2011年全国高考文科数学试题及答案-福建

2011年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（文史类）本试卷第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷1至3页，第II卷4至6页。满分150分。注意事项：1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号，姓名”与考生本人准考证号，姓名是否一致。2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第Ⅱ卷用0．5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效。3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回。参考公式：样本数据x1,x2,…，xa的标准差锥体体积公式])()()[(122221xxxxxxnSn13VSh其中x为样本平均数其中S为底面面积，h为高柱体体积公式球的表面积，体积公式V=Sh2344,3SRVR其中S为底面面积，h为高其中R为球的半径第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一个项是符合题目要求的。1．若集合M=｛-1，0，1｝，N=｛0，1，2｝，则M∩N等于A．｛0，1｝B．｛-1，0，1｝C．｛0，1，2｝D．｛-1，0，1，2｝2．i是虚数单位1+i3等于A．iB．-iC．1+iD．1-i3．若a∈R，则“a=1”是“|a|=1”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件4．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名。现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为A．6B．8C．10D．125．阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是A．3B．11C．38D．1236．若关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是A．（-1,1）B．（-2,2）C．（-∞，-2）∪（2，+∞）D．（-∞，-1）∪（1，+∞）7．如图，矩形ABCD中，点E为边CD的重点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于A．14B．13C．12D．238．已知函数f（x）=。若f（a）+f（1）=0,则实数a的值等于A．-3B．-1C．1D．39．若a∈（0，2），且sin2a+cos2a=14，则tana的值等于A．22B．33C．2D．310．若a0,b0,且函数f（x）=3242xaxbx在x=1处有极值，则ab的最大值等于A．2B．3C．6D．911．设圆锥曲线I的两个焦点分别为F1，F2，若曲线I上存在点P满足1PF：12FF：2PF=4：3:2，则曲线I的离心率等于A．1322或B．223或C．122或D．2332或12．在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]={5n+k丨n∈Z}，k=0,1,2,3,4。给出如下四个结论：①2011∈[1]②-3∈[3]；③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]④“整数a，b属于同一“类”的充要条件是“a-b∈[0]”。其中正确结论的个数是A．1B．2C．3D．4第II卷（非选择题共90分）注意事项：用0．5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效。二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上。13．若向量a=（1,1），b（-1,2），则a·b等于_____________．14．若△ABC的面积为3，BC=2，C=60，则边AB的长度等于_______．15．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2。，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．16．商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，及根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b（b＞a）以及常数x（0＜x＜1）确定实际销售价格c=a+x（b-a），这里，x被称为乐观系数。经验表明，最佳乐观系数x恰好使得（c-a）是（b-c）和（b-a）的等比中项，据此可得，最佳乐观系数x的值等于_____________．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤．17．（本小题满分12分）已知等差数列{an}中，a1=1，a3=-3．（I）求数列{an}的通项公式；（II）若数列{an}的前k项和=-35，求k的值．18．（本小题满分12分）如图，直线l：y=x+b与抛物线C：x2=4y相切于点A。（I）求实数b的值；（11）求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程．19．（本小题满分12分）某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X依次为1．2．3．4．5．现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：X12345fa0．20．45bC（I）若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有4件，等级系数为5的恰有2件，求a、b、c的值；（11）在（1）的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x1,x2,x3，等级系数为5的2件日用品记为y1,y2，现从x1,x2,x3,y1,y2,这5件日用品中任取两件（假定每件日用品被取出的可能性相同），写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率。