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当前位置:首页 > 商业/管理/HR > 市场营销 > 0230第七章线性变换(习题二)
1第七章习题课(一)一、复习内容1、线性空间的值域、核的概念及表示法;2、线性变换A的秩(A)r、A的零度(A)nul的概念;3、线性变换A的秩、零度与线性空间的维数之间的关系;4、等式1AA(0)VV是否成立?5、若A是线性空间V的一个线性变换,12,,,n是V的一组基,则A?V。若A在基12,,,n的矩阵是A,则A的秩为?6、不变子空间(A子空间)的概念;7、线性变换A的值域与核的概念。二、新课讲解1、设A是n维线性空间V的线性变换,是V中一个非零向量。证明:如果21,A,A,,A(1)kk线性无关,而21,A,A,,A,Akk线性相关,那么1)211(,A,A,,A)kVL是A子空间;2)211(,A,A,,A)kVL是包含的最小A子空间。证明:1)因为21,A,A,,A(1)kk2线性无关,而21,A,A,,A,Akk线性相关,所以Ak可以由21,A,A,,Ak线性表示。因此21,A,A,,Ak在A下的象都在1V中,故1V是A子空间。2)如果A子空间W包含,则W包含的象A,A的象2A,…,2Ak的象1Ak,所以211(,A,A,,A)kWVL,即211(,A,A,,A)kVL是包含的最小A子空间。2、32314P设1234,,,是四维线性空间V的一组基,已知线性变换A这组基下的矩阵为1021121312552212A2)求A的值域与核;解:设A在基1234,,,的矩阵为A,先求1A(0)。令1A(0),它在1234,,,下的坐标为/1234(,,,)xxxx,A在1234,,,下的坐标为/(0,0,0,0),于是12340000xxAxx,解此方程组得一组基础解系为314320,21201,所以令1123432,21242,因此12,是1A(0)的一组基,且112A(0)(,)L。再求AV。显然A2rank,故AV的维数为2,因为A的前两列不成比例,所以11234A2,2234A222线性无关,是AV的一组基,即12A(A,A)VL。3、32524P1)设12,是线性变换A的两个不同的特征值,12,是分别属于12,的特征向量,证明:12不是A的特征向量;2)证明:如果线性空间V的线性变换A以V中每个非零向量作为它的特征向量,那么A是数乘变换。解:1)因为111A,222A,且12,所以121122A()。(反证法)若12是A的特征向量,则有1212A()(),故有121122(),即112()()0,由于12,线性无关,故有120。与12,是不同的特征值矛盾。所以12不是A的特征向量。2)取V的一组基12,,,n,并设4A(1,2,,)iiiin,由1)知12nk(否则,若ij时,ij,则12也不是特征向量,与题设矛盾)。从而对任何向量,都有A,故A是数乘变换。4、32825P设V是复数域上的n维线性空间,A,B是V的线性变换,且ABBA。证明:1)如果0是A的一特征值,那么0V是B的不变子空间;2)A,B至少有一个公共特征向量。证明:1)设0V,则0A,所以00A(B)(AB)(BA)B(A)B()(B),即0BV。故0V是B的不变子空间。2)由于0V是B的不变子空间,记00BBV,在复数域上,0B必有特征值,即有0,0V,使0B。所以0BB。而0V,故0A,因此是A与B的公共特征向量。5、补充题一、设矩阵0011100Axy可相似于对角矩阵,求x和y应该满足的条件.解:A的特征多项式为201||1(1)(1)10EAxy,故A有特征值11(二重),21(一重).又A可对角化当且仅当iEA秩()等于3减去i的重数,即A可对5角化当且仅当121,2EAEA秩()秩()。而1101101000101000EAEAxyxy,2101101202101000EAEAxyxy,故A可对角化00xyxy.二、设矩阵11124233Aa相似于矩阵20002000Bb,(1)求a和b的值.(2)求可逆矩阵P,使1PAPB.解:(1)由于A、B的行列式为111||2426633Aaa,200||020400Bbb由题设A、B相似,故||||,()()ABtrAtrB,即664,54abab,解得5,6ab.(2)由题设A特征值为2,6.解得(2)0EAx的基础解系为12(1,1,0),(1,0,1).解得(6)0EAx的基础解系为3(1,2,3).所以111102013P.三、对任意的3123(,,)Pxxx,定义3P上线性变换123123123()(,2,33)xxxxxxxxx,试求的核和值域.6解:取3P的一组基123(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),则1123()(1,1,1),2123()(1,2,3)23,2123()(1,1,3)3,在该基下的矩阵为111A121133,即123123(,,)(,,)A。若1(0),令112323(,,)xxx,则()0,故111232123233()(,,)(,,)0xxxAxxx,即1230xAxx。次齐次线性方程组的解为32kkk,其中k为数域中任意常数.的核为1(0){(3,2,)|}kkkkP.的值域为3121212()((),()){(1,1,1)(1,2,3)|,}PLkkkkP.四、设3[]Pt的线性变换22011012012012()(2)(33)aatataaaaaataaat,试求的核和值域.解:取3P[t]的一组基21,,tt,则2(1)1tt,2()123ttt,22()13ttt,7在该基下的矩阵为111A121133,经初等行变换有103A012000,所以1230xAxx的解为32kkk,其中k为数域中任意常数.的核为12(0){(32)|}ttkkP.的值域为2231212[]((1),()){(1)(123)|,}PtLtkttkttkkP.5、课堂练习设A是线性空间V的线性变换。1)证明:A是可逆的充要条件是1A(0)0且AVV。2)问:只有1A(0)0或者AVV一个条件成立,是否能得出A是可逆的线性变换。1)证明:因为A是可逆的充要条件是,A既是单射又是满射。而A既是单射的充要条件是1A(0)0;A是满射的充要条件是AVV。所以A可逆的充要条件是1A(0)0且AVV。2)证明:对于有限维线性空间来说,由于1A(0)AVV维维维,因此1A(0)0或者AVV一个条件成立,都可以推出A是可逆的线性变换。但对于无限维线性空间来说,这一结论不成立。8例如:[]VPx,微商线性变换/D(())()fxfx,满足:DVV,但D没有逆变换。同学们自己举例说明,线性变换满足1B(0)0,但不是可逆线性变换的例子。又例如:[]VPx,线性变换B(())()fxxfx,显然满足:1B(0)0,但B不可逆。(因为B不是满射)。
本文标题:0230第七章线性变换(习题二)
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