2011年自考线性代数(经管类)模拟试卷(一)

2011年自考线性代数（经管类）模拟试卷（一）一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内.错选、多选或未选均无分.1.3阶行列式ija=011101110中元素21a的代数余子式21A=（）A．-2B．-1C．1D．2答案：C(P7)21A=(-1)2+10111=(-1)×(0-1)=1.2.设A为2阶矩阵，若A3=3，则A2（）A．21B．1C．34D．2答案：C(P45)∵｜3A｜=32|A|=3，∴|A|=31，∴｜2A｜=4｜A｜=34.3.已知2阶矩阵dcbaA的行列式1A，则1)*(A()A．dcbaB．acbdC．acbdD．dcba答案：A(P50)∵A=dcba，∴A*=acbd，∴A-1=||*AA=acbd，∴1*)(A(A-1)*=dcba.4.设向量),,,(),,,,(),,,(),,,(222221111122221111dcbadcbacbacbaββαα，下列命题中正确的是（）A．若21αα,线性相关，则必有21ββ，线性相关B．若21αα,线性无关，则必有21ββ，线性无关C．若21ββ，线性相关，则必有21αα,线性无关D．若21ββ，线性无关，则必有21αα,线性相关答案：B(P93)若21αα,线性无关，则12aa，12bb，12cc不全相等，从而21ββ，的对应分量也不完全成比例，即21ββ，线性无关.5.设321α,α,α是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系，则下列解向量组中，可以作为该方程组基础解系的是（）A．2121αα,α,αB．133221αα,αα,ααC．2121αα,α,αD．133221αα,αα,αα答案：B(P112)选项A、C、D都线性相关，如A：-1α-2α+（1α+2α）=0，C：-1α+2α+（1α-2α）=0，D：（1α-2α）+（2α-3α）+（3α-1α）=0.6.设3阶矩阵A与B相似，且已知A的特征值为2，2，3.则|B-1|=（）A．121B．71C．7D．12答案：A(P138)A~B，则A与B有相同的特征值，A的特征值为2，2，3，所以B的特征值也为2，2，3.｜B｜=12，｜B-1｜=|B|1=121.7.设3阶方阵A的特征值为1，-1，2，则下列矩阵中为可逆矩阵的是（）A．E-AB．-E-AC．2E-AD．-2E-A答案：D(P50)矩阵可逆则矩阵对应的行列式不等于零，验证四个选项，可知，A、B、C所示矩阵行列式全都为零，而｜-2E-A｜=（-3）·（-1）·（-4）=-12≠0，从而-2E-A可逆.8.下列矩阵中不是．．初等矩阵的为（）A．101010001B．101010001C．100020001D．101011001答案：D(P63)9.若3阶实对称矩阵A=（ija）是正定矩阵，则A的正惯性指数为（）A．0B．1C．2D．3答案：D(P171,P173)10.二次型f(x1,x2,x3,x4)=x21+x22+x23+x24+2x3x4的秩为（）A．1B．2C．3D．4答案：C(P165)由二次型写出对应的矩阵A，且A=01000001000100011100100100010001则r(A)=3，即二次型的秩为3.二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)请在每小题的横线上填上正确答案.错填、不填均无分.11.已知行列式422221111babababa，则2211baba______.答案：2(P14)12.设矩阵A=4321，P=1011，则APT=____.答案：4723(P39)13.设矩阵A=100020101，矩阵B=A-E，则矩阵B的秩r(B)=____.答案：2(P70)B=A-E=100020101-100010001=000010100，故r(B)=2.14.已知矩阵方程BXA，其中01111201B,A，则X=____.答案：011-3(P40)∵｜A｜=1，∴A可逆且A-1=1201，∴XA=B，即X=BA-1，∴X=011-3.15.已知3元齐次线性方程组0320320321321321xxxaxxxxxx有非零解，则a=____.答案：2(P112)齐次线性方程组有非零解，即｜A｜=0=32132111a=2-a，故a=2.16.已知向量组TTTa)(3,2,(2,2,2)(1,2,3)321α,α,α线性相关，则数a____.