11分形与非线性科学研究

补充1：关于混沌page34--非线性科学关于混沌1.确定论的三种定常状态：①静止运动②周期运动③准周期运动2.混沌：由确定性非线性耗散动力系统所产生的不确定行为的现象。3.出现混沌的维数：三维以上的自治动力系统（1）对初始条件的敏感依赖性•混沌系统的典型特征。•指初始条件的微小差别在最后的现象中产生极大的差别，或者说，起初小的误差引起灾难性后果。•洛伦兹在他的玩具天气模型中发现了这一特性。一个数学实验——关于混沌特性•对初值的敏感性练习：任取两个初值使它们之间的差的绝对值不超过0.1,在迭代他们是否逐渐分开？如果两个初值的差的绝对值不超过0.01,0.001,0.0001结果如何？由此得出迭代对初值是否敏感？,1,0),1(41kxxxkkkd＝0.1d＝0.01d＝0.001d＝0.0001•非随机性仍然考虑迭代练习：从不同的初值出发，统计迭代点列中分别落与区间（0,1/2)及(1/2,1)中的点的个数，你得到的结果是随机的吗？进一步，将区间分成任意等份，统计迭代点列落于每个子区间的点的个数？结果如何？,1,0),1(41kxxxkkk)1,0(0x模拟100次，每次迭代落在（0，0.5）区间的频率伪随机现象！其它函数——迭代实验•锯齿函数练习11锯齿函数的迭代对初值是否敏感？找出锯齿函数的周期点。12/1122/102)(xxxxxS•帐篷函数练习12帐篷函数的迭代对初值是否敏感？找出帐篷函数的周期点。12/1)1(22/102)(xxxxxT•其它函数的迭代对以下函数的迭代行为做探讨，并与函数的迭代行为相比较。axxfxaxfxxfaxaxf42)(.4)sin()(.32)(.2)()(.1)1()(xxaxf实验：听一听混沌练习14选取初值（如），由迭代产生迭代序列，根据的大小确定相应音调的高低，编程演奏该迭代序列。0x1.00x,1,0),1(41kxxxkkk,1,0,kxk有程序！程序！clearall,clcx(1)=0.1;fork=2:100000x(k)=4*x(k-1)*(1-x(k-1));endfs=[8000110252205044100];wavplay(x,fs(1))关于混沌的定义关于混沌的定义注：1、前两个极限说明子集的点X1，X2S相当分散而又相当集中；2、第三个极限说明子集不会趋近于任意周期点．关于混沌的定义注：这个定理本身只预言有非周期轨道存在，既不涉及这些非周期点的集合是否具有非零测度，也不涉及哪个周期是稳定的。因此，Li-Yorke定义的缺陷在于集合S的勒贝格测度有可能为零，即这时混吨是不可观测的，而人们感兴趣的则是可观测的情形，即此时S有一个正的测度。关于Logistic模型混沌特性的研究•Logistic模型1(1),0,1,kkkxxxk写成标准形式：211,0,1,kkxaxkUlam-vonNeumann映射：当a=2时2112,0,1,kkxxk2112,0,1,kkxxk引入变换：因此：因此解为：因此：因此：伪随机序列关于Logistic差分模型的其他特征值nnnnaaaaF111定义：①当n→∞时，F1→4.669（Fergenbaum第一常数）②定义△n为周期2n的分岔值与周期2n－1的分岔值之差，则：95029078750.212nnF（Fergenbaum第二常数）Page37另一个混沌举例例：Lorenz方程bzxyxzyxyxzyx)(程序演示：lorenz.m补充2：关于分岔page34--非线性科学分岔•1、吸引子•2、分岔的定义•3、分岔点的条件1、吸引子•吸引子：稳定的定态•排斥子：不稳定的定态•非线性动力系统与线性动力系统的区别：复杂性•复杂性表现：存在多个吸引子1、复习：稳定性与分类||),(),2,1(),,...,,(),(21JJtrTnxxxxxfdtdxn设：×平衡点稳定性判断：（1）稳定的条件：T0，且0（2）不稳定的条件：T0，或0××平衡点稳定性的临界情况（近似线性方程组与非线性方程组稳定性不一定一致）：T＝0，＝0×××平衡点的分类：（1）结点：两特征根为同号、不等的实根（2）鞍点（不稳定）：特征根是两个异号的实根（3）焦点（振动，远离或趋近平衡点）：特征根是不等的复数根，且实部不为零。（4）中心点（周期振动）：特征根为纯虚数，即实部为零。例1：pxxdtdx3（1）当p0时，系统存在一个平衡态：A：x01＝0A是稳定的，故系统存在一个吸引子。（2）当p0时，系统存在三个平衡态：A：x01＝0A1：x02＝A2：x03＝系统存在两个个吸引子。pp不稳定稳定稳定稳定）若（不稳定）若（是否稳定的判断条件：平衡点方程：,0|2,0|1),,(000xxxxxfxfxpxfdtdx例2：Lorenz方程bzxyxzyxyxzyx)(微分方程组稳定性判断：（1）当1时，系统存在一个平衡态：A：(0,0,0)A是稳定的，故系统存在一个吸引子。（2）当11.345时，系统存在三个平衡态：A：(0,0,0)A1：A2：系统存在两个个吸引子及一个排斥子。)1,)1(,)1((bb不稳定稳定稳定)1,)1(,)1((bb2、分岔的定义•指由于参数的变化，系统因原平衡态失稳而进入新的平衡态的过程。