1-6连续函数的概念与性质.

第六节连续函数的概念与性质一、函数的连续性自然界中的很多现象都是连续变化的.例如气温的变很小时,温度的变化也很小.这就是化就是一个很明显的例子.所谓的连续变化指的是:当时间变化很小时,气温的变化也很小.具体地说,若以表示时刻时的温度,当时间变化很小时,即连续函数的本质特征.)(tTtt)()(tTttT1.函数的增量.,),,(,),()(0000的增量称为自变量在点内有定义在设函数xxxxxUxxUxf.)(),()(0的增量相应于称为函数xxfxfxfyxy0xy00xxx0)(xfyx0xxx0xyy)(xfy注：（1）∆x，∆y是一个整体记号；（2）∆x可正可负，∆y可正可负可为0；（3）必须指明在哪一点处的增量（即初值）．2.函数在一点处连续的定义定义1设函数)(xf在),(0xU内有定义,如果当自变量的增量x趋向于零时,对应的函数的增量y也趋向于零,即0lim0yx或0)]()([lim000xfxxfx,那末就称函数)(xf在点0x处连续,0x称为)(xf的连续点.,0xxx设),()(0xfxfy,00xxx就是).()(00xfxfy就是定义1′设函数)(xf在),(0xU内有定义,如果函数)(xf当0xx时的极限存在,且等于它在点0x处的函数值)(0xf,即)()(lim00xfxfxx，那末就称函数)(xf在点0x处连续.)(定义.)()(,,0,0)(000xfxfxxxxf有时当连续在点定义1′′.)()(,,0,0)()(lim0lim)()(0000000xfxfxxxfxfyxxfxxfyxxx有时当连续在点的某一邻域内有定义，在点设函数1定义以上函数在一点处连续的三个定义是等价的．注：①函数f(x)在点x0处连续应同时满足下列三个条件：(ⅰ)f(x)在点x0处有定义；(ⅱ)极限limx→x0f(x)存在；(ⅲ)极限值等于函数值，即limx→x0f(x)＝f(x0)．②函数f(x)在点x0处连续和在该点处有极限的联系与区别③定义1刻画了函数在一点处连续的实质：自变量变化很小时，函数值的变化也很小．例6.1.0,0,0,0,1sin)(处连续在试证函数xxxxxxf证,01sinlim0xxx,0)0(f又由定义知.0)(处连续在函数xxf),0()(lim0fxfx3.单侧连续;)(),()(lim,],()(0000处左连续在点则称且内有定义在若函数xxfxfxfxaxfxx定理.)()(00处既左连续又右连续在函数处连续在函数xxfxxf.)(),()(lim,),[)(0000处右连续在点则称且内有定义在若函数xxfxfxfbxxfxx即：f(x)在点x0处连续limx→x0＋f(x)＝limx→x0－f(x)＝f(x0)．例6.2.0,0,2,0,2)(处的连续性在讨论函数xxxxxxf解)2(lim)(lim00xxfxx2),0(f)2(lim)(lim00xxfxx2),0(f右连续但不左连续,.0)(处不连续在点故函数xxf4.区间上的连续函数定义在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续..],[)(,,,),(上连续在闭区间函数则称处左连续在右端点处右连续并且在左端点内连续如果函数在开区间baxfbxaxba连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.例6.3.),(sin内连续在区间函数证明xy证),,(xxxxysin)sin(2sin)2cos(2xxx,1)2cos(xx.2||2sinxx,0时当x.),(sin都是连续的对任意函数即xxy|2sin||)2cos(|2||0xxxy于是.||x给以增量相应函数的增量为x，x.0y由夹逼准则得0lim0yx即.),(sin内连续在区间函数从而xy(1)两个连续函数的和、差、积、商（分母不为0）仍是连续函数．注：可推广到有限个函数的情形．5.初等函数的连续性例如,可推出的连续性由,cos,sinxx.csc,sec,cot,tan在其定义域内连续xxxx.)()(的连续性函数的连续性可推出多项式由xPxxf.)()(,)(),(在其定义域内连续有理函数可推出的连续性多项式函数由xQxPxQxP(2)单调连续函数的反函数仍是单调连续函数.例如,,]2,2[sin上单调增加且连续在xy.]1,1[arcsin上也是单调增加且连续在故xy;]1,1[arccos上单调减少且连续在同理xy.],[cot,arctan上单调且连续在xarcyxy反三角函数在其定义域内都是连续的..)]([,)(,)(,)(00000也连续在点则复合函数连续在点而函数且连续在点设函数xxxfyuuufyuxxxxu（3）连续函数的复合函数仍是连续函数．例,),0()0,(1内连续和在xu,),(sin内连续在uy.),0()0,(1sin内连续和在xy.1sin的连续性讨论函数xy复合而成的和是由解1sin1sin:xuuyxy常数函数、三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的.)1,0(aaayx指数函数;),(内单调且连续在)1,0(logaaxya对数函数;),0(内单调且连续在（4）基本初等函数在其定义域内都是连续的.xyxaalog,uay.logxua,),0(内连续在,不同值讨论(均在其定义域内连续).R)(在其定义域内连续幂函数xy（5）一切初等函数在其定义区间内都是连续的.