04功和能习题解答

第四章功和能一选择题1.下列叙述中正确的是：()A.物体的动量不变，动能也不变．B.物体的动能不变，动量也不变．C.物体的动量变化，动能也一定变化．D.物体的动能变化，动量却不一定变化．解：答案是A。2.对功的概念有以下几种说法：(1)保守力作正功时，系统内相应的势能增加．(2)质点运动经一闭合路径，保守力对质点作的功为零．(3)作用力和反作用力大小相等、方向相反，所以两者所作功的代数和必为零．在上述说法中：()A.(1)、(2)是正确的；B.(2)、(3)是正确的；C.只有(2)是正确的；D.只有(3)是正确的．解：答案是C。3.如图所示，足够长的木条A置于光滑水平面上，另一木块B在A的粗糙平面上滑动，则A、B组成的系统的总动能：（）A.不变B.增加到一定值C.减少到零D.减小到一定值后不变解：答案是D。简要提示：B在A的粗糙平面上滑动，摩擦力最终使B相对于A静止下来，摩擦力是非保守内力，根据功能原理，它做的功使系统的总动能减少。当B相对于A不动时，摩擦力就不再做功。4.一辆汽车从静止出发，在平直公路上加速前进时，若发动机功率恒定，则正确的结论为：（）A.加速度不变B.加速度随时间减小AB选择题3图C.加速度与速度成正比D.速度与路径成正比解：答案是B。简要提示：在平直公路上，汽车所受阻力恒定，设为f。发动机功率恒定，则P=Fv，其中F为牵引力。由牛顿运动定律得amfF，即：fP/m-va。所以，汽车从静止开始加速，速度增加，加速度减小。5.一条长为L米的均质细链条，如图所示，一半平直放在光滑的桌面上，另一半沿桌边自由下垂，开始时是静止的，当此链条末端滑到桌边时（桌高大于链条的长度），其速率应为：（）A．gLB．gL2C．gL3D．gL321解：答案是D。简要提示：运动过程中机械能守恒，则以桌面为零势能点，初始时机械能为MgL81，其中M为链条的质量；链条末端滑到桌边时机械能为MgLM21212v。两者相等，得：gL321v6．一竖直悬挂的轻弹簧下系一小球，平衡时弹簧伸长量为d．现用手将小球托住，使弹簧不伸长，然后将其释放，不计一切摩擦，则弹簧的最大伸长量：（）A．dB.d/2；C.2d；D.条件不足无法判定．解：答案是C。简要提示：设弹簧的最大伸长量为x，由机械能守恒，有221kxmgx由：kdmg所以有：dx27.人造卫星绕地球作圆周运动，由于受到稀薄空气的摩擦阻力，人造卫星的速度和轨道半径的变化趋势应为：（）A.速度减小，半径增大B.速度减小，半径减小C.速度增大，半径增大D.速度增大，半径减小解：答案是D。选择题5图简要提示：系统机械能rGMmE2，由于阻力做负功，根据功能原理可知系统的机械能将减少。因此r将减小。再根据圆周运动方程为22rGMmrmv，rGM2v，因此速度将增大。也可以这样分析：由于阻力做负功，根据功能原理可知系统的机械能将减少。功能原理可写成rrGMmmrGMmmEEEdd)21(d)(ddd22pkvvvrf圆周运动方程为22rGMmrmv，即rGMmm2v。对此式两边求微分得到rrGMmmdd22vv利用上式，可将功能原理表示成rrGMmrrGMmrrGMmd2dd2d222rf还可将功能原理表示成vvvvvvdd2ddmmmrf因为0drf，所以dr0，dv0。即人造卫星的速度和轨道半径的变化趋势应为速度增大、半径减小。8.一颗卫星沿椭圆轨道绕地球旋转，若卫星在远地点A和近地点B的角动量与动能分别为LA、EkA和LB、EkB，则有：（）A.LBLA，EkBEkAB.LBLA，EkB=EkAC.LB=LA，EkBEkAD.LB=LA，EkB=EkA解：答案是C。简要提示：由角动量守恒，得vBvA二填空题1.