2011年广州市高三数学调研测试试题

2011年广州市高三调研测试说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分.二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题．9．1910．33yx11.12612.21213.,22,14．12515．相交三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16．（本小题满分12分）(本小题主要考查平面向量,同角三角函数的基本关系、解三角形等知识,考查化归与转化的数学思想方法和运算求解能力)(1)解:∵m2cos,sin22AA,ncos,2sin22AA,1mn,∴222cos2sin122AA.……2分∴1cos2A.……4分(2)解:由(1)知1cos2A,且0A,∴23A.……6分∵23a,2b,由正弦定理得sinsinabAB,即2322sinsin3B,题号12345678答案ACDBBBCB∴1sin2B.……8分∵0,BBA,∴6B.……10分∴6CAB.∴2cb.……12分17.（本小题满分12分）(本小题主要考查条件概率、数学期望等知识,考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识)(1)解法1:设事件A表示“甲厂生产的灯泡”,事件B表示“灯泡为一等品”,依题意有0.6PA,0.9PBA,根据条件概率计算公式得0.60.90.54PABPAPBA.……4分解法2:该商店储存的50个灯泡中是甲厂生产的灯泡有5060%30个,乙厂生产的灯泡有5040%20个,其中是甲厂生产的一等品有3090%27个,乙厂生产的一等品有2080%16个,故从这50个灯泡中随机抽取出一个灯泡,它是甲厂生产的一等品的概率是270.5450P.……4分(2)解:的取值为0,1,2,……5分22325025301225CPC,11272325062111225CCPC,22725035121225CPC……8分∴的分布列为:∴25362135113230121.081225122512251225E.……12分18.（本小题满分l4分）(本小题主要考查空间线面关系、直线与平面所成的角等知识,考查数形结合的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力)(1)证明：∵PA平面ABCD，AB平面ABCD,∴PAAB.012P253122562112253511225zyxMDCBAP∵ABAD，,ADPAAAD平面PAD,PA平面PAD,∴AB平面PAD.∵PD平面PAD∴ABPD，……3分∵BMPD,ABBMB,AB平面ABM,BM平面ABM,∴PD平面ABM.∵AM平面ABM,∴AMPD.……6分（2）解法1：由（1）知，AMPD，又PAAD，则M是PD的中点,在Rt△PAD中,得2AM，在Rt△CDM中,得223MCMDDC,征婚网嵇吀夻∴1622ACMSAMMC.设点D到平面ACM的距离为h，由DACMMACDVV，……8分得111332ACMACDShSPA.解得63h，……10分设直线CD与平面ACM所成的角为，则6sin3hCD，……12分∴3cos3.∴直线CD与平面ACM所成的角的余弦值为33.……14分解法2：如图所示，以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系Axyz，则0,0,0A，0,0,2P，1,0,0B，1,2,0C，0,2,0D，0,1,1M.∴1,2,0,0,1,1,1,0,0ACAMCD.……8分设平面ACM的一个法向量为(,,)nxyz，由,nACnAM可得：20,0.xyyz令1z，得2,1xy.∴(2,1,1)n.……10分设直线CD与平面ACM所成的角为，则6sin3CDnCDn.……12分∴3cos3.∴直线CD与平面ACM所成的角的余弦值为33.……14分19．（本小题满分14分）(本小题主要考查椭圆、圆、直线与圆的位置关系等知识,考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识)（1）解：∵椭圆222:133xyEaa的离心率12e,∴2312aa.……2分解得2a.∴椭圆E的方程为22143xy．……4分（2）解法1：依题意，圆心为(,0)(02)Ctt．由22,1,43xtxy得221234ty.∴圆C的半径为21232tr．……6分∵圆C与y轴相交于不同的两点,AB，且圆心C到y轴的距离dt，∴212302tt，即22107t．