答案：1（P88）向量组321α,α,α线性相关，即使构造矩阵A=(321α,α,α)的秩小于3，A=10021032194-04-2-032123222321aaa，由r(A)3，则a-1=0，故a=1.17.已知向量α=（2，1，0，3）T，β=（1，-2，1，k）T，α与β的内积为2，则数k=____.答案：32(P146)18.设2阶实对称矩阵A的特征值为1，2，它们对应的特征向量分别为1α=(1，1)T,2α=(1，k)T，则数k=____.答案：-1(P154)因为A是实对称矩阵，属于不同特征值的特征向量相互正交，所以1×1+1×k=0，故k=-1.19.矩阵A=314122421对应的二次型f=____.答案：21x+222x+323x+4x1x2+8x1x3-2x2x3(P163)20.设矩阵A=1002，则二次型xTAx的规范形是____.答案：2221zz(P170)由规范型的定义，系数为1，-1和0的标准二次型为规范型，所以A的规范型为2221zz.三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21.已知3阶行列式ija=4150231xx中元素12a的代数余子式A12=8，求元素21a的代数余子式A21的值.答案：(P7)解：A12=(-1)1+2450x-4x=8,故x=-2.A21=(-1)2+1413x-41325.22.已知矩阵A=210011101，B=410011103，（1）求A的逆矩阵A-1；（2）解矩阵方程AX=B.答案：（P48P40）解：（1）由于|A|=-1≠0,所以A可逆，且A-1=111122112（2）X=A-1B=32223422523.a、b为何值时，向量β=（3，10，b，4）可由向量组1α=(1，4，0，2)，2α=(2，7，1，3),3α=(0，1，-1，a)线性表出.答案：(P83)解：(T321βααα，，，TTT)=4321-10101743021ab→2-00001-002-11-03021ba→2-00001-0021-101-201ba①当b=2,a≠1时，β可由321ααα，，线性表出，且表示法惟一，β=32102ααα.②当b=2,a=1时，β可由321ααα，，线性表出，且表示法不惟一.β=-(2k+1)α1+(k+2)α2+kα3.24.设3元齐次线性方程组000321321321axxxxaxxxxax，（1）确定当a为何值时，方程组有非零解；（2）当方程组有非零解时，求出它的基础解系和全部解.答案：（P112）解：(1)由方程组的系数行列式|A|=aaa111111（a+2)(a-1)2=0,得a=-2或a=1，此时r(A)=2或r(A)=1,均小于3，方程组有非零解.（2）当a=-2时，A=2-1112-1112→0001-101-01，得到基础解系ξ=（1，1，1）T，此时全部解为kξ(k为任意常数）；当a=1时,A=111111111→000000111,得到基础解系ξ1=（-1，1，0）T，ξ2=（-1，0，1）T，此时全部解为k1ξ1+k2ξ2(k1,k2为任意常数）.25.已知2是三阶方阵A=533242111的二重特征值，求A的另一个特征值，并求可逆阵P使得P-1AP为对角阵.答案：(P132P136)解：设A的另一个特征值为λ，则2+2+λ=tr(A)，即2+2+λ=1+4+5，所以λ=6.对应于λ1=λ2=2的特征向量为1α=011，2α=101.对应于λ3=6的特征向量为3α=32-1.所以P=310201111,P-1AP=622.26.已知矩阵A=111111111，求正交矩阵P和对角矩阵Λ，使P-1AP=Λ.答案：(P154)解：由|λE-A|=1-1-1-1-1-1-1-1-1-=λ2(λ-3)=0得A的特征值λ1=λ2=0,λ3=3.对于λ1=λ2=0,对应的线性无关的特征向量为1α=(-1，1，0)T，2α=(-1，0，1)T，对于λ3=3,对应的特征向量为3α=(1，1，1)T，将1α，2α正交化,得1β=1α,2β=T12121，，,再将1β,2β单位化,有γ1=T02121，，,γ2=T626161，，.将3α单位化,有γ3=T313131，，令P=(γ1,γ2,γ3)=31620316121316121，Λ=300000000,有P-1AP=Λ.四、证明题（本题6分）27.设n阶矩阵A满足A2=A，证明E-2A可逆，且(E-2A)-1=E-2A.答案：证明：由于A2=A，则（E-2A）（E-2A）=E-4A+4A2=E从而E-2A可逆，且（E-2A）-1=E-2A.