02第二章_静电场(定稿4学时)

第二章静电场静电场：由静止电荷产生的、场分布不随时间变化的电场。基本概念：点电荷：)()()()(0000zzyyxxqrrqqdrrq)(02.1电场强度与库仑定理FE0qEEF定义：电场强度：设在电场中某点处一个带正电量的试验电荷ｑ受到的电场力为，则该点处的电场强度为：含义：（１）电场强度表示在电场中某点处一个单位正电荷受到的作用力。（２）定义式中极限是为了在引入试验电荷时不致影响场源电荷的状态（亦即不影响电场本身的分布）；（３）的方向与带正电荷的试验电荷的受力方向一致；（４）要得到电场强度的解，首先须求出，由此引出如下的库仑定律。qFEq/lim0单位：：牛顿，：库仑：伏特/米（V/m）FqE真空中相距Ｒ的两个点电荷间具有相互作用力（静电力），其中受到的作用力为：其中是由指向的单位矢量，称为真空中的介电常数,其值为:21,qq2q1qRRRqqaRqqFR202120211244RRaR1q2qmF/10854.8120129018.85410/10/36FmFm库仑定律：（实验定律）0根据的定义，若在库仑定律的表达式中，将视为场源电荷ｑ，视为试验电荷，则所在处的场强为：（在球坐标系下：）（式中，：场点的位置矢，：源点的位置矢，）E1q2qRRqaRqER302044Rq140用矢径的梯度表示211RaRR3'0'4rrrrq用矢径表示r'r'rrR2q21REnqqq,,21NnRnnnaRqE1204库仑定律告诉我们：1.点电荷场强大小按距离平方反比变化：；2.场强与点电荷的电量成正比，所以静电场的场强具有线性可迭加性，表现在如下几方面：Ａ．由Ｎ个点电荷（）形成的一个静电场，其场中某点处的场强为（矢量和）：RnnqRnanR是点电荷到场点的距离，是沿矢径的单位矢Ｂ．以体密度分布于体积中的体电荷，其场点处的场强为：（其中为体电荷元）3'0'''/lim,,'mCqzyx'zyxP,,'''''''20''''20''''0''''0,,4,,1411,,4,,4RRxyzdEaRxyzadRxyzdRxyzdR'''',,dzyx注意；１．式中以场点坐标为变量进行运算；２．式中积分是以源点坐标为变量进行运算。３．R1RaRR211'22111RRaRaRRＣ．以面密度分布于表面上的电荷，在场点处的场强为：（其中为面电荷元）'''''20,,lim//ssxyzqsCm'szyxP,,'''''''20''''0''''0,,1411,,4,,4sRsssssxyzdsEaRxyzdsRxyzdsR'''',,dszyxsＤ．以线密度分布于一条线上的电荷，在场点处的场强为：（其中为线电荷元）mclqzyxll//lim,,'0''''zyxP,,''''''0''''011,,4,,4llllxyzdlRxyzdlR'''''20,,14lRlxyzdlEaR'''',,dlzyxl'dsddaaddadscoscos'2例：一个半径为a的孤立导体球,总电量为Q.求球内外的场强。解题中注意以下几点：必须明确“导体的电荷分布于导体表面，孤立导体球的电荷均匀分布于球的表面”，由此可求出电荷面密度；面元的选取及面积分积分顺序选取的技巧：一般，但此题中，应选：ddaaddasdsin)sin(2球外场点的电场与位于球心的点电荷Ｑ的电场相同，球内场强恒为零（静电屏蔽）。2.2真空中静电场的基本方程环路定理）（高斯定理）(01100ldEqdsdEcSdAsdAS0Edq（注：闭合面Ｓ和闭合回路Ｃ均为任意）应用散度定理，可得到高斯定理的微分形式：其中：（为闭合面Ｓ包围的体积）积分形式：应用斯托克斯定理可得到静电场环路定理的微分形式：这样，得到真空中静电场的基本方程微分形式：sdAldAsc0E00EE'''''0,,4xyzEdR可以利用体电荷分布情况下的场强公式来直接证明这两个方程EEq0ldEqldEqldFccc静电场基本方程的物理意义：1.场强沿闭合面Ｓ的通量恒等于闭合面所包围的总电量与真空介电常数之比；2.环路定理（即第二式）表明静电场是一个保守场，当在场中沿闭合路径移动一个电荷ｑ时，电场力作的功为；3.高斯定理的微分形式表明，电场的散度仅由电荷的分布（体密度）决定。在已知场强的情况下，可由此式求出该点处的场源；EgradEzayaxaEzyxlEl()llllddEaEadldlldEdlEdl4.环路定理的微分形式表明静电场是无旋场，它使我们可用一个标量函数来表示矢量场：标量函数称为静电场的电位函数。