02-07级高数I期末试卷

12002级高等数学I试题（A卷）一．填空题（每小题2分，共26分）1．设)12(sin2xxy，则'y=。2.已知0)(2sinlim30xxxfxx,则20)(2limxxfx=。3.设)(xf在[1,3]上具有连续导数，则dxxfxf312)]([1)('________。5.当1x时，已知1xx和kxa)1(是等价无穷小，则a=_____，.___k6、(1,3)为曲线23bxaxy的拐点，则a=____，b=______。7.0x是函数xxexsin111的_________间断点。8.已知61)(2xxxf,则)0()100(f=___________.9.设)(xyy是由方程202xxytyedte所确定的隐函数，则0|xdxdy=_________.12.曲线xyln上曲率最大的点为__________________。13.极限nnnn!lim的结果为_________。.二、计算题(每小题4分，共24分)1.xxdtttxxsin030)1ln(sinlim2xxxxesin1023lim3.xdxx2cos24dxxcos2115.dxex||6.31221xxdx三、(6分)求xxey2在]2,0[上的最大与最小值，并证明：22041222edxeexx。五、(6分)已知曲线)(xyy的参数方程)41ln(2arctan2ttytx，求22dxyddxdy，。六、(6分)求由曲线xyxy1222与所围图形的面积。七、(6分)设0x，证明：)(211xxxx，其中)(x满足不等式21)(41x。答案2一、1.)24sin(2)12(sin212xxxx2.343.)1(arctan)3(arctanff5.1,1ka6.29,23ba7.跳跃8.)321(5!1001011019.412.22ln21，13.e1二、121)sin1ln()cos1(sinlimcossin)sin1ln(cos1lim3030xxxxxxxxx21sin)2(1120)211(limexxexxxexexxxxx3.cxxxxxdxxxxxxdx2sin412cos212sin212sin2sin21)2(sin212224.cxxctdttdxxxt2tan32tan3ln31333ln3132cos211,2tan25.21100dxedxexx6.令txtan原式=322sincos342dttt三、0)12('2xeyxx,得21x，41)21(ey，又，1)0(y2)2(ey，所以，最大值为2e,最小值41e，从而有2412edxeexx，在[0,2]上积分得：22041222edxeexx。五、21424124181222tttttdxdy，22884121)44(23222tttttdxyd.六、交点：)3231()3231(，，，，S=694)231(|12|32322323222dyydyyy。七、由拉格朗日定理：设xxf)(,则)(211xxxx,其中1)(0x，解出][2141)(2xxxx，0]121[21)('2xxxx,(因xxx22)21()3所以)(x单增，21)(limxx，41)(lim0xx，从而21)(41x2002级高等数学I试题（B卷）一．填空题（每小题3分，共30分）1．极限])1(2sin)1ln(cos[lim220xxxxxexx=2．设2sin0xxdx，=___________________________xd1.3．x21的n阶麦克劳林展开式为(带皮亚诺型余项)____________________.4.nnnn...21lim=______________7.pnnndxpxxxsinlim=__________(p0)。8、当k为___________________时,广义积分)()(abxbdxbak收敛)0(k。9.极限]cos1[coslimxxx的结果是_________。10.1x是函数1111xe的_________间断点(请填:跳跃、可去、无穷、振荡之一)。二、计算题:(每小题5分，共30分)1.dxexx322.dxxx102)1()2ln(3.)12ln()13ln(lim32nnnnn4.)1ln(10)(coslimxxxx5.dxx101116.已知)0()0(2arctan)(2xxxxxf，求)('xf三、(6分)求由曲线022yxxxy与所围图形的面积。四、(6分)求函数353151)(xxxf的极值，并说明是极大值，还是极小值。五、(7分)设xxxf)1ln()(ln，求dxxf)(。六、(7分)求证不等式：)0()1ln(1xxxxx，。八、(7分)设)(xf在区间[0,1]上可导，且满足关系式2100)(2)1(dxxxff,证明在)1,0(4内存在一点使得)()('ff。