06-10湖南省高考应用题

1/71.对1个单位质量的含污物体进行清洗，清洗前其清洁度（含污物体的清洁度定义为：1物体质量（含污物）污物质量为0.8，要求洗完后的清洁度是0.99。有两种方案可供选择。方案甲：一次清洗；方案乙：分两次清洗。该物体初次清洗后受残留水等因素影响，其质量变为)31(aa。设用x单位质量的水初次清洗后的清洁度是)1(18.0axxx。用y单位质量的水第二次清洗后的清洁度是ayacy，其中)99.08.0(cc是该物体初次清洗后的清洁度。（1）分别求出方案甲以及95.0c时方案乙的用水量，并比较哪一种方法用水量较小。（2）若采用方案乙，当a为某定值时，如何安排初次与第二次清洗的用水量，使总用水量最少？并讨论a取不同数值时对最少总用水量多少的影响。2/72．如图，某地为了开发旅游资源，欲修建一条连接风景点P和居民区O的公路，点P所在的山坡面与山脚所在水平面所成的二面角为（090），且2sin5，点P到平面的距离0.4PH（km）．沿山脚原有一段笔直的公路AB可供利用．从点O到山脚修路的造价为a万元/km，原有公路改建费用为2a万元/km．当山坡上公路长度为lkm（12l≤≤）时，其造价为2(1)la万元．已知OAAB⊥，PBAB⊥，1.5(km)AB，3(km)OA．（I）在AB上求一点D，使沿折线PDAO修建公路的总造价最小；（II）对于（I）中得到的点D，在DA上求一点E，使沿折线PDEO修建公路的总造价最小．（III）在AB上是否存在两个不同的点D，E，使沿折线PDEO修建公路的总造价小于（II）中得到的最小总造价，证明你的结论．ＯAEDBHP3/73．在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45且与点A相距402海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45+(其中sin=2626，090)且与点A相距1013海里的位置C.（I）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）;（II）若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域，并说明理由.4/7答案1.（II）设初次与第二次清洗的用水量分别为x与y，类似（I）得：545(1)cxc，(99100)yac，于是545(1)cxyc+(99100)ac1100(1)15(1)acac2．解：（I）如图，PH⊥，HB，PBAB⊥，由三垂线定理逆定理知，ABHB⊥，所以PBH是山坡与所成二面角的平面角，则PBH，1sinPHPB．设(km)BDx，01.5x≤≤．则2221PDxPBx[12]，．记总造价为1()fx万元，据题设有2211111()(1)(3)224fxPDADAOaxxaAOEDBHP5/721433416xaa当14x，即1(km)4BD时，总造价1()fx最小．（II）设(km)AEy，504y≤≤，总造价为2()fy万元，根据题设有222131()13224fyPDyya2433216yyaa．则22123yfyay，由2()0fy，得1y．当(01)y，时，2()0fy，2()fy在(01)，内是减函数；当514y，时，2()0fy，2()fy在514，内是增函数．故当1y，即1AE（km）时总造价2()fy最小，且最小总造价为6716a万元．（III）解法一：不存在这样的点D，E．事实上，在AB上任取不同的两点D，E．为使总造价最小，E显然不能位于D与B之间．故可设E位于D与A之间，且BD=1(km)x，1(km)AEy，12302xy≤≤，总造价为S万元，则221111113224xySxya．类似于（I）、（II）讨论知，2111216xx≥，2113322yy≥，当且仅当114x，11y同时成立时，上述两个不等式等号同时成立，此时1(km)4BD，1(km)AE，S取得最小值6716a，点DE，分别与点DE，重合，所以不存在这样的点DE，，使沿折线PDEO修建公路的总造价小于（II）中得到的最小总造价．解法二：同解法一得221111113224xySxya2221111111433334416xayyyyaa22111114323(3)(3)416yyyyaa≥6716a．当且仅当114x且2211113(3)(3)yyyy，即11114xy，同时成立时，S取得最小值6716a，以上同解法一．6/73．解：（I）如图，PH⊥，HB，PBAB⊥，由三垂线定理逆定理知，ABHB⊥，所以PBH是山坡与所成二面角的平面角，则PBH，1sinPHPB．设(km)BDx，01.5x≤≤．则2221PDxPBx[12]，．记总造价为1()fx万元，据题设有2211111()(1)(3)224fxPDADAOaxxa21433416xaa当14x，即1(km)4BD时，总造价1()fx最小．（II）设(km)AEy，504y≤≤，总造价为2()fy万元，根据题设有222131()13224fyPDyya2433216yyaa．则22123yfyay，由2()0fy，得1y．当(01)y，时，2()0fy，2()fy在(01)，内是减函数；当514y，时，2()0fy，2()fy在514，内是增函数．故当1y，即1AE（km）时总造价2()fy最小，且最小总造价为6716a万元．（III）解法一：不存在这样的点D，E．事实上，在AB上任取不同的两点D，E．为使总造价最小，E显然不能位于D与B之间．故可设E位于D与A之间，且BD=1(km)x，1(km)AEy，12302xy≤≤，总造价为S万元，则221111113224xySxya．类似于（I）、（II）讨论知，2111216xx≥，2113322yy≥，当且仅当114x，11y同时成立时，上述两个不等式等号同时成立，此时1(km)4BD，1(km)AE，S取得最小值6716a，点DE，分别与点DE，重合，所以不存在这样的点DE，，使沿折线PDEO修建公路的总造价小于（II）中得到的最小总造价．解法二：同解法一得221111113224xySxyaAOEDBHP7/72221111111433334416xayyyyaa22111114323(3)(3)416yyyyaa≥6716a．当且仅当114x且2211113(3)(3)yyyy，即11114xy，同时成立时，S取得最小值6716a，以上同解法一．