在直角坐标系中，上式变为：则沿任意方向的投影为：（沿方向的方向导数）则Ａ点与Ｂ点的电位差（电压）为：零电位点的选取：一般取无穷远处电位为零。当Ｐ点为无穷远点，且选为零电位点时，则有AAABBBzyxzyxBAABldEU,,,,APAAPUAAAPPPzyxzyxldE,,,,PPPAAAzyxzyxldE,,,,ArldE即：)(电位的计算公式ArAldEA点的电位就是把一个单位正电荷由A点移动到零电位点（无穷远点）过程中，电场力所做的功naEEnnsnhs证明：导体表面的面电荷密度为证明要点：1.运用高斯定理的积分形式；2.作一个闭合面S；3.注意导体内部场强为零，及导体外表面处的场强与表面垂直，所以ns0nEssEsdEnssns00012.3泊松方程与拉氏方程E0E02022222222zyx将代入中得：上式左边梯度的散度，其运算结果为一标量，用拉普拉斯算子表示，即：（电位的泊松方程）在直角坐标系下：22222211zrrrrr22222222sin1sinsin11rrrrrr2002上述三个表达式中，直角坐标系中的须记忆。对于的点（即面电荷、线电荷、体电荷及点电荷等场源之外的点），泊松方程简化为如下齐次二阶偏微分方程（拉普拉斯方程）：在圆柱坐标系下：在球坐标系下：运用泊松方程和（或）拉氏方程可以求解静电场的边值问题。所谓“边值问题”，是指在一定的边界条件下求解泊松方程（或拉氏方程）。具体解法在第五章介绍。在某些特殊情况下，可以利用直接积分的方法求解。这些特殊的情况包括：1.求解量（电位）呈完全对称分布；2.无穷大边界面（如点电荷电场）除上述情况之外，均须用其它方法求解。raabruEln01222drdrdrdrraV例：无限长的同轴圆柱中的电场。例：孤立导体球（半径为a）的电位为V。求球外电位。得：abu)ln(lnbrbaU2.4格林函数**“点电荷”的准确描述：对于分布于体积内的电荷，当时，电荷密度，但保持体积内的总电量不变，这样的分布电荷叫做“点电荷”。可以借助于函数来表示一个位于点处、带电量为q的点电荷：根据函数的抽样性定理，可以证明上述点电荷的电量为：（当包含点时，即点）0''''zayaxarzyx''''zzyyxxqrrqqdrrq''r'r由此即可此写出一个处于点的单位点电荷产生的电位的泊松方程为：若令则有：求解时分如下步骤：1.令单位点电荷位于坐标原点，即=02.在球坐标系中解齐次二阶偏微分方程=0（除去原点外均满足该方程）3.对原点处运用高斯定律的积分形式作为边界条件求系数。'r'021rr'0',,rrrrG''2,,rrrrG'rG2可以证明（从略），上式的解为：称为无界空间中的格林函数，它是单位点电荷产生的电位与的乘积。格林函数具有对称性：在下一节我们可以看到，引入格林函数可以把电位满足的微分方程转化为积分方程求解。ssdSdGdSdE0)(41),(,'0'rrrrrrrrG',rrG0'',,GrrGrr2.5格林定理，泊松方程解的积分公式**应用格林恒等式（格林定理）可以有助于处理具有复杂边界条件的电磁场问题。原则上，应用格林函数及其由格林定理推导出的泊松方程解的积分表达式可以求解任意静电场的边值问题。由此可见格林定理的重要性。下面推导格林定理：在散度定理：（1）中，令区域内的矢量场可以由同一区域内的两个标量场如下表示：（2）将（2）代入（1），得：（3）sndSaAdAA,AsndSad2nansdSnd2sdSnd2及应用矢量恒等式：（3）式可以化为：……...（4）在（4）式中，将与对调一下，得：…….（5）BfBfBf)()()(此式来源于：sdSnnd22()r、2'20()()()rrrrr（4）式与（5）式相减，得：（6）（4）为格林第一恒等式。（6）称为格林第二恒等式（格林定理）。在（6）式中，取为格林函数，为区域内由实际场源产生的电位函数，即分别满足：'1()4rrr''''''0()11444Srrrdrdsrrnnrrrrr'r''nr'r代入（6）式，整理后得：上式称为泊松方程解的积分形式，它把区域内的电位分布表示为两个积分之和：体积分表示体积内分布电荷产生的电位，面积分表示包围体积的表面S’上的源（表面S’上的电荷面密度，以及表面S’上的等效偶极子层）产生的电位。''0()11444Srrrdrdsrrnnrrrr将其中的与互换，并利用格林函数的对称性，得到：rr0当所研究的是无边界问题时，上式中面积分为零，表明电位完全由分布电荷产生；当所研究的体积内无电荷分布（）时，则区