111集合的含义与表示(二)学案(人教A版必修1)

1.1.1集合的含义与表示(二)自主学习1．掌握集合的表示方法，能在具体问题中选择适当的方法表示集合．2．通过实例和阅读自学体会用列举法和描述法表示集合的方法和特点，培养自主探究意识和自学能力．1．把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．2．用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法．3．不等式x－73的解集为{x|x10}．4．所有偶数的集合可表示为{x∈Z|x＝2k，k∈Z}。5．方程(x＋1)(x－3)＝0的所有实数根组成的集合为{－1,3}对点讲练用列举法表示集合【例1】用列举法表示下列集合：(1)已知集合M＝x∈N|61＋x∈Z，求M；(2)方程组x＋y＝2x－y＝0的解集；(3)由|a|a＋b|b|(a，b∈R)所确定的实数集合．分析解答本题可先弄清集合元素的性质特点，然后再按要求改写．解(1)∵x∈N，且61＋x∈Z，∴1＋x＝1,2,3,6，∴x＝0,1,2,5，∴M＝{0,1,2,5}．(2)由x＋y＝2x－y＝0，得x＝1y＝1，故方程组的解集为{(1,1)}．(3)要分a0且b0，a0且b0，a0且b0，a0且b0四种情况考虑，故用列举法表示为{－2,0,2}．规律方法(1)列举法表示集合，元素不重复、不计次序、不遗漏，且元素与元素之间用“，”隔开．(2)列举法适合表示有限集，当集合中元素的个数较少时，用列举法表示集合较为方便，而且一目了然．变式迁移1用列举法表示下列集合：(1)A＝{x||x|≤2，x∈Z}；(2)B＝{x|(x－1)2(x－2)＝0}；(3)M＝{(x，y)|x＋y＝4，x∈N*，y∈N*}；(4)已知集合C＝61＋x∈Z|x∈N，求C.解(1)∵|x|≤2，x∈Z，∴－2≤x≤2，x∈Z，∴x＝－2，－1,0,1,2.∴A＝{－2，－1,0,1,2}．(2)∵1和2是方程(x－1)2(x－2)＝0的根，∴B＝{1,2}．(3)∵x＋y＝4，x∈N*，y∈N*，∴x＝1，y＝3，或x＝2，y＝2，或x＝3，y＝1.∴M＝{(1,3)，(2,2)，(3,1)}．(4)结合例1(1)知，61＋x＝6,3,2,1，∴C＝{6,3,2,1}．用描述法表示集合【例2】用描述法表示下列集合：(1)所有正偶数组成的集合；(2)方程x2＋2＝0的解的集合；(3)不等式4x－65的解集；(4)函数y＝2x＋3的图象上的点集．解(1)文字描述法：{x|x是正偶数}．符号描述法：{x|x＝2n，n∈N*}．(2){x|x2＋2＝0，x∈R}．(3){x|4x－65，x∈R}．(4){(x，y)|y＝2x＋3，x∈R，y∈R}．规律方法用描述法表示集合时，要注意代表元素是什么？同时要注意代表元素所具有的性质．变式迁移2用描述法表示下列集合：(1)函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象上所有点的集合；(2)一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点组成的集合；(3)不等式x－32的解集．解(1){(x，y)|y＝ax2＋bx＋c，x∈R，a≠0}．(2)x，y|y＝x＋3y＝－2x＋6＝x，y|x＝1y＝4.(3){x∈R|x－32}．列举法和描述法的灵活运用【例3】用适当的方法表示下列集合：(1)比5大3的数；(2)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0的解集；(3)二次函数y＝x2－10图象上的所有点组成的集合．分析对于(1)，比5大3的数就是8，宜用列举法；对于(2)，方程为二元二次方程，可将方程左边因式分解后求解，宜用列举法；对于(3)，所给二次函数图象上的点有无数个，宜采用描述法．解(1)比5大3的数显然是8，故可表示为{8}．(2)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝0，∴x＝2y＝－3，∴方程的解集为{(2，－3)}．(3)“二次函数y＝x2－10的图象上的点”用描述法表示为{(x，y)|y＝x2－10}．规律方法用列举法与描述法表示集合时，一要明确集合中的元素；二要明确元素满足的条件；三要根据集合中元素的个数来选择适当的方法表示集合．变式迁移3用适当的方法表示下列集合：(1)由所有小于10的既是奇数又是素数的自然数组成的集合；(2)由所有周长等于10cm的三角形组成的集合；(3)从1,2,3这三个数字中抽出一部分或全部数字(没有重复)所组成的自然数的集合；(4)二元二次方程组y＝xy＝x2的解集．解(1)列举法：{3,5,7}．