02第二节n阶行列式的定义

第二节n阶行列式内容分布图示★排列与逆序★例1★例2★例3★引例★n阶行列式定义★例4★例5★例6★对换★n阶行列式定义的其它形式★例7★例8★例9★内容小结★课堂练习★习题1-2★返回内容要点：一、排列与逆序定义1由自然数1,2,…,n组成的不重复的每一种有确定次序的排列，称为一个n级排列(简称为排列)。例如，1234和4312都是4级排列，而24315是一个5级排列.定义2在一个n级排列)(21nstiiiii中，若数,stii则称数ti与si构成一个逆序.一个n级排列中逆序的总数称为该排列的逆序数,记为).(21niiiN根据上述定义,可按如下方法计算排列的逆序数:设在一个n级排列niii21中,比),,2,1(ntit大的且排在ti前面的数由共有it个,则it的逆序的个数为it,而该排列中所有自然数的逆序的个数之和就是这个排列的逆序数.即.)(12121niinnttttiiiN定义3逆序数为奇数的排列称为奇排列,逆序数为偶数的排列称为偶排列.二、n阶行列式的定义定义4由2n个元素),,2,1,(njiaij组成的记号nnnnnnaaaaaaaaa212222111211称为n阶行列式,其中横排称为行,竖排称为列,它表示所有取自不同行、不同列的n个元素乘积nnjjjaaa2121的代数和,各项的符号是:当该项各元素的行标按自然顺序排列后,若对应的列标构成的排列是偶排列则取正号;是奇排列则取负号.即nnnjjjnjjjjjjNnnnnnnaaaaaaaaaaaa21212121)(212222111211)1(其中njjj21表示对所有n级排列njjj21求和.行列式有时也简记为det)(ija或||ija，这里数ija称为行列式的元素，称nnnjjjjjjNaaa212121)()1(为行列式的一般项.注:(1)n阶行列式是!n项的代数和,且冠以正号的项和冠以负号的项(不算元素本身所带的符号)各占一半;(2)nnjjjaaa2121的符号为)(21)1(njjjN(不包括元素本身所带的符号);(3)一阶行列式,||aa不要与绝对值记号相混淆.三、对换为进一步研究n阶行列式的性质，先要讨论对换的概念及其与排列奇偶性的关系。定义5在排列中，将任意两个元素对调，其余的元素不动，这种作出新排列的手续称为对换。将两个相邻元素对换，称为相邻对换。定理1任意一个排列经过一个对换后，其奇偶性改变。推论奇排列变成自然顺序排列的对换次数为奇数,偶排列变成自然顺序排列的对换次数为偶数.定理2n个自然数(n1)共有n!个n级排列，其中奇偶排列各占一半.定理3n阶行列式也定义为nnjijijisaaaD2211)1(其中S为行标与列标排列的逆序数之和.即S=)()(2121nnjjjNiiiN。推论n阶行列式也可定义为,)1(21)(2121niiiiiiNnnaaaD例题选讲：排列与逆序例1(讲义例1)计算排列32514的逆序数.例2计算排列217986354的逆序数,并讨论其奇偶性.例3(讲义例2)求排列321)1)(1(nnn的逆序数,并讨论其奇偶性.n阶行列式的定义例4(讲义例3)计算行列式0004003002001000D.例5(讲义例4)计算上三角形行列式).0(000221122211211nnnnnnaaaaaaaaa例6设,2122221112111nnnnnnaaaaaaaaaDnnnnnnnnnnabababaabababaaD221122222111112112,证明:.21DD对换例7试判断655642312314aaaaaa和662551144332aaaaaa是否都是六阶行列式中的项.例8(讲义例5)在六阶行列式中,下列两项各应带什么符号(1);651456423123aaaaaa(2).256651144332aaaaaa例9(讲义例6)用行列式的定义计算.0000000010020001000nnDn课堂练习1.若5213425)1452()432()1(kjijNkiNaaaaa是五阶行列式的一项，则kji,,应为何值？此时该项的符号是什么？2.用行列式的定义计算下列行列式:.11000010010110103.已知,1211123111211)(xxxxxf求3x的系数.