1-4无穷小与无穷大

高等数学教案-26-§1.4无穷小与无穷大教学目标：1.掌握无穷小(大)量及其阶的概念；2.能够运用无穷小(大)量求函数极限。教学重点：用等价无穷小(大)求极限教学过程：第一课时无穷小与无穷小数列的概念相类似,我们给出关于函数为无穷小量的定义.1、定义：如果函数()fx当xa（或x）时的极限为0，则称函数()fx为xa（或x）时的无穷小量，简称无穷小。例如：当0x时，函数2,sin,tanxxx都是无穷小；当1x时，函数31,21xxx都是无穷小；当x时，函数1,(||1),arctan2xqqxx都是无穷小；当x时，数列231{},{}1nnn都是无穷小。下面给出无穷小与函数极限的关系2、定理：极限lim()xafxA存在的充要条件是函数()fx可表示为()fxA，其中是xa时的无穷小。另述为：lim()(),xafxAfxA其中是xa时的无穷小。略证：（必要性）lim()lim[()]0xaxafxAfxA，令()fxA，则是xa时的无穷小，且()fxA。这表明，()fx等于它的极限和一个无穷小之和。（充分性）(),fxA设其中是xa时的无穷小，于是lim()lim()xaxafxAlim.xaAA这样，函数极限的问题可转化为对无穷小问题的讨论。3、无穷小的运算性质（1）在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.（2）有界函数与无穷小的乘积是无穷小.（特例：常数与无穷小的乘积是无穷小.）4、无穷小的比较高等数学教案-27-无穷小是以0为极限的变量，但收敛于0的速度有快有慢。例如，三个无穷小1{}n，21{}n，31{}()nn收敛于0的速度不一样.31{}n快于21{}n，21{}n快于1{}n.那么到底什么叫“快”，快到什么程度.不容易理解.下面我们就从数学的角度考察两个无穷小量的比，以便对它们的收敛速度作出判断．**定义：设()fx与()gx（xa）都是无穷小，且()0gx.()1lim0,,()(())().()xafxxafgfxogxxagx（）若则称当时，为的高阶无穷小记作()2lim0,()xafxbxafggx（）若则称当时,与是的同价无穷小.()3lim1,()~()()()xafxxafgfxgxxagx（）若则称当时,与是的等价无穷小,记作.例如：211)nnn＝0（）（，211xx与在1x时是同阶无穷小，sinxx与在0x时是等阶无穷小。【常用的等价无穷小：当0x时，sintanarcsinxxxxx（、、arctanx、e-1、ln(1+x)），211cos2xx.运用等阶无穷小，可以求函数极限。】**定理：设xa当时，()~()fxfx，()~()gxgx，且()lim()xafxgx存在，则()()limlim()()xaxafxfxgxgx.略证：()()~()lim1()xafxfxfxfx，()()~()lim1()xagxgxgxgx，所以()()()()()()()()limlimlimlimlimlim.()()()()()()()()xaxaxaxaxaxafxfxfxgxfxfxgxfxgxgxgxfxgxfxgxgx以后在求两个无穷小之比的极限，分子分母都可用等价无穷小来代替，这样可以简化计算。例1求0sin2lim.sin3xxx例2求30tan2lim.5xxxx高等数学教案-28-第二课时无穷大绝对值无限增大的变量称为无穷大.1、定义：如果对任意给定的正数M（不论它多么大），总存在正数，使得对适合不等式0xa的一切x,均有()fxM,则称函数()fx当xa时为无穷大。此时函数极限不存在，但为了表达函数的这一性态，我们也说“函数的极限时无穷大”，记作lim().xafx同样定义lim(),xafxlim().xafx说明：无穷大量不是很大的数，而是具有非正常极限的函数；无穷大量是无界函数，但无界函数却不一定是无穷大量.2、例3证明11lim.1xx证：任给M0,要使1||1Mx,只需1|1|xM.取10M，则对于满足不等式0xa的一切x,均有1||1Mx，所以11lim.1xx3、无穷大与无穷小的关系定理:如果()fx（xa）为无穷大，则1()fx（xa）为无穷小；反之，如果()fx（xa）为无穷小，且()0fx，则1()fx（xa）为无穷大4、练习求函数极限(1)x4sinxarctanlim0x；(2)30xxsinxsinxtanlim.注.在利用等价无穷小量代换求极限时，只能对所求极限式中积或商的因式进行替换，而对极限式中相加或相减部分则不能随意替换，如(2).解（2）332200000sin11sin11tansinsinsincoscoscoslimlimlimlimlimsinxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx220001cos11cos111limlimlim1.coscos22xxxxxxxxx5、小结，作业ex1、3高等数学教案-29-第三次习题课1．证明下列各式：（1）)0()(22xxOxx证明因为22lim20xxxx，所以)0()(22xxOxx（2）)0()(sin23xxOxx证明因为1sinlim230xxxx，所以)0()(sin23xxOxx（3）)0()1(11xox证明因为011lim)11(lim00xxxxx，所以)0()1(11xox（4）)0()(1)1(xxonxxn证明因为0lim)1()1(lim332200xxxCxCxnxxnnnxnx，所以)0()(1)1(xxonxxn（5）)()(2323xxOxx证明因为22lim323xxxx，所以)()(2323xxOxx（6）)())(())(())((0xxxgoxgoxgo证明由高阶无穷小量的定义有0)())((lim0xgxgoxx，于是0)())(()())((lim)())(())((lim00xgxgoxgxgoxgxgoxgoxxxx，所以)())(())(())((0xxxgoxgoxgo（7）)())()(())(())((02121xxxgxgoxgoxgo证明因为0)())((lim)())((lim)()())(())((lim22112121000xgxgoxgxgoxgxgxgoxgoxxxxxx，所以)())()(())(())((02121xxxgxgoxgoxgo2．求下列极限：（1）0cos1limcos1limcos1arctanlimxxxxxxxxxxxxx（因为111arctanlimxxx）（2）122limcos111lim22020xxxxxx（因为2~11xx，)0(2~cos12xxx