11-椭圆及其标准方程(理)

第三章圆锥曲线与方程§1椭圆1.1椭圆及其标准方程椭圆的汽车徽标月球的运行轨道椭圆的盘子椭圆的镜子篮球在阳光下的投影从这些图片我们看到，在我们所生活的世界中，随处可见椭圆这种图形.而且我们也已经知道了椭圆的大致形状，那么如何确切的描述椭圆呢？我们能否动手画一个椭圆呢？探究点1椭圆的定义对于篮球在阳光下的投影，把太阳光看成一束平行光，如图所示，照射在篮球上的平行光线抽象为一个斜放的圆柱，篮球面抽象为一个球面，球心记作O1，篮球面与地面的接触点抽象为球与平面的切点F1，影子恰好是圆柱面被平面斜截的截面，截面的边界线称为椭圆.O1F1对于上图所示的几何模型，把圆柱面延伸，在截面下面也放一个与圆柱面和截面都相切，且同样大的球，球心记作O2,该球与截面的切点为F2，如图所示.O2F2F1O1两个球与圆柱面的切点分别构成了两个圆，圆心分别是球心O1O2，若P为椭圆上一点，过点P作圆柱的母线，分别交O1O2于A,B两点，则PA,PF1是球O1的切线段，所以PA=PF1，同理PB,PF2是球O2的切线段，所以PB=PF2，因此，PF1+PF2=AB.又AB=O1O2，由此可以发现椭圆上的点到两切点的距离之和是定值O1O2.O1F1F2O2动手操作：将一条细绳的两端固定在同一个定点上，用笔尖勾起绳子的中点使绳子绷直，围绕定点旋转，这时笔尖画出的轨迹是什么图形？平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆.提示：圆思考1将细绳的两端拉开一段距离，分别固定在不同的两点F1，F2处，并用笔尖拉紧绳子，再移动笔尖一周，这时笔尖画出的轨迹是什么图形呢？1F2FM结论：笔尖画出的轨迹是椭圆.思考2：在画椭圆的过程中，(1)细绳的两端的位置是固定的还是运动的？提示：固定的.(2)绳子的长度变了没有？为什么要拉紧绳子？提示：没变化。保持笔尖到两定点的距离和不变.(3)绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系？提示：三点M，F1，F2不共线时，构成三角形，两边之和大于第三边长，可见绳子长度大于两定点距离.122FFc，12MFMF2a,椭圆的定义：椭圆的定义的符号表示：平面内到两个定点F1，F2的距离之和_________（大于|F1F2|）的点的集合叫作椭圆.这两个_____叫作椭圆的焦点，两个焦点间的距离叫作椭圆的_____.等于常数定点F1，F2焦距2a2c0时，为椭圆.思考3：椭圆定义中为什么要求常数大于|F1F2|(即2a2c)？提示：当|MF1|+|MF2|=2a|F1F2|时,动点M的轨迹不存在;当|MF1|+|MF2|=2a=|F1F2|时,动点M的轨迹为以F1，F2为端点的线段；只有当2a|F1F2|时动点M的轨迹才是椭圆.探究点2椭圆的标准方程如图，作直线F1F2和线段F1F2的垂直平分线,设P为椭圆上一点，根据椭圆的定义，P关于这两条直线的对称点也都在椭圆上，即这两条直线是椭圆的对称轴.以直线F1F2为x轴，线段F1F2的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系xOy,则焦点F1，F2的坐标分别为(c,0)，(c,0).1F2FxyO),(Pyx(c,0)c,0-椭圆和x轴，y轴分别有两个交点A1，A2和B1，B2，如图，根据椭圆的定义和椭圆的对称性,且所以即1F2FxyO(c,0)c,0-A1A2B2B122AA12FF2a,1122A=AFF,12112AA=AA1FF2a,12AO=OA=a,因为且所以=a22BB12FF2a,22BB12FF,22BB12FF有记得A1(-a,0),A2(a,0),B1(-b,0),B2(b,0)2222222BO=BOFac2F,22bac,设P（x,y)是椭圆上任意一点，由椭圆的定义，椭圆上的点P满足12PFPF2a,222212|PF|(),|PF|()xcyxcy因为2222()()2xcyxcya所以两边平方、整理，得222()acxaxcy上式两边平方、整理，得22222222()(),acxayaca2222()2()xcyaxcy即222222.bxayab两边同除以a2b2得22221(0)xyabab这说明椭圆上的点的坐标满足以上方程.我们还可以证明，这个方程每一组解对应的点都在椭圆上.抽象概括：椭圆上任意一点的坐标都是方程22221(0)xyabab的解；都在椭圆上.