定义区间是指包含在定义域内的区间.1.初等函数仅在其定义区间内连续,在其定义域内不一定连续;例如,,1cosxy,4,2,0:xD这些孤立点的邻域内没有定义.,)1(32xxy,1,0:xxD及在0点的邻域内没有定义..),1[上连续函数在区间注:2.初等函数求极限的方法代入法.)()()(lim000定义区间xxfxfxx例6.4求极限解函数为初等函数,是定义区间内的点，).tan1ln(lim24xx)tan1ln()(2xxf)2,0(4x)tan1ln(lim24xx)4tan1ln(2.2ln小结（1）3.连续函数的和差积商的连续性.5.复合函数的连续性.6.初等函数的连续性.定义区间与定义域的区别;求极限的又一种方法.4.反函数的连续性.1.函数在一点连续必须满足的三个条件;2.区间上的连续函数;二、函数的间断点:)(0条件处连续必须满足的三个在点函数xxf;)()1(0处有定义在点函数xxf;)(lim)2(0存在极限xfxx).()(lim)3(00xfxfxx极限值等于函数值，即).()(),()(,00或间断点的不连续点为并称点或间断处不连续在点函数则称要有一个不满足如果上述三个条件中只定义xfxxxf1.定义若x0为函数f(x)的间断点，则必出现下列三种情形之一：（1）f(x)在x0处无定义；（2）f(x)在x0处有定义，但limx→x0f(x)不存在；（3）f(x)在x0处有定义，且limx→x0f(x)存在，但limx→x0f(x)≠f(x0)．2．间断点的分类例6.5函数则函数在处连续.如果补充定义：xxxfsin)(在0x处没有定义，所以0x是函数)(xf的间断点．但是这里1sinlim0xxx1)0(f令)(xf0x这里例6.6设函数1,211,)(xxxxf　　　1lim)(lim11xxfxx但，21)1(f)1()(lim1fxfx所以1x是函数)(xf的间断点．则函数在处连续.如果改变函数在处的定义：1)1(f令)(xf1x1x)(xf0x若是函数)(xf的间断点，定义)(lim0xfxx而极限存在，则称点为函数的可去间断点.0x)(xf.)()(),()(lim,)(00000的可去间断点为函数则称点义，处无定在点或但处的极限存在在点如果即：xfxxxfxfxfxxfxx若点为函数的可去间断点，只须补充定义0x)(xf或改变在点处的函数值，则可使其变为连续点．)(xf0x例6.7设函数则当时,有xyo21x1x左、右极限都存在但不相等，0,10,1)(2xxxxxf　　　0x,1)1(lim)(lim200xxfxx,1)1(lim)(lim00xxfxx)(lim0xfx故极限不存在，所以0x是函数)(xf的间断点．1－1从图形中可以看到,这类函数的几何图形在间断点处有一个跳跃现象,因而把这一类间断点称为跳跃间断点.从图中可以看出,这类函数是不可能通过修改一点的函数值使其成为连续函数的..)(),()(,,)(0000跳跃间断点的为函数则称点但存在右极限都处左在点　　如果xfxxfxfxxf定义例6.8函数在点处没有定义,故称为函数的无穷间断点.xxftan)(2x.tan2的间断点是函数所以xxxxtanlim2因　　2xxtan处没有定义，在函数01sin)(xxxfxy1sin例6.9.1sin0的间断点是函数所以xx.11)(0之间产生无穷振荡与在时，函数值当xfx故称为函数的振荡间断点．0xx1sin可去间断点与跳跃间断点的特征是,函数在这一点的左、右极限都存在，通常把这一类间断点称为第一类间断点,除此之外的任何间断点称为第二类间断点.无穷间断点和振荡间断点就是第二类间断点．（1）第一类间断点：左、右极限都存在①可去间断点：左、右极限都存在且相等②跳跃间断点：左、右极限都存在但不相等（2）第二类间断点：不是第一类间断点的间断点即：左右极限中至少有一个不存在①无穷间断点：极限为无穷大②振荡间断点：产生无穷振荡间断点的分类：例.0,0,,0,1)(处的连续性在讨论函数xxxxxxf解oxy,0)00(f,)00(f.1为函数的第二类间断点x.断点这种情况称为无穷间解,1)1(f,2)1(f,2)1(f2)(lim1xfx),1(f.0为函数的可去间断点x,2)1(f令.1,1,1,10,2)(处连续在则xxxxxxfoxy112例.1,1,11,10,1,2)(处的连续性在讨论函数xxxxxxxfoxy112xy1xy2例6.10求出下列函数的间断点，并说明其类型，若是可去间断点，则补充或改变函数的定义使它连续：2)1()1(xxy解处，在1x21)1(limxxx.1穷间断点为第二类间断点中的无x例6.10求出下列函数的间断点，并说明其类型，若是可去间断点，则补充或改变函数的定义使它连续：xxytan)2(解处，在)(2Zkkx0tanlim2xxkx.)(2去间断点是第一类间断点中的可Zkkx则函数连续.补充定义：,0)2(kf令处，且在)0(kZkkxxxkxtanlim.)0(穷间断点是第二类间断点中的无且kZkkx处，在0x1tanlim0xxx.0去间断点是第一类间断点中的可x则函数连续.补充定义：,1)0(f令③①②小结（2）间断点的分类与判别;第一类间断点:可去间断点，跳跃间断点.第二类间断点:无穷间断点，振荡间断点.间断点(见下图)可去型第一类间断点oyx跳跃型无穷型振荡