10-11年工程矩阵期末试卷

10-11-2学期工程矩阵理论期末考试试卷一.（24%）填空1.22C的子空间22|()0WXCtrX的一组基是；2.若线性变换f在基,下的矩阵是1234，则f在基,下的矩阵是；3.在通常内积下，3R的子空间3(,,)|0VxyzRxyz中与向量(1,0,0)的距离最小的向量为；4.设A是n阶酉矩阵，则FA和2A分别等于。5.设是n维单位列向量，若矩阵HAIk是正定的，则参数k满足条件；6.若n阶方阵A满足22AAE，且AI的秩为r，则行列式2AI。二.（8%）设是欧氏空间V中的单位向量，V上的线性变换f定义如下：对任意V，(),fab。问：当参数,ab取什么值的时候，f是V上的正交变换？三.（18%）在线性空间22C上定义线性变换f如下：对任意矩阵abXcd，()22ababfXcdcd。1.求f在22C的基11122122,,,EEEE下的矩阵；2.分别求f的值域()Rf及核子空间()Kf的一组基；3.求f的特征值及各个特征子空间的基；4.给出一个次数最低的非零多项式()m，使得()mfO。四.（12%）已知矩阵A的特征多项式是23(1)，并且()()3rArAI，求A的Jordan标准形，并将AtAe表示成关于A的次数不超过2的多项式。五.（10%）设矩阵102001bcAa，1000312Byx。问：当参数,,,,abcxy满足什么条件时，矩阵A与B相似？六.（8%）设矩阵120120003A，求A。七.（20%）证明下列命题：1.假设线性空间V上的线性变换,fg满足,fgffgfgg，证明：()()VKfRg。2.假设A是正规矩阵，证明：关于矩阵的秩有()()rArA。3.若n阶Hermite矩阵,AB是正定的，证明：AB的特征值都大于零。4.若A是可逆方阵，证明：对任意正整数k，存在矩阵B，使得kBA。