(2)描述法：{周长为10cm的三角形}．(3)列举法：{1,2,3,12,13,21,31,23,32,123,132,213,231,312,321}．(4)列举法：{(0,0)，(1,1)}．1．在用列举法表示集合时应注意以下四点：(1)元素间用“，”分隔；(2)元素不重复；(3)不考虑元素顺序；(4)对于含有较多元素的集合，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法但是须把元素间的规律显示清楚后方能用省略号．2．使用描述法时应注意以下四点：(1)写清楚该集合中元素的代号(字母或用字母表示的元素符号)；(2)说明该集合中元素的特征；(3)不能出现未被说明的字母；(4)用于描述的语句力求简明、确切．课时作业一、选择题1．集合{1,3,5,7,9}用描述法表示应是()A．{x|x是不大于9的非负奇数}B．{x|x≤9，x∈N}C．{x|1≤x≤9，x∈N}D．{x|0≤x≤9，x∈Z}答案A2．在直角坐标系内，坐标轴上的点的集合可表示为()A．{(x，y)|x＝0，y≠0}B．{(x，y)|x≠0，y＝0}C．{(x，y)|xy＝0}D．{(x，y)|x＝0，y＝0}答案C3．下列语句：①0与{0}表示同一个集合；②由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1}；③方程(x－1)2(x－2)2＝0的所有解的集合可表示为{1,1,2}；④集合{x|4x5}可以用列举法表示．正确的是()A．只有①和④B．只有②和③C．只有②D．以上语句都不对答案C4．已知集合A＝a65－a∈N*，则A为()A．{2,3}B．{1,2,3,4}C．{1,2,3,6}D．{－1,2,3,4}答案D解析由65－a∈N*可知，5－a为6的正因数，所以5－a可以等于1,2,3,6，相应的a分别等于4,3,2，－1，即A＝{－1,2,3,4}．5．下列集合中表示同一集合的是()A．M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)}B．M＝{3,2}，N＝{2,3}C．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}D．M＝{1,2}，N＝{(1,2)}答案B二、填空题6．下列可以作为方程组x＋y＝3x－y＝－1的解集的是__________(填序号)．(1){x＝1，y＝2}；(2){1,2}；(3){(1,2)}；(4){(x，y)|x＝1或y＝2}；(5){(x，y)|x＝1且y＝2}；(6){(x，y)|(x－1)2＋(y－2)2＝0}．答案(3)(5)(6)7．已知a∈Z，A＝{(x，y)|ax－y≤3}且(2,1)∈A，(1，－4)A，则满足条件的a的值为________．答案0,1,2解析∵(2,1)∈A且(1，－4)A，∴2a－1≤3且a＋43，∴－1a≤2，又a∈Z，∴a的取值为0,1,2.8．已知集合M＝{x∈N|8－x∈N}，则M中的元素最多有________个．答案9三、解答题9．用另一种方法表示下列集合．(1){绝对值不大于2的整数}；(2){能被3整除，且小于10的正数}；(3){x|x＝|x|，x5且x∈Z}；(4){(x，y)|x＋y＝6，x∈N*，y∈N*}；(5){－3，－1,1,3,5}．解(1){－2，－1,0,1,2}．(2){3,6,9}．(3)∵x＝|x|，∴x≥0，又∵x∈Z且x5，∴x＝0或1或2或3或4.∴集合可以表示为{0,1,2,3,4}．(4){(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)}．(5){x|x＝2k－1，－1≤k≤3，k∈Z}．10．用描述法表示图中阴影部分(含边界)的点的坐标的集合．解用描述法表示为(即用符号语言表示)：x，y|－1≤x≤32，－12≤y≤1，且xy≥0.【探究驿站】11．对于a，b∈N＋，现规定：a*b＝a＋ba与b的奇偶性相同a×ba与b的奇偶性不同.集合M＝{(a，b)|a*b＝36，a，b∈N＋}(1)用列举法表示a，b奇偶性不同时的集合M；(2)当a与b的奇偶性相同时集合M中共有多少个元素？解(1)当a，b奇偶性不同时，a*b＝a×b＝36，则满足条件的(a，b)有(1,36)，(3,12)，(4,9)，(9,4)，(12,3)，(36,1)，故集合M可表示为：M＝{(1,36)，(3,12)，(4,9)，(9,4)，(12,3)，(36,1)}．(2)当a与b的奇偶性相同时a*b＝a＋b＝36，由于两奇数之和为偶数，两偶数之和仍为偶数，故36＝1＋35＝2＋34＝3＋33＝…＝17＋19＝18＋18＝19＋17＝…＝35＋1，所以当a，b奇偶性相同时这样的元素共有35个．