1-行列式

线性代数辅导行列式的计算1.二、三阶行列式的计算对二、三阶行列式，可使用行列式的展开式（即对角线法则）直接计算：,2112221122211211aaaaaaaa.332112322311312213322113312312332211333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa也可以利用行列式的性质进行计算.求行列式的根，是方程，，设例01.3qpxx.的值D0I3qpxx是方程，，因为（利用展开式计算）解,,,333qpqpqp故有：的根，).)()((3xxxqpxx及对比上式两边同次幂的系数，得：.,0q从而.033)(3333qqpD0II3qpxx是方程，，因为算）（利用行列式的性质计解的根，故有).)()((3xxxqpxx对比两边同次幂的系数，得：.,0q从而.0000321rrrD.A,)101(.2TTnAaEn为正整数，求，＝矩阵，，设例，＝＝由于解2101101T利用矩阵乘法的结合律有：,22)())((TTTTT2AA＝.21AAnn依次类推，有，－－＝又101000101101101A).2(202002022211111nnnnnnnaaaaaAaEAaE故有2.n阶行列式的典型计算方法（n4）(1)利用性质将行列式化为三角形行列式或降阶后计算.011101110.34dcbacbaD求例abdacbbcaabdacbbcbaDcarrrr11110110101110124234展开按解.2222)()2(2222020112222,11312dbcacabcbabacabdabdbacbacabdbacbacacbrrrr展开按注：一边化简行列式，一边将行列式按行或列展开将行列式降阶，这种方法有助于计算行列式...4abbbbbabbbbaDn求例abbbbbab)b(n-a)b(n-a)b(n-a)b(n-aDnrrrn111121解abbbbbabbna1111])1([bababnanibrri0000001111])1([~2,1.)]()1([1nbabna这一行列式的特点是只有两个数，主对角线上的元素全为a,其他位置上的数全为b，根据这一特点，将第2至第n行(列)都加到第1行(列)上去，从而第1行(列)变成相同的数，进一步将该行列式化为三角形行列式求出其值.对于这类题目，用这种方法是最简便的..11115121121121121nnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaD求例解I此题可仿照例4，将第2列至第n列都加到第1列上去做.（略）1100010000111II121,,121nnrrrrnaaaaDnn解1100010000110001111）＋（展开按ncaa110001000010112121nnncccaaaaan.11naa.6xbbbaxbbaaxbaaaxDn求例，则有；若知，由例若解baaxanxDbann1)]()1([4xbbbaxbbaaxbaaaaaxDn000)(xbbaxbaxbbbaxbbaaxbax111000bxbabxaDaxn000111)(1.)()(11nnbxaDax.)()(11nnnaxbDbxDba，知的对称性，由,)()(,)()(1111nnnnnnaxbDbxDbxaDaxD解).()()(babaaxbbxaDnnn，则)0(.7未写出的为求例xyyxyxyxDn列展开，则按第将解1nDyxyxyyxyxyxyxxDnn1)1(nnnnnyxyx)()1(1注：此题也可按第n行展开计算.在行列式的计算中，这是一类比较典型的题目.(2)利用递推关系计算)0(.8未写出的为求例dcdcdcbababaDn行展开，则按第将解12nD00)1(00122cdcdcbababddcdcbabaaDnn.)(22222221112nnncrDbcadbcDadDn展开个按展开，第个按第，得由此递推式及bcadD2.)(2nnbcadDnnnnnnnnndcdcdcbababaD111111112完全类似地可以计算）（未写出的元素为0.)(1niiiiicbda.000000000000009nD求例000000000000)(11nrnDD展开按解.)(2121nncDD展开个按第.)(21nnnDDD即有递推式),(211nnnnDDDD由此得).(211nnnnDDDD或，，由于2221DD.)