04-空间力系.

12静力学第四章空间力系第四章空间力系实际工程中，绝大多数结构所受力系的作用线往往是不在同一平面内的，即空间力系，空间力系是最一般的力系。本章将研究空间力系的简化和平衡问题。与平面力系一样，先研究空间力系的特殊情况—即空间汇交力系和空间力偶系，然后研究空间力系的一般情况—空间任意力系。3静力学第四章空间力系§4-1空间汇交力系1.力在直角坐标轴上的投影直接投影法4静力学第四章空间力系若已知力与正交坐标系Oxyz三轴正向间的夹角q、b、g。则由空间力在轴上的投影定义，可直接将力F投影在正交坐标系Oxyz三轴上gbqcos,cos,cosFFFFFFzyx5静力学第四章空间力系间接投影法6静力学第四章空间力系当力与轴Ox，Oy正向夹角不易确定时，可先将F投影到坐标平面xy上，然后再投影到x、y轴上，即gcossincosFFFxxygsinsinsinFFFxyygcosFFz这里要强调指出，空间力在轴上的投影是代数量，而在平面上的投影则是矢量。7静力学第四章空间力系与平面力类似，空间力的解析表达式为kjiFzyxFFF正向的单位矢量分别为坐标轴OzOyOx、、、、kjiFFFFFFzyx),cos(,),cos(,),cos(kFjFiF222zyxFFFF如果已知力F在x、y、z轴上的投影，则可求得力F的大小和方向余弦为8例题4-1静力学第四章空间力系解：力F的大小kN6.19222zyxFFFF力F的方向余弦及与坐标轴的夹角为,322.0cosFFyb7.76q，220.0cosFFxq1.71b,919.0cosFFzg23gxyqβγzFFxFyFzA已知车床在车削一圆棒时，由测力计测得刀具承受的力F的三个正交分量Fx，Fy，Fz的大小各为4.5kN，6.3kN，18kN，试求力F的大小和方向。9力F的方向余弦以及与坐标轴的夹角为已知力沿直角坐标轴的解析式为kN)543(kjiF试求这个力的大小和方向，并作图表示。kN5,kN4,kN3zyxFFFkN25222zyxFFFF707.0255cos566.0254cos424.0253coskF,jF,iF,1354518055.559.64gbqkF,jF,iF,解：由已知条件得所以力F的大小为例题4-2静力学第四章空间力系10三棱柱底面为直角等腰三角形，在其侧平面ABED上作用有一力F，力F与OAB平面夹角为30º，求力F在三个坐标轴上的投影。例题4-3静力学第四章空间力系利用二次投影法，先将力F投影到Oxy平面上，然后再分别向x，y，z轴投影。解：11如图所示圆柱斜齿轮，其上受啮合力Fn的作用。已知斜齿轮的啮合角(螺旋角)β和压力角q，试求力Fn沿x，y和z轴的分力。例题4-4静力学第四章空间力系12将力Fn向z轴和Oxy平面投影qqcos,sinnnFFFFxyz解：例题4-4静力学第四章空间力系将力Fxy向x，y轴投影bqbbqbcoscoscossincossinnnFFFFFFxyyxyx13沿各轴的分力为kFjFiF)sin()coscos()sincos(nnnqbqbqFFFzyx例题4-4静力学第四章空间力系14静力学第四章空间力系合力在x、y、z轴的投影为niziznzzzniyiynyyynixixnxxxFFFFFFFFFFFFFFF1211211212.空间汇交力系的合力与平面汇交力系类似，空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用线通过汇交点。即niin121RFFFFF)(11RkjiFFziniyixiniiFFF15静力学第四章空间力系RziRzRyiRyRxiRxFFFFFFFFFFFF),cos(),cos()cos(RRkFjFi,FR方向余弦合力矢FR的大小和方向余弦为222222R)()()(ziyixizyxFFFFFFF大小16在刚体上作用着四个汇交力，它们在坐标轴上的投影如下表所示，试求这四个力的合力的大小和方向。kN6kN2kN1kN4kN3,kN30kN10kN5kN15kN10,kN5kN2kN0kN2kN1zyxFFF由上表得解：F1F2F3F4单位Fx1202kNFy1015－510kNFz341－2kN例题4-2静力学第四章空间力系17kN31kN6305222RF所以合力的大小为316,cos,3130,cos,315,cosRRRkFjFiF8.78,,6.14,,7.83,RRRkFjFiF合力的方向余弦为合力FR与x，y，z轴间夹角kN6kN2kN1kN4kN3,kN30kN10kN5kN15kN10,kN5kN2kN0kN2kN1zyxFFF例题4-2静力学第四章空间力系18静力学第四章空间力系3.空间汇交力系的平衡条件和平衡方程由于一般空间汇交力系的最终简化结果为一合力，因此，空间汇交力系平衡的必要与充分条件为：该合力等于零，即0121RniinFFFFF由FR的大小222222R)()()(ziyixizyxFFFFFFF可得平衡方程niziniyinixiFFF1110,0,019例题4-5静力学第四章空间力系空间铰接结构形如正角锥，各棱边与底面都成倾角θ。B，C处是活动球铰链支座，D处是固定球铰链支座。顶点A的球铰链承受载荷F，不计各杆自重，试求各支座的约束力和各杆的内力。20解：例题4-5静力学第四章空间力系为求各力在轴x，y上的投影，可先向坐标面Oxy上投影，然后再向轴上投影。