答案一、1、12ln;2、xxxxcossin2;3、)(2)1(210niniixox;4、32;7、1;8、1k;9、0;10、跳跃二、1、cxxex)392272(232、3ln232ln3;3、32;4、21e;5、令tx1，)21ln(2ln22221220dttt;6、xxfxfxxxfx2)(,0;)0(',0;412)(',02不存在三、交点为(0,0),(3,-3),S=29)](2[302dxxxx四、24)('xxxf,令0)('xf,得110、、x0x不取极值,1x取极小值,1x取极大值五、xxeexf)1ln()(,cxeedxeedxxfxxxx)1ln()1()1ln()(六、令)0()(),0(01)(',)1ln()(fxfxxxxfxxxf,即证xx)1ln(令)0()(),0(0)1()(',1)1ln()(2gxgxxxxgxxxxg,即证)1ln(1xxx八、令)()(xxfxF,由0)(2)1(210dxxxff,得)21,0(1,使)1()(11ff从而)1()(1FF,由Rolle定理,)1,0(,使得0)('F,即)()('ff2003级高等数学(I)试题（A卷）50图1图2图3一．单项选择题（每小题2分，共12分）1．当0x时，xx1sin是_______.（A）无穷大量；（B）无穷小量；（C）无界量；（D）有界量，但不是无穷小量。2．)(xF在],[ba上是)(xf的原函数，则下列式子正确的是_______.（A）cxFxdf)()(；（B）dxxFdxxfd)()(；（C）cxFdxxf)()(；（D）cxfdxxF)()(。3．已知0)(limAxfax，则下列说法正确的是_______.（A）0)(xf；（B）0)(xf；（C）),((0)(,00aUxxf使得；（D）0)(xf。4．已知函数)(xf在],[ba的图形(如图1），则下列说法正确的是_______.（A）0)(xf，0)('xf；（B）0)('xf，0)(''xf（C）0)('xf，0)(''xf；（D）0)('xf，0)(''xf。5．曲线)(xf与x轴、ax、bx所围成的三部分为A、B、C（如图2），它们的面积分别为2、12、4，设badxxf)(=M，badxxf|)(|=N，则下列说法正确的是_______.（A）函数f(x)未知，M，N不可求；（B）M=18，N=6；（C）M=12，N=18；（D）M=6，N=18。6.2x是函数211)(xxexf的。（A）.连续点；（B）.可去间断点；（C)..跳跃间断点；（D）.第二类间断点二．填空题（每小题2分，共12分）1．设12xexy，则'y=______。ρ=aθab0xyy=f(x)ABCab0xyy=f(x)2πa62.xe2的n阶麦克劳林展开式为_______。3.2)(lnxxdxe________________。4.dxexxx)(cos22___________。5.曲线y=sinx在点（2，1）处的曲率=__________。6.函数49623xxxy在]2,1[上的最大值为__________。三、求极限(每小题4分，共8分)1.xxxxxarcsinsinlim202.nnnn2lim四、求导数dxdy(每小题4分，共8分)1．2412arctanxxy；2.)12arctan(1202tyduuxt.五、求积分(每小题4分，共8分）1．dxexx2；2.1145xxdx.六、(8分)求函数353151)(xxxf的极值。七、(8分)设221)(xtdtexf，计算积分10)(dxxxf。八、(10分)阿基米德（Archimedes,公元前287-212)很早就发现了螺线a（后人称之为阿基米德螺线）的一周与极轴所围成的图形面积S1和圆的面积S2（半径为a2）之间的关系（如图3），请你计算S1的大小以及图中螺线一周的弧长，并指出S1是S2的几分之几。九、(6分)设函数)(xf在],[ba上具有连续导函数)(xf，且0)()(bfaf，证明：2)(4)(abMdxxfba，其中|)(|],[xfMaxMbax。2003级高等数学（I、A）答案一、B、C、C、C、D、C二、1．12)12(xex；2.)(!2...!24212nnnxoxnxx(Langrange余项也对）;3.1;4.223ee;5.1;6.8.7三、1．61；2.2e.四、1．22)41(2arctan82xxx；2.2241])12(1[1tt五、1．Cexxx)22(2；2.令tx45,原式=61)5(81312dtt.六、令0)1()(22xxxf，得驻点1,0xx，极大值：152)1(f；极小值：152)1(f七、42)(xxexf，原式=)11(41)(211031024edxexdxxfx。八、32220213421adaS=23231)4(31Sa)]412ln(2141[12220220222adadaal或)]2(2141[2arsha九、)(|))((||)()(||)(|axMaxfafxfxf；)(|))((||)()(||)(|xbMxbfxfbfxf；故bbabaababadxxfdxxfdxxfdxxf22|)(||)(||)(|)(.)(4)()(222abMdxxbMdxaxMbbabaa2003级高等数学(I)试题（B卷）一．单项选择题（每小题2分，共10分）1．当0x时，xx1arctansin是__