例1：pxxdtdx3（1）当p0时，系统存在一个平衡态：A：x01＝0A是稳定的，故系统存在一个吸引子。（2）当p0时，系统存在三个平衡态：A：x01＝0A1：x02＝A2：x03＝系统存在两个个吸引子。pp不稳定稳定稳定失稳例2：Lorenz方程bzxyxzyxyxzyx)(（1）当1时，系统存在一个平衡态：A：(0,0,0)A是稳定的，故系统存在一个吸引子。（2）当11.345时，系统存在三个平衡态：A：(0,0,0)A1：A2：系统存在两个个吸引子及一个排斥子。)1,)1(,)1((bb不稳定稳定稳定)1,)1(,)1((bb失稳3、分岔点的条件000)(Re2001gfrfxfm）二维（）一维（：分岔点的一个充要条件0........................................:212221212111xnnnnnnxfxfxfxfxfxfxfxfxfJJacobiJacobi矩阵：矩阵的特征值为其中例1：计算pxxdtdx3分岔点0,0:2003:123pxstepxpfpxxfpxxfstep求解得：，则：令Step3：则（x＝0，p＝0）是系统分岔点例2：Lorenz方程bzxyxzyxyxzyx)(000)(:1＝＝＝令bzxyxzyxyxstep：令特征根的实部为零对应的特征方程：求矩阵代入5410::3stepJstepbxyxzJJacobistep)1,)1(,)1(()1,)1(,)1((000:2bbCbbBAstep－－），，，（求解：112)1(4)1()1(,0)]1()1()[(0001010:)0,0,0(:23,212＝，＝得分岔的条件：对应的特征方程：则矩阵代入bbJbbxyxzJJacobiAExample补充3：分岔图的计算过程（p36图2.5）Logistic差分方程：xn+1=axn(1-xn)a0133.4493.545xABCD失稳C1C2D1D212分岔24分岔48分岔？周期1周期1周期2当a3.57时，出现混沌。回顾：离散动力系统的不动点①离散动力系统：xn＋1＝L（xn）②不动点：任意次迭代后不变的点：xn+k=…=xn+2=xn+1=xn③不动点满足的方程：x＝L（x）关于周期为k的不动点•周期1的不动点：x＝L（x）•周期2的不动点：x＝L（L（x））＝L2（x）•……•周期k的不动点：x＝Lk（x）复习：不动点稳定性判断0|1xxxL算子：）计算（Floquet（2）稳定性判断：当||1不动点稳定当||1不动点不稳定当||＝1不动点为分岔点1、一阶Lyapunov指数①如何度量非线性特性？——Lyapunov指数考虑一阶迭代方程：N次迭代后的误差：定义：（Lyapunov指数）问题：如何计算一阶迭代方程的Lyapunov指数),...()(),()(...)()()()(0)2(120112100)(xfxfxxfxdxxdfdxxdfdxxdfdxxdfdxxdfnn其中：因为：|)(|ln1|)(|ln1|)(|1/10/10/10liminininiinixfnLExfnxfnLE或：因此：一阶Lyapunov指数特征①稳定及稳定周期不动点：LE0②周期倍分岔点：LE＝0③混沌：LE0一个常用公式：周期k稳定性判断1201()()()|||...|11kkLxLxLxLExxx不稳定稳定分岔点例：虫口模型)1(1nnnxcxxcxx11,01及）不动点：（cxcxL22）（是稳定的＝不动点，当）（由于稳定性分析：＝）不动点（0,10003xxcc;11,3;11,31211114是不稳定的＝不动点当是稳定的＝不动点当，）（由于稳定性分析：＝）不动点（cccccccxxx例：虫口模型)1(1nnnxcxxcxx11,011及的不动点：）周期（)2)3)(1(1()2)3)(1(1()11()0()]1(1)][1([22040302012ccccxDccccxCcxBxxcxxcxcxnnnnnA四个不动点：的不动点：）周期（例：虫口模型)1(1nnnxcxx）（新添周期）（周期22)3)(1(1,2)3)(1(11,11,004030201ccccxccccxcxxc0133.4493.545xABCD失稳C1C2D1D212分岔24分岔48分岔），（计算机求零点＝失稳条件：周期c1|)()(|204/03/xLxL？周期1周期1周期2举例：计算虫口模式的Lyapunov指数)1(1nnnxcxx虫口模型：Step1：计算不动点：cxx11,0或Step2：令)21()(),1()(/xcxfxcxxf则Step3：求LE程序：计算虫口模式的Lyapunov指数f=inline('c*x.*(1-x)','c','x');df=inline('c*(1-2*x)','c','x');n=300;c=1:0.01:4;forj=1:length(c)x=1-1/c(j);LE(j)=log(abs(f(c(j),x)));fori=1:nx=f(c(j),x);LE(j)=LE(j)+log(abs(df(c(j),x)));endLE(j)=LE(j)/n;endp=plot(c,LE,‘b’);set(p,‘linewidth’,2.5),holdonp=plot(c,zeros(1,length(c)),'r')