1.取球铰链A为研究对象,受力分析如图。qcosABABFFqcosACACFFqcosADADFF力F在坐标面Oxy上投影为零建立如图坐标系Bxyz，其中y轴平分∠CBD。由于ABCD是正交锥，所以AB与y轴的夹角为θ。21,30coscosqACACxFF30sincosqACACyFF,30coscosqADADxFF30sincosqADADyFF力FAC和FAD在轴x，y上的投影：例题4-5静力学第四章空间力系俯视图立体图22030coscos30coscosqqADACFF2.列平衡方程。0cos30sincos30sincosqqqABADACFFF0sinFFFFABADACq3.联立求解。qsin3FFFFADACAB负号表示三杆都受压力。,0xF,0yF,0zF例题4-5静力学第四章空间力系234.取球铰链B为研究对象,列平衡方程。联立求解得030sin30sinBDBCFF,0xF0sinBBAFFq0cos30cos30cosqBABDBCFFF,0yF,0zF3FFBqcot93FFFBDBC例题4-5静力学第四章空间力系qsin3FFFABBA因由结构和荷载的对称性可得3FFFDCqcot93FFCD24CqqA4545605m30BDEG桅杆式起重机可简化为如图所示结构。AC为立柱，BC，CD和CE均为钢索，AB为起重杆。A端可简化为球铰链约束。设B点滑轮上起吊重物的重量P=20kN，AD=AE=6m，其余尺寸如图。起重杆所在平面ABC与对称面ACG重合。不计立柱和起重杆的自重，求起重杆AB、立柱AC和钢索CD，CE所受的力。例题4-6静力学第四章空间力系25CqqA4545605m30BDEG1.先取滑轮B为研究对象。注意，起重杆AB为桁架构件，两端铰接，不计自重，它是一个二力构件，把滑轮B简化为一点，它的受力图如图所示。xyB6030PFABFBC,0xF030cos60cosBCABFF,0yF解：这是一平面汇交力系，列平衡方程kN,20PFBCkN6.343PFAB解得030sin60sinPFFBCAB例题4-6静力学第四章空间力系262.再选取C点为研究对象，它的受力图如图所示。此力系在Axy平面上投影为一平面汇交力系，其中：,0zF0coscos60cosqqCECDACBCFFFF先列出对Az轴的投影方程这是一空间汇交力系，作直角坐标系Axy，把力系中各力投影到Axy平面和Az轴上。60sinBCBCFF2.50sinCDCDFF2.50sinCECEFF2.5056arctanarctanACADq例题4-6静力学第四章空间力系xzAy4545BCFCEFCDFCqqFACFCEFCDBCF6027列平衡方程,0xF045sin45sinCDCEFF,0xF045cos45cosCECDBCFFFkN9.1545cos2.50sin260sinBCCECDFFFkN4.1060cos2.50cos2BCCDACFFF由此解得kN6.34ABFkN4.10ACFkN9.15CECDFF所求结果如下：xzAy4545BCFCEFCDFCqqFACFCEFCDBCF60例题4-6静力学第四章空间力系28例题4-7静力学第四章空间力系如图所示为空气动力天平上测定模型所受阻力用的一个悬挂节点O，其上作用有铅直载荷F。钢丝OA和OB所构成的平面垂直于铅直平面Oyz,并与该平面相交于OD，而钢丝OC则沿水平轴y。已知OD与轴z间的夹角为β，又∠AOD=∠BOD=q，试求各钢丝中的拉力。29取O点为研究对象，受力分析如图所示，这些力构成了空间共点力系。解：例题4-7静力学第四章空间力系力F2，F3的方向通过q角和β角来表示，q是这两力各自对坐标平面Oyz的倾角，β是这两力在坐标平面Oyz上的投影对z轴的偏角。故求这两力在y轴和z轴上的投影时，须先将它们投影到Oyz平面上。30qsin22FFx例题4-7静力学第四章空间力系qcos2FFyz力F2在平面Oyz上的投影为：并与z轴成β角。故力F2在y，z轴上的投影分别为:力F3的投影可用同样方法求出。bqbqcoscossincos2222FFFFzy力F2与x轴之间的夹角为90o－q，故它在该轴上的投影为：31联立求解可得bqcoscos232FFFbtan1FF0coscoscoscos32FFFbqbq0sinsin32qqFF,0yF0sincossincos321bqbqFFF，0xF,0zF列平衡方程例题4-7静力学第四章空间力系32静力学第四章空间力系§4-2力对点的矩与力对轴的矩1.力对点的矩以矢量表示——力矩矢对平面力系，由于各力与矩心均位于同一平面内，因此用代数量表示力对点的矩就可以包含它的全部要素。但对于空间力系而言，由于各力与矩心所构成的平面（力矩作用面）的方位不同，用代数量就不足以概括其全部要素。为此引入力矩矢MO(F)来描述空间力对点的矩。33xOikhjMO(F)zA(x,y,z)yBFr静力学第四章空间力系如图所示,以r表示力作用点的矢径，则力F对点O的矩可以定义为FrFM)(O即：力对点的矩等于矩心到该力作用点的矢径与该力的矢量积。显然，上式的模等于三角形OAB面积的两倍，正好是力对点矩的大小，方位垂直于力矩作用面，指向按右手螺旋法则来确定。这样空间力对点的矩的作用效果完全可以用上面定义的力矩矢MO（F）来表示。力矩矢MO（F）是定位矢，矢端必须位于矩心O。不可随