质量m＝1kg的物体，在坐标原点处从静止出发在水平面内沿x轴运动，地球BA选择题8图其所受合力方向与运动方向相同，合力大小为F＝3＋2x(SI)，那么，物体在开始运动的3m内，合力所作的功W＝________________；且x＝3m时，其速率v＝________________________．解：答案是18J；6ms–1简要提示：合力所作的功为：J18d)23(d3030xxxFW由动能定理：221vmW1sm6v2.一颗速率为700ms–1的子弹，打穿一块木板后，速率降到500ms–1。如果让它继续穿过厚度和阻力均与第一块完全相同的第二块木板，则子弹的速率将降到______________________________．（空气阻力忽略不计）答案是100ms–1简要提示：由动能定理，木板对子弹所作的功为：21222121vvmmW设子弹穿透第二块木板的速率为v，有：2222121vvmmW所以12122sm1002vvv3.质量分别为m和m’的两个粒子开始处于静止状态，且彼此相距无限远，在以后任一时刻，当它们相距为d时，则该时刻彼此接近的相对速率为。解：答案是dmmG)(2简要提示：设质量为m和m′的两个粒子当它们相距为d时的速率分别为v1和v2，显然速度的方向相反。在它们运动过程中只受到相互间的万有引力作用，因此系统的机械能和动量均守恒。根据题意，相距无限远时系统的总能量为零。因此有021212221dmGmmmvv21vvmm从以上两式解出)(221mmdmGv因此两个粒子彼此接近的相对速率为dmmGmmdmGmmmmmmmm)(2)(2211121vvvvv4.如图所示，一质量为m1的托盘挂在一劲度系数为k的轻弹簧下端，一质量为m2的粘土块从离盘底高h处自由落下，假定落在盘底不回跳，则托盘离开其原先平衡位置的最大距离为。解：答案是])(211[212gmmkhkgm简要提示：托盘在平衡位置时轻弹簧伸长：kgmx11粘土块落到盘底时的速率为：gh20v设托盘和粘土块在平衡位置的速率为v，vv)(2102mmm设托盘离开平衡位置的最大距离为x2，则由机械能守恒定律22121221221)(2121)()(21xxkkxgxmmmmv由以上各式联立求解，得到最大距离])(211[2122gmmkhkgmx5.如图所示，一质量为m的物体位于质量可以忽略的直立弹簧上方高度为h处，该物体从静止开始落向弹簧，设弹簧的劲度系数为k，若不考虑空气阻力，填空题4图km2m1h则物体可能获得的最大动能为。解：答案是kgmmghE222kmax简要提示：以弹簧的平衡位置为原点，选该点为重力势能零点，则物体初始的机械能为mgh。物体与弹簧接触后，弹簧被压缩，物体的机械能守恒：mghEkymgyk221由0ddkyE，得：kmgy；kgmmghE222kmax6.一质量为2kg的物体与另一原来静止的物体发生弹性碰撞后仍沿原方向继续运动，但速率仅为原来的四分之一，则被碰撞物体的质量为。解：答案是1.2kg简要提示：由弹性碰撞的速度公式：21202102112)(mmmmmvvv得：kg2.15312mm7.逃逸速率大于真空中光速的天体称为黑洞，设黑洞的质量等于太阳的质量，为2.0×1030kg，引力常数为G=6.67×10–11Nm2kg–1，真空光速c=3.0×108ms–1，则按经典理论该黑洞可能的最大半径为m。解：答案是2.96×103m简要提示：由第二宇宙速度公式，物体要脱离太阳引力所需的速度为：RGM22v，其中M为太阳的质量。令v2等于光速c，得到：m1096.2/232cGMR三计算题1.质量为2kg的物体由静止出发沿直线运动，作用在物体上的力F随时间t变化的规律是F=4tN，方向始终不变。试求在最初2s内，力F所作的功。