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12002级高等数学I试题(A卷)一.填空题(每小题2分,共26分)1.设)12(sin2xxy,则'y=。2.已知0)(2sinlim30xxxfxx,则20)(2limxxfx=。3.设)(xf在[1,3]上具有连续导数,则dxxfxf312)]([1)('________。5.当1x时,已知1xx和kxa)1(是等价无穷小,则a=_____,.___k6、(1,3)为曲线23bxaxy的拐点,则a=____,b=______。7.0x是函数xxexsin111的_________间断点。8.已知61)(2xxxf,则)0()100(f=___________.9.设)(xyy是由方程202xxytyedte所确定的隐函数,则0|xdxdy=_________.12.曲线xyln上曲率最大的点为__________________。13.极限nnnn!lim的结果为_________。.二、计算题(每小题4分,共24分)1.xxdtttxxsin030)1ln(sinlim2xxxxesin1023lim3.xdxx2cos24dxxcos2115.dxex||6.31221xxdx三、(6分)求xxey2在]2,0[上的最大与最小值,并证明:22041222edxeexx。五、(6分)已知曲线)(xyy的参数方程)41ln(2arctan2ttytx,求22dxyddxdy,。六、(6分)求由曲线xyxy1222与所围图形的面积。七、(6分)设0x,证明:)(211xxxx,其中)(x满足不等式21)(41x。答案2一、1.)24sin(2)12(sin212xxxx2.343.)1(arctan)3(arctanff5.1,1ka6.29,23ba7.跳跃8.)321(5!1001011019.412.22ln21,13.e1二、121)sin1ln()cos1(sinlimcossin)sin1ln(cos1lim3030xxxxxxxxx21sin)2(1120)211(limexxexxxexexxxxx3.cxxxxxdxxxxxxdx2sin412cos212sin212sin2sin21)2(sin212224.cxxctdttdxxxt2tan32tan3ln31333ln3132cos211,2tan25.21100dxedxexx6.令txtan原式=322sincos342dttt三、0)12('2xeyxx,得21x,41)21(ey,又,1)0(y2)2(ey,所以,最大值为2e,最小值41e,从而有2412edxeexx,在[0,2]上积分得:22041222edxeexx。五、21424124181222tttttdxdy,22884121)44(23222tttttdxyd.六、交点:)3231()3231(,,,,S=694)231(|12|32322323222dyydyyy。七、由拉格朗日定理:设xxf)(,则)(211xxxx,其中1)(0x,解出][2141)(2xxxx,0]121[21)('2xxxx,(因xxx22)21()3所以)(x单增,21)(limxx,41)(lim0xx,从而21)(41x2002级高等数学I试题(B卷)一.填空题(每小题3分,共30分)1.极限])1(2sin)1ln(cos[lim220xxxxxexx=2.设2sin0xxdx,=___________________________xd1.3.x21的n阶麦克劳林展开式为(带皮亚诺型余项)____________________.4.nnnn...21lim=______________7.pnnndxpxxxsinlim=__________(p0)。8、当k为___________________时,广义积分)()(abxbdxbak收敛)0(k。9.极限]cos1[coslimxxx的结果是_________。10.1x是函数1111xe的_________间断点(请填:跳跃、可去、无穷、振荡之一)。二、计算题:(每小题5分,共30分)1.dxexx322.dxxx102)1()2ln(3.)12ln()13ln(lim32nnnnn4.)1ln(10)(coslimxxxx5.dxx101116.已知)0()0(2arctan)(2xxxxxf,求)('xf三、(6分)求由曲线022yxxxy与所围图形的面积。四、(6分)求函数353151)(xxxf的极值,并说明是极大值,还是极小值。五、(7分)设xxxf)1ln()(ln,求dxxf)(。六、(7分)求证不等式:)0()1ln(1xxxxx,。八、(7分)设)(xf在区间[0,1]上可导,且满足关系式2100)(2)1(dxxxff,证明在)1,0(4内存在一点使得)()('ff。