20．（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且CE∥AB。（I）求证：CE⊥平面PAD；（11）若PA=AB=1，AD=3，CD=2，∠CDA=45°，求四棱锥P-ABCD的体积21．（本小题满分12分）设函数f（）=3sincos，其中，角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P（x,y），且0。（1）若点P的坐标为13(,)22，求f()的值；（II）若点P（x，y）为平面区域Ω：x+y1x1y1，上的一个动点，试确定角的取值范围，并求函数()f的最小值和最大值。22．（本小题满分14分）已知a，b为常数，且a≠0，函数f（x）=-ax+b+axlnx，f（e）=2（e=2．71828…是自然对数的底数）。（I）求实数b的值；（II）求函数f（x）的单调区间；（III）当a=1时，是否同时存在实数m和M（mM），使得对每一个t∈[m，M]，直线y=t与曲线y=f（x）（x∈[1e，e]）都有公共点？若存在，求出最小的实数m和最大的实数M；若不存在，说明理由。参考答案一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分。1——12ADABBCCADDAC二、填空题：本大题考查基础知识的基本运算，每小题4分，满分16分。13．114．215．216．512三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17．本小题主要考查等差数列的基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，满分12分。解：（I）设等差数列{}na的公差为d，则1(1).naand由121,3123.aad可得解得d=-2。从而，1(1)(2)32.nann（II）由（I）可知32nan，所以2[1(32)]2.2nnnSnn进而由2135235,Skk可得即22350kk，解得75.kk或又*,7kNk故为所求。18．本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，满分12分。解：（I）由22,4404yxbxxbxy得，（*）因为直线l与抛物线C相切，所以2(4)4(4)0,b解得b=-1。（II）由（I）可知21,(*)440bxx故方程即为，解得x=2，代入24,1.xyy得故点A（2，1），因为圆A与抛物线C的准线相切，所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y=-1的距离，即|1(1)|2,r所以圆A的方程为22(2)(1)4.xy19．本小题主要考查概率、统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查函数与方程思想、分类与整合思想、必然与或然思想，满分12分。解：（I）由频率分布表得0.20.451,abc即a+b+c=0.35，因为抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，所以30.15,20b等级系数为5的恰有2件，所以20.120c，从而0.350.1abc所以0.1,0.15,0.1.abc（II）从日用品1212,,,xxyy中任取两件，所有可能的结果为：12131112232122313212{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,}xxxxxyxyxxxyxyxyxyyy，设事件A表示“从日用品12312,,,,xxxyy中任取两件，其等级系数相等”，则A包含的基本事件为：12132312{,},{,},{,},{,}xxxxxxyy共4个，又基本事件的总数为10，故所求的概率4()0.4.10PA20．本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，几何体的体积等基础知识；考查空间想象能力，推理论证能力，运算求解能力；考查数形结合思想，化归与转化思想，满分12分（I）证明：因为PA平面ABCD，CE平面ABCD，所以.PACE因为,//,.ABADCEABCEAD所以又,PAADA所以CE平面PAD。（II）由（I）可知CEAD，在RtECD中，DE=CDcos451,sin451,CECD又因为1,//ABCEABCE，所以四边形ABCE为矩形，所以1151211.222ECDADCEABCDSSSABAECEDE矩形四边形又PA平面ABCD，PA=1，所以11551.3326PABCDABCDVSPA四边形四边形21．本小题主要考查三角函数、不等式等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想，满分12分。解：（I）由点P的坐标和三角函数的定义可得3sin,21cos.2于是31()3sincos32.22f（II）作出平面区域（即三角形区域ABC）如图所示，其中A（1，0），B（1，1），C（0，1）。于是0.2又()3sincos2sin()6f，且2,663故当,623即，()f取得最大值，且最大值等于2；当,066即时，()f取得最小值，且最小值等于1。22．本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、抽象概括能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想，满分14分。解：（I）由()22,feb得（II）由（I）可得()2ln.fxaxaxx从而'()ln.fxax0a因为，故：（1）当0,a时由f'(x)0得x1,由f'(x)0得0x1;（2）当0,'()001,'()01.afxxfxx时由得由得综上，当0a时，函数()fx的单调递增区间为(1,)，单调递减区间为（0，1）；当0a时，函数()fx的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为(1,)。（III）当a=1时，()2ln,'()ln.fxxxxfxx由（II）可得，当x在区间1(,)ee内变化时，'(),()fxfx的变化情况如下表：x1e1(,1)e1(1,)ee'()fx-0+()fx22e单调递减极小值1单调递增2又2122,'()([,])fxxeee所以函数的值域为[1，