2011年江苏省高中数学学案11《求函数的解析式》(苏教版必修1)

第1页第11课时求函数的解析式【学习目标】1．掌握求函数解析式的基本方法；2．培养抽象概括能力和分析解决问题的能力．【课前导学】1．函数表示的方法有哪三种方法？最常用的方法是什么？答：函数表示方法有解析式法．列表法．图象法三种．解析式法是最常用的表示方法．2．二次函数的形式有几种？解：（1）一般式：cbxaxxf20,,,aRcba；（2）交点式：21xxxxaxf，其中，21,xx分别是xf的图象与x轴的两个交点的横坐标；（3）顶点式：121yxxaxf，其中11,yx是抛物线顶点的坐标；3．已知函数类型，求函数解析式，常用什么方法？答案：待定系数法．例如，求二次函数解析式的基本步骤是：（1）设出函数的一般式（或顶点式、交点式）；（2）代入已知条件，列方程（组）；（3）通过解方程（组）确定未知系数；3．分别求满足下列条件的二次函数()fx的解析式：（1）图象与x轴的两交点为(2,0)，(5,0)，且(0)10f；（2）图象的顶点是(1,2)，且经过原点．答案：（1）2()710fxxx；（2）2()24fxxx．【课堂活动】一．建构数学：根据题设的条件选择相应的方法求函数解析式．【据条件定方法】二．应用数学：例1已知f(x)是一次函数,且f[f(x)]=4x1,求f(x)的解析式．解：设f(x)=kx+b则k(kx+b)+b=4x1则3121)1(42bkbkk或12bk，∴312)(xxf或12)(xxf．【解后反思】已知函数类型求函数的解析式时常用待定系数法．例2设二次函数)(xf满足)2()2(xfxf且)(xf=0的两实根平方和为10，图象过点(0,3)，求)(xf的解析式.第2页解：设)0()(2acbxaxxf,∵图象过点(0,3),∴有f(0)=c=3,故c=3；又∵f(x)满足)2()2(xfxf且)(xf=0的两实根平方和为10，∴得对称轴x=2且2122122212)(xxxxxx=10，即22ab且10622aab，∴a=1，b=-4，∴34)(2xxxf．例3若xxxf21(）,求f(x)．解法一（换元法）：令t=1x则x=t21,t≥1代入原式有1)1(2)1()(22ttttf，∴1)(2xxf（x≥1）．解法二（配凑法）：1)1(22xxx，∴1)1()1(2xxf由1x≥1，∴1)(2xxf(x≥1)．【解后反思】1．已知f(g(x))表达式，求f(x)的表达式常用换元法．配凑法；2．用换元法时要注意新元范围．例4已知f(x)满足xxfxf3)1()(2，求)(xf．解：∵已知xxfxf3)1()(2①将①中x换成x1得xxfxf3)()1(2②①×2-②得xxxf36)(3∴xxxf12)(.（0x）【解后反思】当作用对象互为相反数、倒数、负倒数时，常用方程组法求函数的解析式．例5已知f(x)=x21，g(x)=1x求f[g(x)]．解：f[g(x)]=（1x）21=x+2x．【解后反思】求复合函数解析式，注意整体思想的应用．第3页例6一直角三角形ABC，AC=3，BC=4，动点P从直角顶点C出发沿CB．BA．AC运动回到C，设路程PC=x，写出线段AP的长度与x的函数式F(x).解：2999xyxx0449912xxx．【解后反思】注意分类讨论思想的应用．三．理解数学：1．已知：)(xf=x2x+3，求f(x+1),f(x1)．解：f(x1)=(x1)2x1+3；f(x+1)=(x+1)2(x+1)+3=x2+x+3．2．若xxxf1)1(求f(x)．解：令xt1则tx1(t0)则11111)(ttttf∴f(x)=11x(x0且x1)3．函数()fx在闭区间[1,2]上的图象如下图所示，则求此函数的解析式．【解】由图象可知，当10x时，()1fxx；当02x时，1()2fxx，所以1,10,()1,02.2xxfxxx【课后提升】1．已知a,b为常数，若f(x)=x2+4x+3，f(ax+b)=x2+10x+24，则5a－b=_________.答案：5或－1．2．已知函数)(xf=4x+3，g(x)=x2,求f[f(x)]，f[g(x)]，g[f(x)]，g[g(x)].解：f[f(x)]=4f(x)+3=4(4x+3)+3=16x+15；f[g(x)]=4g(x)+3=4x2+3；g[f(x)]=[f(x)]2=(4x+3)2=16x2+24x+9；g[g(x)]=[g(x)]2=(x2)2=x4.102xy11第4页3．根据条件求下列各函数的解析式：（1）已知()fx是二次函数，若(0)0,(1)()1ffxfxx，求()fx；（2）若()fx满足1()2(),fxfaxx求()fx．解：（1）本题知道函数的类型，可采用待定系数法求解．设()fx＝2(0)axbxca，由于(0)0f得，2()fxaxbx，又由(1)()1fxfxx，∴22(1)(1)1axbxaxbxx，即22(2)(1)1axabxabaxbx．211021abbaabab，因此：()fx＝21122xx．(2)由于()fx为抽象函数，可以用消参法求解．用1x代x可得：11()2(),ffxaxx与1()2()fxfaxx联列方程组可消去1()fx得：()fx＝233aaxx.【点评】求函数解析式（1）若已知函数()fx的类型，常采用待定系数法；（2）若已知[()]fgx表达式，常采用换元法或采用凑合法；（3）若为抽象函数，常采用代换后解方程组法.4．某人开汽车以60/kmh的速度从A地到150km远处的B地，在B地停留1h后，再以50/kmh的速度返回A地，把汽车离开A地的路程xkm表示为时间th（从A地出发是开始）的函数，再把车速v/kmh表示为时间th的函数．解：从A地到B地所需时间为1502.5()60h，从B地到A地所需时间为1503()50h，所以，当02.5t时，60xt；当2.53.5t时，150x；当3.56.5t时，15050(3.5)50325xtt；所以，60,02.5,150,2.53.5,50325,3.56.5.ttxttt60,02.5,0,2.53.5,50,3.56.5.tvtt第5页5．设()fx是R上的函数，且满足(0)1,f并且对任意的实数,xy都有()()(21)fxyfxyxy，求()fx的表达式.解法一：由(0)1,f()()(21)fxyfxyxy，设xy，得(0)()(21)ffxxxx，所以()fx＝21xx．解法二：令0x，得(0)(0)(1)fyfyy，即()1(1)fyyy，又将y用x代换到上式中得()fx＝21xx．【点评】所给函数中含有两个变量时，可对这两个变量交替用特殊值代入，或使这两个变量相等代入，再用已知条件，可求出未知的函数.具体取什么特殊值，根据题目特征而定.思考题：已知一个函数的解析式为22yxx，它的值域为[1,3]，这样的函数有多少个？试写出其中两个函数．答案：无数个，如定义域为[1,3]，[1,1]等．