2讲推理与证明1．对a、b∈(0，＋∞)，a＋b≥2ab(大前提)，x＋1x≥2x·1x(小前提)，所以x＋1x≥2(结论)．以上推理过程中的错误为()A．大前提B．小前提C．结论D．无错误2．用反证法证明命题：“a，b∈N，ab可被5整除，那么a、b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为()A.a、b都能被5整除B．a、b都不能被5整除C．a、b不都能被5整除D．a不能被5整除3．(2010年天津一中模拟)若a、b、c是不全相等的正数，给出下列判断：①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；②ab与ab及a＝b中至少有一个成立；③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立．其中判断正确的个数是()A．0B．1C．2D．34．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2an(n≥2)，而a1＝1，通过计算a2，a3，a4，猜想an＝()A.2n＋2B.2nn＋C.22n－1D.22n－15．有一个奇数列1,3,5,7,9，…，现进行如下分组：第1组含有一个数{1}；第二组含两个数{3,5}；第三组含三个数{7,9,11}；…每组内各数之和与其组的编号数n的关系是()A．等于n2B．等于n3C．等于n4D．等于n(n＋1)6．(2010年沈阳二中质检)类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列一些性质，你认为比较恰当的是()①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角相等②各个面是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角相等③各个面都是全等的正三角形，同一顶点的任何两条棱的夹角都相等A．①B．①②C．①②③D．③7．如果aa＋bbab＋ba，则a、b应满足的条件是________．8．观察下列式子：1＋12232，1＋122＋13253，1＋122＋132＋14274，由上可得出一般的结论为____________．9．(2009年高考浙江卷)设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，__________，________，T16T12成等比数列．510．已知f(x)(x∈R)恒不为0，对任意x1，x2∈R，等式f(x1)＋f(x2)＝2f(x1＋x22)f(x1－x22)恒成立．求证：f(x)是偶函数．611.(2010年河北八校联考)已知a0，b0，且a＋b2.求证：1＋ba、1＋ab中至少有一个小于2.12．在数列{an}，{bn}中，a1＝2，b1＝4，且an，bn，an＋1成等差数列，bn，an＋1，bn＋1成等比数列(n∈N*)．求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测{an}，{bn}的通项公式，并证明你的结论．7专题四第1讲不等式1．【解析】选A.原不等式等价于x＋2≥x2x≤0或－x＋2≥x2x0.解得－1≤x≤1，∴解集为[－1,1]．2．【解析】选C.取特殊值，如令a＝－1，b＝－2，则可得abab2a，故选C.3．【解析】选D.由已知得，A＝{x|x≥52或x≤－2}，B＝{x|x≥0或x－3}．∴A∩B＝{x|x－3或x≥52}，故选D.4．【解析】选C.由约束条件可知可行域为图中的阴影部分．可知点A、B、C的坐标分别为A(2,2)、B(3,0)、C(6,0)．故当直线y＝z－x过点C(6,0)时，z取最大值，zmax＝6＋0＝6.5．【解析】选D.a2＋1ab＋1aa－b＝a2－ab＋ab＋1ab＋1aa－b＝a(a－b)＋1aa－b＋ab＋1ab≥2＋2＝4，当且仅当a(a－b)＝1且ab＝1，即a＝2，b＝22时取等号．6．【解析】选C.因为a1，b1，ax＝by＝3，a＋b＝23，所以x＝loga3，y＝logb3.1x＋1y＝1loga3＋1logb3＝log3a＋log3b＝log3(ab)≤log3(a＋b2)2＝log3(232)2＝1，当且仅当a＝b时，等号成立．7．【解析】由题图知，f(x)在(－∞，1)上恒大于0，即2x＋1x－11，∴x＋2x－10，解得－2x1.【答案】(－2,1)8．【解析】设函数f(x)＝|x＋1|＋|x－3|，则f(x)＝|x＋1|＋|3－x|≥|(x＋1)＋(3－x)|＝4，即函数f(x)的最小值为4.