2011届高考数学权威预测3函数性质

页版权所有@中国高考志愿填报门户第三讲函数性质★★★高考在考什么【考题回放】1．设函数()fx定义在实数集上，它的图像关于直线1x对称，且当1x≥时，()31xfx，则有（B）Ａ．132323fffＢ．231323fffＣ．213332fffＤ．321233fff2．设2()lg1fxax是奇函数，则使()0fx的x的取值范围是（A）Ａ．(10)，Ｂ．(01)，Ｃ．(0)，Ｄ．(0)(1)，，3．定义在R上的函数()fx既是奇函数，又是周期函数，T是它的一个正周期．若将方程()0fx在闭区间[]TT，上的根的个数记为n，则n可能为（Ｄ）A．0B．1C．3D．54．对于函数①()lg(21)fxx，②2()(2)fxx，③()cos(2)fxx，判断如下三个命题的真假：命题甲：(2)fx是偶函数；命题乙：()fx在()，上是减函数，在(2)，上是增函数；命题丙：(2)()fxfx在()，上是增函数．能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是（Ｄ）Ａ．①③Ｂ．①②Ｃ．③Ｄ．②5．已知()fx与()gx是定义在R上的连续函数，如果()fx与()gx仅当0x时的函数值为0，且()()fxgx≥，那么下列情形不可能．．．出现的是（）A．0是()fx的极大值，也是()gx的极大值B．0是()fx的极小值，也是()gx的极小值C．0是()fx的极大值，但不是()gx的极值D．0是()fx的极小值，但不是()gx的极值6．若函数)1,0()(log)(3aaaxxxfa在区间)0,21(内单调递增，则a的取值范围页版权所有@中国高考志愿填报门户是)1,43[★★★高考要考什么一、单调性：1.定义：一般地，（1）对于给定区间上的函数f（x），如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值x1、x2，（2）当x1＜x2时，（3）都有f（x1）＜f（x2）〔或都有f（x1）＞f（x2）〕，那么就说（4）f（x）在这个区间上是增函数（或减函数）.要注意定义引申：（1）、（2）、（4）（3）；（1）、（3）、（4）（2）如：)(xf是定义在),0(上的递减区间，且)(xf)32(xf，则x的取值范围_____二、奇偶性：1.优先考虑定义域：定义域关于原点对称是具体奇偶性的必要条件。2.奇函数)(xf在0x处有意义，则0)0(f。3.奇函数在对称区间上单调性一致，偶函数在对称区间上单调性相反。三、周期性：1.若)()2(xfxf，则)(xf的周期是＿＿＿＿；2.若)(1)1(xfxf，则)(xf的周期是＿＿＿＿；3.若)(1)1(xfxf，则)(xf的周期是＿＿＿＿；4.若)(xf是偶函数，且图象关于2x对称，则)(xf的周期是＿＿＿＿；★★★突破重难点【范例1】设函数)(xf定义在R上，对于任意实数nm,，总有)()()(nfmfnmf，且当0x时，1)(0xf。（1）证明：1)0(f，且0x时1)(xf（2）证明：函数在R上单调递减（3）设)1()()(|),(22fyfxfyxARayaxfyxB,1)2(|),(，若BA，确定a的取值范围。（1）解：令0n，则)0()()0(fmfmf，对于任意实数m恒成立，1)0(f设0x，则0x，由1)()())((xfxfxxf得)(1)(xfxf，当0x时，1)(1,1)(0xfxf当0x时,0x,1)(1)(xfxf（2）证法一：设21xx，则012xx，页版权所有@中国高考志愿填报门户)()()[()(1121122xfxxfxxxfxf1)(001212xxfxx),()()(1112xfxfxxf)()(21xfxf,函数为减函数证法二：设21xx，则])[()()()(112121xxxfxfxfxf)(1xf)()(112xfxxf=)(1xf)](1[12xxf1)(001212xxfxx,0)(,0)](1[112xfxxf故)()(21xfxf)(1xf0)](1[12xxf)()(21xfxf,函数为减函数（3）解：∵)1()()(22fyfxf，1)2(yaxf∴02,122yaxyx若BA，则圆心)0,0(到直线的距离应满足1122ad，解之得32a，33a变式：已知定义在R上的函数满足：fxyfxfy，当x＜0时，fx()0。（1）求证：fx()为奇函数；（2）求证：fx()为R上的增函数；（3）解关于x的不等式：faxfxfaxfa2222()()。（其中a0且a为常数）解：（1）由fxyfxfy，令xy0，得：fff()()()000，即f()00再令xy0，即yx，得：ffxfxfxfx()()()()()0fx()是奇函数………………4分（2）设xxR12、，且xx12，则xx120由已知得：fxx120fxxfxfxfxfxfxfx121212120即fx()在R上是增函数………………8分页版权所有@中国高考志愿填报门户（3）faxfafaxfx()()()()2222faxafaxx2222axaaxx2222即axaxa22220axaaxxaxa0220202，当2aa，即a2时，不等式解集为xxaxa|2或当2aa，即a2时，不等式解集为xx|2当2aa，即02a时，不等式解集为xxaxa|或2………………13分【范例2】已知f(x)=222xax(x∈R)在区间[－1，1]上是增函数.