2011年高水平大学自主选拔学业能力测试-数学试题

十年树木百年树人仁和万物慧济天下年高水平大学自主选拔学业能力测试数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设复数z满足||1z且15||2zz，则||z().（A）45（B）34（C）23（D）122．在正四棱锥P-ABCD中，M，N分别为PA，PB的中点，且侧面与底面所成二面角的正切值为2.则异面直线DM与AN所成夹角的余弦值为().（A）13（B）16（C）18（D）1123．过点(1,1)的直线l与曲线3221yxxx相切，且(1,1)不是切点，则直线l的斜率是().（A）2（B）1（C）1（D）24．若23AB，则22coscosAB的最小值和最大值分别为().（A）331,22（B）13,22（C）331,122（D）12,1225．如图，⊙O1和⊙O2外切于点C，⊙O1，⊙O2又都和⊙O内切，切点分别为A，B.,AOBACB，则下列不正确的是().（A）cossin02（B）sincos02（C）sin2sin0（D）sin2sin0BAO1OO2C十年树木百年树人仁和万物慧济天下．已知异面直线,ab所成60°角，A为空间中一点，则过A与,ab都成45°角的平面().（A）有且只有一个（B）有且只有两个（C）有且只有三个（D）有且只有四个7．已知向量(0,1)a，31,22b，31,22c，(1,1)xyzabc.则222xyz的最小值为().（A）1（B）43（C）32（D）28．AB过抛物线24yx焦点F的弦，O为坐标原点，且135OFA，C为抛物线准线与x轴的交点，则ACB的正切值为().（A）22（B）425（C）423（D）2239．如图，已知△ABC的面积为2，D，E分别为边AB，边AC上的点，F为线段DE上一点，设,,ADAEDFxyzABACDE，且1yzx，则△BDF面积的最大值为().（A）827（B）1027（C）1427（D）162710．将一个正11边形用对角线划分为9个三角形，这些对角线在正11边形内两两不相交，则().（A）存在某种分法，所分出的三角形都不是锐角三角形（B）存在某种分法，所分出的三角形恰有2个是锐角三角形（C）存在某种分法，所分出的三角形至少有3个锐角三角形（D）任何一种分法所分出的三角形都恰有1个锐角三角形二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.11．（本小题满分14分）已知△ABC不是直角三角形.（1）证明：tantantantantantanABCABC；（2）若tantan3tan1tanBCCA，且sin2,sin2,sin2ABC的倒数成等差数列，求cos2AC的值.十年树木百年树人仁和万物慧济天下．（本小题满分14分）已知圆柱形水杯质量为a克，其重心在圆柱轴的中点处（杯底厚度及重量忽略不计，且水杯直立放置）.质量为b克的水恰好装满水杯，装满水后的水杯的重心还在圆柱轴的中点处.（1）若3ba，求装入半杯水后的水杯的重心到水杯底面的距离与水杯高的比值；（2）水杯内装多少克水可以使装入水后的水杯的重心最低？为什么？13．（本小题满分14分）已知函数2()xfxaxb，(1)1f，1223f，令112x，1()nnxfx.（1）求数列{}nx的通项公式；（2）证明：1212nxxxe.十年树木百年树人仁和万物慧济天下．（本小题满分14分）已知双曲线2222:1xyCab（0,0ab），1F，2F分别为C的左、右焦点，P为C右支上一点，且使123FPF，又△F1PF2的面积为233a.（1）求C的离心率e；（2）设A为C的左顶点，Q为第一象限内C上的任意一点，问是否存在常数(0)，使得22QFAQAF恒成立.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.15．（本小题满分14分）将一枚均匀的硬币连续抛掷n次，以np表示未出现连续三次正面的概率.（1）求123,,ppp和4p；（2）探究数列{}np的递推公式，并给出证明；（3）讨论数列{}np的单调性及其极限，并阐述该极限的概率意义.