()(,)()(122211122211nnnnnnnnnnnnDDDDDDDDDDDD故有得解方程组,,11nnnnnnDDDD.)1(11nnnnnD，注：1.利用行列式按行（列）展开定理，可以得到关于所求行列式值的递推式.一般来说，递推式的形式多种多样，如例6、例8、例9中介绍的，不同的递推式有不同的解法，应注意这一点.2.当行列式的某一行（列）中零较多时，考虑将行列式按行（列）展开，目的是将行列式降阶，以计算出行列式的值.(3)利用范德蒙行列式的结果计算.01444133312221)(1032323232的根求例xxxxp333322223232323243243243211111444133312221)(xxxxxxxp解.0)4)(3)(34)(2)(24)(23(xxx.0)(4,3,2的根为故xpx.1111)()1()()1(111111naaanaaanaaaDnnnnnnn求例naaanaaaDnnnnnnn1)()1(111)1(111行调换第行，行依次与第将第解222)1(21)()1()()1(1111)1(naaanaaanaaannnnnnn行调换第行，行依次与第将第nnnnnnaaanaaa)()1(1111)1(1)1(112)1(1,,1,1)()1(nijjinnniiaaaai112)1()]1()1[()1(nijnnjaia112)1()()1(nijnnij112)1(2)1()()1()1(nijnnnnji.!)(111nknijkji注：范德蒙行列式是非常重要的，在实际计算行列式时，我们经常遇到的是变形了的范德蒙行列式，因此要学会将这种行列式还原成标准的范德蒙行列式.(4)利用矩阵理论计算行列式利用矩阵的一些性质，可简化方阵行列式的计算..||64,||,5||)5322()()532(31214422112324321ACBCBA求，若＋，，＋－阶方阵设例|532|||24321＋－解A|5||3||2|221421321＋－||3||2421321.||3||2421123)5322(144221＋由于C，130022501)(421,130022501||||64421C＝两边取行列式，得：2.||32130022501421＝，故＝由于.*8)31(81||3131AAAA，求阶方阵且为设例111||83*8)31(AAAAA解1|)|83(AA.64||12223131AAA注：一般而言，|A+B||A|+|B|，故没有公式求|A+B|，通常是用矩阵恒等变形的技巧，将其化为乘积的形式.42352||3||2||421123）（－从而A(4)直接利用行列式的定义或性质解与行列式有关的问题.111123111212)(1434的系数与中计算例xxxxxxxxf2.)(2)(I424的系数为中，故，且这一项带正号，为才出现主对角线上的元素相乘的性质知，只有）由行列式的定义及（用行列式的定义求解解xxfxxxf.11.4312,1333-xf(x)xxxxx的系数为中故，逆序数为为而且列标所构成的排列的项也只有一项，为同理，含xxxxxxfrr11112330021212)(II12）（用行列式的性质求解解,11123123111221)12(2xxxxxxxr展开按2.1-134343的系数为，的系数为可以得到个行列式的项，从第与阶行列式不含显然第二个xxxx.0347534453542333322212223212)(15的根的个数求例xxxxxxxxxxxxxxxxxf.9118411332123212)(1413124,3,2xxxxxxfrrrrrr解.202的根的个数为次多项式，故为由行列式的定义知f(x)f(x).1881814932691289914.18181823942196199816整除也能被阶行列式证明整除都能被，，，已知例.181818123949322196912199899181814932691289911234100010010cccc证.18418184整除行列式能被阶，从而整除，即可以提出因子项各数均可以被由于第(5)利用矩阵的特征值理论求行列式的值..|5|||32117EAAA及求，，，的三个特征值为已知三阶方阵例;6)3()2(1||A解224)8()7()4(|5|8745EAEA所以，，，的特征值为注：关于行列式的计算，一般而言有三大类方法：一是利用行列式的理论（行列式的定义与性质等），二是利用矩阵理论，三是利用矩阵的特征值理论.因此，要求读者做到：熟练掌握这些基本知识，牢记公式，并通过多做练习提高计算行列式的能力.