101常数项级数的概念与性质

返回上页下页目录2020年1月15日星期三1高等数学多媒体课件华南农业大学理学院数学系牛顿（Newton）莱布尼兹（Leibniz）返回上页下页目录2020年1月15日星期三2第十章无穷级数（InfiniteSeries）第一节常数项级数的概念与性质第二节常数项级数的审敛法第三节幂级数第四节函数展开成幂级数第五节函数的幂级数展开式的应用第六节傅立叶级数主要内容返回上页下页目录2020年1月15日星期三3第一节常数项级数的概念和性质第十章（Conceptionandpropertyofconstanttermseries）一、常数项级数的基本概念二、收敛级数的基本性质三、小结与思考练习返回上页下页目录2020年1月15日星期三4一、常数项级数的基本概念定义给定一个数列,,,,,321nuuuu将各项依,1nnu即称上式为无穷级数，其中第n项nu叫做级数的一般项,级数的前n项和次相加,简记为称为级数的部分和.则称无穷级数返回上页下页目录2020年1月15日星期三5收敛,并称S为级数的和,记作当级数收敛时,称差值为级数的余项.则称无穷级数发散.显然返回上页下页目录2020年1月15日星期三6例1判别无穷级数1123nnn的敛散性．解：由于(1)122nnnsn,则(1)limlim2nnnnns所以该级数发散．例2讨论级数11111(1)n的敛散性．解：部分和数列11s，2110s，31111s，，11111(1)nns．易知，当n为奇数时，1ns；当n为偶数时，0ns．所以没有极限，故原级数发散．返回上页下页目录2020年1月15日星期三7例3讨论等比级数(又称几何级数)(q称为公比)的敛散性.解:1)若从而因此级数收敛,从而则部分和因此级数发散.其和为返回上页下页目录2020年1月15日星期三82)若因此级数发散;因此n为奇数n为偶数从而综合1)、2)可知,时,等比级数收敛;时,等比级数发散.则级数成为不存在,因此级数发散.返回上页下页目录2020年1月15日星期三9二、收敛级数的基本性质性质1若级数收敛于S,则各项乘以常数c所得级数也收敛,证:令,1nkknuS则nkknuc1,nScnnlimSc这说明收敛,其和为cS.说明:级数各项乘以非零常数后其敛散性不变.即其和为cS.返回上页下页目录2020年1月15日星期三10性质2设有两个收敛级数,1nnuS1nnv则级数也收敛,其和为证:令,1nkknuS,1nkknv则)(1knkknvu)(nS这说明级数也收敛,其和为返回上页下页目录2020年1月15日星期三11例4判别级数212211131313(11)242424nnn的敛散性．若收敛时求出它的和．解：由于211111222n与21213331444nn都是公比小于1的等比级数，所以它们都收敛，且其和分别为2和4，由性质2知所给级数收敛，其和为212211131313(11)242424nnn211111222n21213331444nn246返回上页下页目录2020年1月15日星期三12性质3在级数前面加上或去掉有限项,不会影响级数的敛散性.证:将级数1nnu的前k项去掉,的部分和为knkSS数敛散性相同.当级数收敛时,其和的关系为类似可证前面加上有限项的情况.极限状况相同,故新旧两级所得新级数返回上页下页目录2020年1月15日星期三13性质4收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数的和.证:设收敛级数,1nnuS若按某一规律加括弧,则新级数的部分和序列为原级数部分和序列),2,1(nSn的一个子序列,S推论:若加括弧后的级数发散,则原级数必发散.注意:收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.,0)11()11(但发散.因此必有例如，用反证法可证例如返回上页下页目录2020年1月15日星期三14性质5（级数收敛的必要条件）如果级数1nnu收敛，则当n无限增大时，它的一般项nu趋于零，即lim0nnu．证:1nnnSSu1limlimlimnnnnnnSSu0SS可见:若级数的一般项不趋于0,则级数必发散.例如,其一般项为不趋于0,因此这个级数发散.返回上页下页目录2020年1月15日星期三15注意:0limnnu并非级数收敛的充分条件.例如,调和级数虽然但此级数发散.事实上,假设调和级数收敛于S,则nn2nnnn21312111但nnSS2矛盾!所以假设不真.21课本给出了另外两种证法！返回上页下页目录2020年1月15日星期三16例6判断级数的敛散性:解:考虑加括号后的级数发散,从而原级数发散.返回上页下页目录2020年1月15日星期三17内容小结(1)由定义,若ssn,则级数收敛;1.常数项级数的基本概念:常数项级数、收敛、发散、等比级数、调和级数3.级数收敛的判别方法2.收敛级数的5个性质(2)当0limnnu,则级数发散;(3)按基本性质.课外练习习题10－13（偶数题）；4返回上页下页目录2020年1月15日星期三18思考与练习1、若级数1nnu与1nnv都发散时，级数1()nnnuv的敛散性如何？若其中一个收敛，一个发散，那么，级数1()nnnuv散敛性又如何？（习题10－1第5题）答:（1）若二级数都发散,不一定发散.例如,,)1(2nnu取,)1(12nnv（2）若两级数中一个收敛一个发散,则必发散.(用反证法可证)返回上页下页目录2020年1月15日星期三19解:(1)所以级数(1)发散;技巧:利用“拆项相消”求和2、判别下列级数的敛散性:返回上页下页目录2020年1月15日星期三20(2))1(1431321211nnSn211111n）n(1所以级数(2)收敛,其和为1.31214131111nn技巧:利用“拆项相消”求和返回上页下页目录2020年1月15日星期三213、判断下列级数的敛散性,若收敛求其和:解:(1)令;231)2(123nnnn则nnuu1),2,1(1n故从而这说明级数(1)发散.11)1(!)1(nnnnennnne!返回上页下页目录2020年1月15日星期三22123231)2(nnnn因nnn23123),2,1(nnknkkkS123231nkkkkk1)2)(1(1)1(121进行拆项相消,41limnnS这说明原级数收敛,.41)2)(1(1nnn其和为)2)(1(121121nn(2)返回上页下页目录2020年1月15日星期三231212)3(nnnnnSS211432212252321nn2121221132121n1212nn21212111211n1212nn121121nnn21225232132这说明原级数收敛,其和为3.,3limnnS故(3)