答案一、1、12ln;2、xxxxcossin2;3、)(2)1(210niniixox;4、32;7、1;8、1k;9、0;10、跳跃二、1、cxxex)392272(232、3ln232ln3;3、32;4、21e;5、令tx1,)21ln(2ln22221220dttt;6、xxfxfxxxfx2)(,0;)0(',0;412)(',02不存在三、交点为(0,0),(3,-3),S=29)](2[302dxxxx四、24)('xxxf,令0)('xf,得110、、x0x不取极值,1x取极小值,1x取极大值五、xxeexf)1ln()(,cxeedxeedxxfxxxx)1ln()1()1ln()(六、令)0()(),0(01)(',)1ln()(fxfxxxxfxxxf,即证xx)1ln(令)0()(),0(0)1()(',1)1ln()(2gxgxxxxgxxxxg,即证)1ln(1xxx八、令)()(xxfxF,由0)(2)1(210dxxxff,得)21,0(1,使)1()(11ff从而)1()(1FF,由Rolle定理,)1,0(,使得0)('F,即)()('ff2003级高等数学(I)试题(A卷)50图1图2图3一.单项选择题(每小题2分,共12分)1.当0x时,xx1sin是_______.(A)无穷大量;(B)无穷小量;(C)无界量;(D)有界量,但不是无穷小量。2.)(xF在],[ba上是)(xf的原函数,则下列式子正确的是_______.(A)cxFxdf)()(;(B)dxxFdxxfd)()(;(C)cxFdxxf)()(;(D)cxfdxxF)()(。3.已知0)(limAxfax,则下列说法正确的是_______.(A)0)(xf;(B)0)(xf;(C)),((0)(,00aUxxf使得;(D)0)(xf。4.已知函数)(xf在],[ba的图形(如图1),则下列说法正确的是_______.(A)0)(xf,0)('xf;(B)0)('xf,0)(''xf(C)0)('xf,0)(''xf;(D)0)('xf,0)(''xf。5.曲线)(xf与x轴、ax、bx所围成的三部分为A、B、C(如图2),它们的面积分别为2、12、4,设badxxf)(=M,badxxf|)(|=N,则下列说法正确的是_______.(A)函数f(x)未知,M,N不可求;(B)M=18,N=6;(C)M=12,N=18;(D)M=6,N=18。6.2x是函数211)(xxexf的。(A).连续点;(B).可去间断点;(C)..跳跃间断点;(D).第二类间断点二.填空题(每小题2分,共12分)1.设12xexy,则'y=______。ρ=aθab0xyy=f(x)ABCab0xyy=f(x)2πa62.xe2的n阶麦克劳林展开式为_______。3.2)(lnxxdxe________________。4.dxexxx)(cos22___________。5.曲线y=sinx在点(2,1)处的曲率=__________。6.函数49623xxxy在]2,1[上的最大值为__________。三、求极限(每小题4分,共8分)1.xxxxxarcsinsinlim202.nnnn2lim四、求导数dxdy(每小题4分,共8分)1.2412arctanxxy;2.)12arctan(1202tyduuxt.五、求积分(每小题4分,共8分)1.dxexx2;2.1145xxdx.六、(8分)求函数353151)(xxxf的极值。七、(8分)设221)(xtdtexf,计算积分10)(dxxxf。八、(10分)阿基米德(Archimedes,公元前287-212)很早就发现了螺线a(后人称之为阿基米德螺线)的一周与极轴所围成的图形面积S1和圆的面积S2(半径为a2)之间的关系(如图3),请你计算S1的大小以及图中螺线一周的弧长,并指出S1是S2的几分之几。九、(6分)设函数)(xf在],[ba上具有连续导函数)(xf,且0)()(bfaf,证明:2)(4)(abMdxxfba,其中|)(|],[xfMaxMbax。2003级高等数学(I、A)答案一、B、C、C、C、D、C二、1.12)12(xex;2.)(!2...!24212nnnxoxnxx(Langrange余项也对);3.1;4.223ee;5.1;6.8.7三、1.61;2.2e.四、1.22)41(2arctan82xxx;2.2241])12(1[1tt五、1.Cexxx)22(2;2.令tx45,原式=61)5(81312dtt.六、令0)1()(22xxxf,得驻点1,0xx,极大值:152)1(f;极小值:152)1(f七、42)(xxexf,原式=)11(41)(211031024edxexdxxfx。八、32220213421adaS=23231)4(31Sa)]412ln(2141[12220220222adadaal或)]2(2141[2arsha九、)(|))((||)()(||)(|axMaxfafxfxf;)(|))((||)()(||)(|xbMxbfxfbfxf;故bbabaababadxxfdxxfdxxfdxxf22|)(||)(||)(|)(.)(4)()(222abMdxxbMdxaxMbbabaa2003级高等数学(I)试题(B卷)一.单项选择题(每小题2分,共10分)1.当0x时,xx1arctansin是__
本文标题:02-07级高数I期末试卷
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