不等式|x＋1|＋|x－3|≥a＋4a对任意的实数x恒成立，即a＋4a≤4恒成立，令f(a)＝a＋4a，当a0时，f(a)＝a＋4a≥2a·4a＝4，当且仅当a＝2时等号成立，即要使a＋4a≤4恒成立，则a＝2；当a0时，f(a)＝a＋4a为负数，那么a8＋4a≤4必定恒成立．故a的取值范围是(－∞，0)∪{2}．【答案】(－∞，0)∪{2}9．【解析】(x，y)满足可行域如图所示，∵abx＋y的最大值为8(a0，b0)，∴目标函数等值线l：y＝－abx＋z最大值时的最优解为2x－y＋2＝0，8x－y－4＝0，解得A(1,4)，∴8＝ab＋4，ab＝4.又∵a＋b≥2ab；当且仅当a＝b＝2时取等号，∴a＋b≥4.【答案】410．【解】设f(a)＝a(x2＋x)－2x－2，则当a∈[1,3]时f(a)0恒成立．∴f＝x2－x－20f＝3x2＋x－20，解得x2或x－1.∴实数x的取值范围是x2或x－1.11．【解】(1)化简可得，集合A＝{x|－2≤x≤5}，则A∩Z＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}．(2)集合B＝{x|(x－m＋1)·(x－2m－1)0}，①当m＝－2时，B＝∅，所以B⊆A；②当m－2时，∵(2m＋1)－(m－1)＝2＋m0，∴B＝(2m＋1，m－1)．因此，要使B⊆A，只需2m＋1≥－2，m－1≤5，解得－32≤m≤6，所以m值不存在．③当m－2时，B＝(m－1,2m＋1)，要使B⊆A，只需m－1≥－2，2m＋1≤5，解得－1≤m≤2.综上所述，m的取值范围是m＝－2或－1≤m≤2.12．【解】(1)当0t≤10时，f(t)＝－t2＋24t＋100＝－(t－12)2＋244是增函数，且f(10)＝240，当20t≤40时，f(t)＝－7t＋380是减函数，且f(20)＝240，所以，讲课开始后10分钟，学生的注意力最集中，能持续10分钟．(2)f(5)＝195，f(25)＝205，所以，讲课开始25分钟时，学生的注意力比讲课开始后5分钟更集中．(3)当0t≤10时，令f(t)＝－t2＋24t＋100＝180，解得t＝4，当20t≤40时，9令f(t)＝－7t＋380＝180，解得t≈28.57，则学生注意力在180以上所持续的时间为28.57－4＝24.5724.所以，经过适当安排，老师可以在学生达到所需的状态下讲授完这道题目．第2讲推理与证明1．【解析】选B.x＋1x≥2x·1x成立则x必大于0.2．【解析】选B.用反证法证明命题应先否定结论，故选B.3．【解析】选C.∵a、b、c是不全相等的正数，故①正确．③错误；对任意两个数a、b，ab与ab及a＝b三者必有其一成立，故②正确．4．【解析】选B.由Sn＝n2an知Sn＋1＝(n＋1)2an＋1∴Sn＋1－Sn＝(n＋1)2an＋1－n2an，∴an＋1＝(n＋1)2an＋1－n2an，∴an＋1＝nn＋2an(n≥2)．当n＝2时，S2＝4a2，又S2＝a1＋a2，∴a2＝a13＝13，a3＝24a2＝16，a4＝35a3＝110.由a1＝1，a2＝13，a3＝16，a4＝110.猜想an＝2nn＋.5．【解析】选B.第1组中含有1个数1＝13，第2组中3＋5＝8＝23，第3组中三数和7＋9＋11＝27＝33，…由此归纳第n组内各数之和为n3.6．【解析】选C.由合情推理可知①②③全部正确．7．【解析】∵aa＋bbab＋ba⇔(a－b)2(a＋b)0⇔a≥0，b≥0且a≠b.【答案】a≥0，b≥0且a≠b8．【解析】注意到3＝2×2－1,5＝2×3－1,7＝2×4－1，…因此1＋122＋132＋…＋1n＋22n＋1n＋1.【答案】1＋122＋132＋…＋1n＋22n＋1n＋19．【解析】对于等比数列，通过类比，有等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4＝b1b2b3b4，T8＝b1b2…b8，T12＝b1b2…b12，T16＝b1b2…b16，因此T8T4＝b5b6b7b8，T12T8＝b9b10b11b12，T16T12＝b13b14b15b16，而T4，T8T4，T12T8，T16T12的公比为q16，因此T4，T8T4，T12T8，T16T12成等比数列．【答案】T8T4T12T810．【证明】对于f(x1)＋f(x2)＝2f(x1＋x22)f(x1－x22)，令x1＝x2＝x，则2f(x)＝2f(x)f(0)．又∵f(x)≠0，∴f(0)＝1.令x1＝－x2＝x，则f(x)＋f(－x)＝2f(0)f(x)，∴f(x)＋f(－x)＝2f(x)，即f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数．11．【证明】假设1＋ba，1＋ab都不小于2，10∴1＋ba≥2，1＋ab≥2，∵a0，b0，∴1＋b≥2a,1＋a≥2b，∴1＋1＋a＋b≥2(a＋b)，即2