，（1）求实数a的值组成的集合A；（2）设关于x的方程f(x)=x1的两个非零实根为x1、x2.试问：是否存在实数m，使得不等式m2+tm+1≥|x1－x2|对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由.解：（1）f＇(x)=222)2(224xxax=222)2()2(2xaxx，∵f(x)在[－1，1]上是增函数，∴f＇(x)≥0对x∈[－1，1]恒成立，即x2－ax－2≤0对x∈[－1，1]恒成立.①设(x)=x2－ax－2，①(1)=1-a-20(-1)=1+a-20－1≤a≤1，∵对x∈[－1，1]，f(x)是连续函数，且只有当a=1时，f＇(-1)=0以及当a=－1时，f＇(1)=0∴A={a|－1≤a≤1}.（2）由222xax=x1，得x2－ax－2=0，∵△=a2+80页版权所有@中国高考志愿填报门户∴x1，x2是方程x2－ax－2=0的两非零实根，x1+x2=a，∴从而|x1－x2|=212214)(xxxx=82a.x1x2=－2，∵－1≤a≤1，∴|x1-x2|=82a≤3.要使不等式m2+tm+1≥|x1－x2|对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，当且仅当m2+tm+1≥3对任意t∈[－1，1]恒成立，即m2+tm－2≥0对任意t∈[－1，1]恒成立.②设g(t)=m2+tm－2=mt+(m2－2)，方法一：g(－1)=m2－m－2≥0，②g(1)=m2+m－2≥0，m≥2或m≤－2.所以，存在实数m，使不等式m2+tm+1≥|x1－x2|对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，其取值范围是{m|m≥2，或m≤－2}.方法二：当m=0时，②显然不成立；当m≠0时，m0，m0，②或g(－1)=m2－m－2≥0g(1)=m2+m－2≥0m≥2或m≤－2.所以，存在实数m，使不等式m2+tm+1≥|x1－x2|对任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，其取值范围是{m|m≥2，或m≤－2}.【点晴】利用导数研究函数的单调性和最值.在解决函数综合问题时要灵活运用数学思想和方法化归为基本问题来解决.变式：设函数11axfxx，其中aR（1）解不等式1fx（2）求a的取值范围，使fx在区间0,上是单调减函数。解：（1）不等式1fx即为111011axaxxx当1a时，不等式解集为,10,当1a时，不等式解集为,11,当1a时，不等式解集为1,0页版权所有@中国高考志愿填报门户（2）在0,上任取12xx，则12121212121111111axxaxaxfxfxxxxx12121200,10,10xxxxxx所以要使fx在0,递减即120fxfx，只要10a即1a故当1a时，fx在区间0,上是单调减函数。【范例3】已知函数()fx的定义域为[0,1]，且同时满足：①(1)3f；②()2fx恒成立；③若12120,0,1xxxx，则有1212()()()2fxxfxfx．（1）试求函数()fx的最大值和最小值；（2）试比较1()2nf与122n的大小(nN）；（3）某人发现：当x=12n(nN)时，有f(x)2x+2.由此他提出猜想：对一切x(0,1],都有()22fxx，请你判断此猜想是否正确，并说明理由．解:(1)设0≤x1x2≤1,则必存在实数t(0,1),使得x2=x1+t,由条件③得,f(x2)=f(x1+t)f(x1)+f(t)-2,∴f(x2)-f(x1)f(t)-2,由条件②得,f(x2)-f(x1)0,故当0≤x≤1时,有f(0)≤f(x)≤f(1).又在条件③中,令x1=0,x2=1,得f(1)f(1)+f(0)-2,即f(0)≤2,∴f(0)=2,故函数f(x)的最大值为3,最小值为2.(2)解:在条件③中,令x1=x2=12n,得f(12n-1)2f(12n)-2,即f(12n)-2≤12[f(12n-1)-2],故当nN*时，有f(12n)-2≤12[f(12n-1)-2]≤122[f(12n-2)-2]≤···≤12n[f(120)-2]=12n,即f(12n)≤12n+2.又f(120)=f(1)=3≤2+120,所以对一切nN,都有f(12n)≤12n+2.(3)对一切x(0,1],都有()22fxx.对任意满足x(0,1]，总存在n(nN),使得12n+1x≤12n,根据（1）（2）结论，可知：页版权所有@中国高考志愿填报门户f(x)≤f(12n)≤12n+2,且2x+2212n+1+2=12n+2,故有()22fxx.综上所述，对任意x(0,1],()22fxx恒成立.