mh填空题5图oy解：【方法一】利用牛顿第二定律F=ma，积分1200000sm4d240ddtttmFtattvvvt根据动能定理，力F所作的功(J)16422121212122202ttmmmWvvv【方法二】先利用动量定理8td4d02121ttFppkgm/s根据动能定理，力F所作的功(J)162282212121222202mpmmmWttvvv2.用铁锤把钉子水平敲入木板，设钉子受到的阻力与钉子打入的深度成正比。第一次打击，能把钉子打入木板1cm，如第二次打击时，保持第一次打击钉子时的速度，求第二次钉子打入的深度。解：阻力与深度成正比，有F=kx，两次敲击钉子的条件相同，钉子获得的动能也相同，所以阻力对钉子作的功相同：xxkxxkx01.001.001.00dd得：0.41cmm0041.0x3.质量为2×103kg的子弹以500ms–1的速率水平飞出，射入质量为1kg的静止在水平面上的木块，子弹从木块穿出后的速率为100ms–1，而木块向前滑行了0.2m。求：（1）木块与平面间的滑动摩擦因数；（2）子弹动能和动量的减少量；（3）子弹穿出瞬间木块的动能。解：（1）设子弹和木块的质量分别为m和M，根据系统动量守恒mv0=MV+mv，得木块在子弹穿出后的速率为)s(m8.01)100500(102)(130MmVvv由功能原理2k210MVEMgxfxM得163.02.08.9264.022gxV（2）子弹动能减少(J)240)100500(10221)(21223220kvvmEm子弹动量减少：)sm(kg8.0)100500(102)(130vvmp（3）子弹穿出瞬间木块的动能(J)32.08.01212122kMVE4.弹簧原长等于光滑圆环半径R．当弹簧下端悬挂质量为m的小环状重物时，弹簧的伸长也为R．现将弹簧一端系于竖直放置的圆环上顶点A，将重物套在圆环的B点，AB长为1.6R，如图所示．放手后重物由静止沿圆环滑动．求当重物滑到最低点C时，重物的加速度和对圆环压力的大小．解：重物沿圆环滑动过程中，只有重力和弹力做功，所以机械能守恒，如图所示，有：2222121)cos6.12(21CCBmlkRRmglkv其中RlB6.0，RlC，8.02/6.1cosRR。由题意可知：kRmg，即Rmgk/所以有：gRC8.02v重物在圆环C处所受的力为重力、弹力F和环的支持力N，都沿着竖直方向，所以重物在C点的加速度为：RaCC2v由牛顿第二定律有：RmmamgFNCC2v其中mgkRF，因此RmNC2v。代入vC，可得gaC8.0计算题4图mgN8.05.如图所示，一质量为m的钢球，系在一长为R的绳一端，绳另一端固定，现将球由水平位置静止下摆，当球到达最低点时与质量为m0，静止于水平面上的钢块发生弹性碰撞，求碰撞后m和m0的速率。解：球下摆过程中机械能守恒mgR=mv2/2球速率gR2v碰撞前后动量守恒，设碰撞后m和m0的速率分别为v1和v2，所以mv=mv1+m0v2因为发生弹性碰撞，所以碰撞中动能是守恒的220212212121vvvmmm联之解得gRmmmmmmmm20001vvgRmmmmmm222002vv6.劲度系数为360Nm–1的弹簧，右端系一质量为0.25kg的物体A，左端固定于墙上，置于光滑水平台面上，物体A右方放一质量为0.15kg的物体B，将A、B和弹簧一同压缩0.2m，然后除去外力，求：(1)A、B刚脱离时B的速度；(2)A、B脱离后，A继续向右运动的最大距离。解：(1)物体AB一起运动，机械能守恒，当两物体运动到弹簧原长位置时，两物体将要分离，此时两物体的速度v满足2BA21)(2121vmmkx1BA1sm0.6)(mmkxv(2)物体A向右运动的最大距离x2满足2A22