以方程22221(0)xyabab的解为坐标的点我们将方程22221(0)xyabab叫作椭圆的标准方程，22212(,0),(,0),.FcFccab其中焦点坐标是如果椭圆的焦点在y轴上，如图，其焦点坐标为12(0,),(0,),FcFc用同样的方法可以推出它的标准方程为22221(0),yxabab其中222.bacyOxF1F2M(0,-c)(0,c)思考交流OxyF1F2M(-c,0)(c,0)提示：在椭圆的方程中，由222,bac可见，当a为定值时，随c的增大，b减小，椭圆变扁；随c的减小，b增大，椭圆越接近于圆.即随着焦距2c的增大，椭圆变扁；焦距减小，椭圆越接近于圆.1.当椭圆定义中的常数2a为定值时，焦距2c的变化与椭圆形状的变化有怎样的关系？2.回顾椭圆方程的求解过程，有哪些主要步骤？第一步：根据椭圆的对称性建立坐标系；提示：第二步：设出椭圆上任意一点；第三步：把椭圆定义用等式表示；第四步：把等式中的距离用坐标表示；第五步：把得到的方程化简；第六步：说明椭圆上点的坐标适合所求方程，以方程的解为坐标的点都在椭圆上.例1已知B,C是两个定点，10,BC且ABC△的周长等于22，求顶点A满足的一个轨迹方程.解：由已知22,10,ABACBCBC得12.ABAC由定义可知点A的轨迹是一个椭圆，且210,212ca，即5,6.ca所以22211,bac如图，建立平面直角坐标系，使x轴经过B,C两点，原点O为BC的中点.当点A在直线BC上，即y=0时，A，B，C三点不能构成三角形，因此点A满足的一个轨迹方程是221(0).3611xyy提醒：求点的轨迹问题，要结合具体的情况剔除不满足条件的点.xyOBCA例2已知椭圆的两个焦点坐标分别为(0,2),(0,2),并且经过点35(,),22求椭圆的标准方程.解：因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为22221(0),yxabab解法1由椭圆的定义知2a（）（）（）（）22223535-+2+--2=2102222所以.a102222,b=1046.cac所以又所以椭圆的标准方程为221.106yx解法2因为点35(,)22在椭圆上，又c=2，得22222591,444.abab解得2223b6b()10.2a或舍去，则所以椭圆的标准方程为221.106yx【变式练习】求经过点111(,),(0,)332AB的椭圆的标准方程.解析：当椭圆的焦点在x轴上时，设椭圆方程为.xyabab2222+=10ab（）（）（）112233+=1,22b12-2=1,2将111(,),(0,)332AB的坐标代入椭圆方程，得解得11=b=.5422，a与0ab矛盾，舍去.当椭圆的焦点在y轴上时，设椭圆方程为.yxabab2222+=10将111(,),(0,)332AB的坐标代入椭圆方程，得解得11=b=.4522，a故所求的椭圆方程为114522+=1.yxaa（）（）（）112233+=1,22b12-2=1,2【提升总结】求椭圆标准方程的解题步骤：（1）确定焦点的位置.（2）设出椭圆的标准方程.（3）用待定系数法确定a，b的值，写出椭圆的标准方程.θaOMyx证明:将点M的坐标代入方程有所以在椭圆上.22221,xyab222222cossincossin1,abab22221xyab的几何意义如图所示.例3求证：(cos,sin)(02)Mab点在椭圆22221xyab上.(cos,sin)(02)Mab点1.动点P到两定点F1(-4,0)，F2(4,0)的距离和是8，则动点P的轨迹为（）A.椭圆B.线段F1F2C.直线F1F2D.无轨迹B2.已知椭圆的标准方程为,则焦点坐标为()A.(1,0)B.(0,1)C.(±1,0)D.(0,±1)解析：由标准方程得a2=4,b2=3,∴c2=a2-b2=1，∴焦点坐标为(±1,0).22xy14322xy143C3.已知椭圆的两个焦点的坐标分别是(0,-3)(0,3)，椭圆上的点P到两焦点距离的和等于8.求椭圆的标准方程.解析:由题意知椭圆的焦点在y轴上，故可设椭圆的标准方程为22221(0).yxabab221.167yx由题意，3,284,caa所以，2227bac，椭圆的标准方程为2222+=10xyabab2222+=10yxabab分母哪个大，焦点就在哪个轴上222=+abc平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的集合12-,0,0FcFc，120,-0,FcFc，标准方程不同点相同点图形焦点坐标定义a,b,c的关系焦点位置的判断xyF1F2MOxyF1F2MOxyF1F2MO