∴弦长22222123||221274tABrdtt．……8分∴ABC的面积211272Stt……9分21712727tt2271271227tt377.……12分当且仅当27127tt，即427t时，等号成立.∴ABC的面积的最大值为377．……14分解法2：依题意，圆心为(,0)(02)Ctt．由22,1,43xtxy得221234ty.∴圆C的半径为21232tr．……6分∴圆C的方程为222123()4txty．∵圆C与y轴相交于不同的两点,AB，且圆心C到y轴的距离dt，∴212302tt，即22107t．在圆C的方程222123()4txty中，令0x，得21272ty，∴弦长2||127ABt．……8分∴ABC的面积211272Stt……9分21712727tt2271271227tt377.……12分当且仅当27127tt，即427t时，等号成立.∴ABC的面积的最大值为377．……14分20.（本小题满分14分）(本小题主要考查函数、导数等知识,考查函数与方程、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和应用意识)(1)解:函数lnaFxfxgxxxx的定义域为0,.∴'211aFxxx22xxax.①当140a,即14a时,得20xxa,则'0Fx.∴函数Fx在0,上单调递增.……2分②当140a,即14a时,令'0,Fx得20xxa,解得121141140,22aaxx.(ⅰ)若104a,则211402ax.∵0,x,∴'0Fx,∴函数Fx在0,上单调递增.……4分(ⅱ)若0a,则1140,2ax时,'0Fx;114,2ax时,'0Fx,∴函数Fx在区间1140,2a上单调递减,在区间114,2a上单调递增.……6分综上所述,当0a时,函数Fx的单调递增区间为0,;当0a时,函数Fx的单调递减区间为1140,2a,单调递增区间为114,2a.……8分(2)解:由22gxfxex,得2ln2xaxexx,化为2ln2xxexax.令lnxhxx,则'21lnxhxx.令'0hx,得xe.当0xe时,'0hx;当xe时,'0hx.∴函数hx在区间0,e上单调递增,在区间,e上单调递减.∴当xe时,函数hx取得最大值,其值为1hee.……10分而函数2222mxxexaxeae,当xe时,函数mx取得最小值,其值为2meae.……12分∴当21aee,即21aee时,方程22gxfxex只有一个根.……14分21.（本小题满分14分）(本小题主要考查导数、数列、不等式、定积分等知识,考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识)(1)解:由xye，设直线nl的斜率为nk，则nxnke.∴直线0l的方程为1yx.令0y，得11x，……2分∴111xyee，∴11(1,)Pe.∴111xkee.∴直线1l的方程为11(1)yxee.令0y，得22x.……4分一般地，直线nl的方程为()nnxxnyeexx，由于点11(,0)nnQx在直线nl上，∴11nnxx.∴数列nx是首项为1，公差为1的等差数列.∴nxn.……6分（2）解：11(1)(1)111()()222|nnxxnnnnnnnnnnSedxxxyeyeee212neee.……8分（3）证明：1211[1()]2111221(1)1222(1)1nnnneeeeeTeeeeeeeee.……10分∴111111111111nnnnnnnTeeeTeeeee，1(1)11nnxnxnn.要证明11nnnnTxTx，只要证明111neeen，即只要证明1(1)neene.……11分证法1：（数学归纳法）①当1n时，显然222(1)021(1)eeeeee成立；②假设nk时，1(1)keeke成立，则当1nk时，21[(1)]kkeeeeeke，而2[(1)][(1)(1)](1)(1)0eekeekeek.∴[(1)](1)(1)eekeeke.∴2(1)(1)keeke.这说明，1nk时，不等式也成立.由①②知不等式11nnnnTxTx对一切nN*都成立.……14分证法2:110111111[1(1)](1)(1)nnnnnnneeCCeCe0111(1)1(1)(1)(1)nnCCeneene.∴不等式11nnnnTxTx对一切nN*都成立.……14分证法3:令11xfxeexe,则'11xfxee,当0x时,'11xfxee110ee,∴函数fx在0,上单调递增.∴当0x时,00fxf.∵nN*,∴0fn,即110neene.∴11neene.∴不等式11nnnnTxTx对一切nN*都成立.……14分